TŠEBYSHOVIN LAUSE: MITÄ SE ON, SOVELLUKSET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Lause Chebyshev (Chebyshev tai epäyhtälö) on yksi tärkeimmistä klassisen tulokset teorian todennäköisyys. Se mahdollistaa satunnaismuuttujan X avulla kuvatun tapahtuman todennäköisyyden arvioimisen tarjoamalla meille sidoksen, joka ei riipu satunnaismuuttujan jakaumasta, vaan X: n varianssista.

Lause on nimetty venäläisen matemaatikon Pafnuty Chebyshovin (kirjoitettu myös nimellä Chebychev tai Tchebycheff) mukaan, joka, vaikka se ei ollut ensimmäinen, joka lausui lauseen, antoi ensimmäisen todistuksen vuonna 1867.

Tätä epätasa-arvoa tai niitä, joita ominaisuuksiensa vuoksi kutsutaan Tšebysovin epätasa-arvoksi, käytetään lähinnä todennäköisyyksien arviointiin laskemalla korkeudet.

Mistä se koostuu?

Todennäköisyysteorian tutkimuksessa käy ilmi, että jos satunnaismuuttujan X jakautumistoiminto tunnetaan, sen odotettu arvo - tai matemaattinen odotus E (X) - ja sen varianssi Var (X) voidaan laskea, kunhan sellaisia ​​määriä on olemassa. Päinvastoin ei kuitenkaan välttämättä ole totta.

Toisin sanoen, tietäen E (X) ja Var (X), ei ole välttämättä mahdollista saada X: n jakautumistoimintoa, joten jonkin k> 0: n kaltaisia ​​määriä, kuten P (-X-> k), on erittäin vaikea saada. Mutta Chebyshovin epätasa-arvon ansiosta on mahdollista arvioida satunnaismuuttujan todennäköisyys.

Tšebyshovin lause kertoo meille, että jos meillä on satunnaismuuttuja X näytetilan S yläpuolella todennäköisyysfunktiolla p ja jos k> 0, niin:

Sovellukset ja esimerkit

Tšebyshovin lauseen monien sovellusten joukosta voidaan mainita seuraavat:

Rajoittavat todennäköisyydet

Tämä on yleisin sovellus, ja sitä käytetään antamaan yläraja P: lle (-XE (X) -≥k), missä k> 0, vain varianssin ja satunnaismuuttujan X odotusten kanssa, tietämättä todennäköisyysfunktiota.

Esimerkki 1

Oletetaan, että yrityksessä viikossa valmistettujen tuotteiden lukumäärä on satunnaismuuttuja, keskimäärin 50.

Jos tuotantoviikon varianssin tiedetään olevan 25, niin mitä voimme sanoa todennäköisyydestä, että tällä viikolla tuotanto eroaa enemmän kuin 10 keskiarvosta?

Ratkaisu

Tsebyshovin epätasa-arvoa sovellettaessa meillä on:

Tästä voidaan päätellä, että todennäköisyys, että tuotantoviikolla artikkeleiden määrä ylittää keskiarvon yli 10, on korkeintaan 1/4.

Todistus rajalauseista

Tšebyshovin epätasa-arvolla on tärkeä rooli tärkeimpien rajalauseiden todistamisessa. Esimerkiksi meillä on seuraavat:

Heikkojen lakien määrä

Tämän lain mukaan annetaan sekvenssi X1, X2,…, Xn,… riippumattomista satunnaismuuttujista, joilla on sama keskimääräinen jakauma E (Xi) = μ ja varianssi Var (X) = σ ², ja tunnettu keskimääräinen näyte seuraavista:

Sitten k> 0: lla meillä on:

Tai vastaavasti:

Esittely

Huomaa ensin seuraava:

Koska X1, X2,…, Xn ovat riippumattomia, seuraa, että:

Siksi on mahdollista todeta seuraava:

Sitten, Tšebyshovin lauseen avulla, meillä on:

Lopuksi, lause johtuu siitä, että oikealla oleva raja on nolla, kun n lähestyy ääretöntä.

On huomattava, että tämä testi tehtiin vain tapaukselle, jossa Xi: n varianssi on olemassa; eli se ei eroa toisistaan. Täten huomaamme, että lause on aina totta, jos E (Xi) on olemassa.

Chebyshov raja-lause

Jos X1, X2,…, Xn,… on riippumattomien satunnaismuuttujien sekvenssi siten, että on olemassa jokin C <äärettömyys, niin että Var (Xn) ≤ C kaikille luonnollisille n, niin jokaiselle k> 0:

Esittely

Koska varianssisekvenssi on rajoitettu tasaisesti, meillä on Var (Sn) ≤ C / n kaikille luonnollisille n. Mutta me tiedämme sen:

Saaden n taipumaan äärettömyyteen, seuraavat tulokset:

Koska todennäköisyys ei voi ylittää arvoa 1, saadaan haluttu tulos. Tämän lauseen seurauksena voimme mainita Bernoullin tapauksen.

Jos koe toistetaan n kertaa itsenäisesti kahdella mahdollisella tuloksella (epäonnistuminen ja menestys), missä p on menestyksen todennäköisyys kussakin kokeessa ja X on satunnaismuuttuja, joka edustaa saatujen onnistumisten lukumäärää, niin jokaiselle k> 0 sinun täytyy:

Otoskoko

Varianssin suhteen Chebyshovin epätasa-arvo antaa meille mahdollisuuden löytää näytteen koko n, joka on riittävä takaamaan, että -Sn-μ -> = k esiintymisen todennäköisyys on niin pieni kuin halutaan, mikä mahdollistaa lähentämisen keskimäärin.

Erityisesti olkoon X1, X2,… Xn näyte riippumattomista satunnaismuuttujista, joiden koko on n, ja oletetaan, että E (Xi) = μ ja sen varianssi σ ². Sitten Tšebyshovin epätasa-arvon perusteella meillä on:

esimerkki

Oletetaan, että X1, X2,… Xn ovat esimerkki riippumattomista satunnaismuuttujista, joiden jakauma on Bernoulli, siten, että ne ottavat arvon 1 todennäköisyydellä p = 0,5.

Mikä on näytteen koko, jotta voidaan taata, että todennäköisyys, että aritmeettisen keskiarvon Sn ja sen odotetun arvon välinen ero (yli yli 0,1) on pienempi tai yhtä suuri kuin 0,01?

Ratkaisu

Meillä on, että E (X) = μ = p = 0,5 ja että Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Tšebyshovin epätasa-arvon mukaan jokaisella k> 0 meillä on:

Nyt ottaen k = 0,1 ja δ = 0,01, meillä on:

Tällä tavalla päätellään, että tarvitaan vähintään 2500 näytteen kokoa takaamaan, että tapahtuman -Sn - 0,5 -> = 0,1 todennäköisyys on pienempi kuin 0,01.

Tšebysov-tyyppinen eriarvoisuus

Tšebyshovin eriarvoisuuteen liittyy useita epätasa-arvoisuuksia. Yksi tunnetuimmista on Markovin eriarvoisuus:

Tässä lausekkeessa X on ei-negatiivinen satunnaismuuttuja k, r> 0.

Markovin eriarvoisuus voi olla eri muotoinen. Esimerkiksi, olkoon Y ei-negatiivinen satunnaismuuttuja (niin P (Y> = 0) = 1) ja oletetaan, että E (Y) = μ on olemassa. Oletetaan myös, että (E (Y)) ^r = μ _r on olemassa joitakin kokonaisluku r> 1. Niin:

Toinen epätasa-arvo on Gaussian, joka kertoo meille, että kun annetaan yksimodaalinen satunnaismuuttuja X, jonka moodi on nolla, silloin k> 0,

Viitteet

1. Kai Lai Chung. Alkuperäisen todennäköisyyden teoria stokastisilla prosesseilla. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastolliset sovellukset. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 ratkaistua diskreetin matematiikan ongelmat. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria ja todennäköisyysongelmat. McGraw-Hill.