EUCLIDIN LAUSE: TODISTEET, SOVELLUS JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Euklideen lause osoittaa ominaisuudet kolmion piirtää viivan, joka jakaa sen kahteen uutta kolmiota, jotka ovat samankaltaisia ja, puolestaan, on samanlainen kuin alkuperäinen kolmio; silloin on suhteellisuussuhde.

Euclid oli yksi antiikin suurimmista matemaatikoista ja geometrioista, joka suoritti useita todisteita tärkeistä lauseista. Yksi tärkeimmistä on hänen nimensä kantava nimi, jota on käytetty laajasti.

Näin on tapahtunut, koska tämän lauseen avulla se selittää yksinkertaisella tavalla oikeassa kolmion geometriset suhteet, joissa kolmion jalat liittyvät heidän projektioonsa hypoteenuksessa.

Kaavat ja esittely

Euclidin lause ehdottaa, että jokaisessa oikeassa kolmiossa, kun piirretään viiva - joka edustaa korkeutta, joka vastaa suorakulman kärkeä suhteessa hypoteenukseen -, muodostuu alkuperäisestä kaksi suoraa kolmiota.

Nämä kolmiot ovat samankaltaisia ​​toistensa kanssa ja ovat myös samanlaisia ​​kuin alkuperäinen kolmio, mikä tarkoittaa, että niiden samanlaiset sivut ovat verrannollisia toisiinsa:

Kolmen kolmion kulmat ovat yhdenmukaiset; toisin sanoen, kun niitä kierretään 180 astetta kärkinsä ympäri, yksi kulma osuu yhteen toisen kanssa. Tämä tarkoittaa, että he ovat kaikki samoja.

Tällä tavoin kolmen kolmion välinen samankaltaisuus voidaan varmistaa myös niiden kulmien yhtäläisyydellä. Kolmioiden samankaltaisuudesta Euclid määrittää näiden osuudet kahdesta lauseesta:

- Korkeuslause.

- Lause jalat.

Tällä lauseella on laaja sovellus. Muinaisina aikoina sitä käytettiin korkeuksien tai etäisyyksien laskemiseen, mikä merkitsi suurta edistystä trigonometrialle.

Sitä käytetään tällä hetkellä monilla muilla aloilla, jotka perustuvat matematiikkaan, kuten tekniikka, fysiikka, kemia ja tähtitiede.

Korkeuslause

Tässä lauseessa todetaan, että missä tahansa oikeassa kolmiossa oikeasta kulmasta vedettynä korkeus hypotenuuseen nähden on geometrinen verrannollinen keskiarvo (korkeuden neliö) jalkojen ulkoneiden välillä, jonka se määrittää hypoteenukseen.

Eli korkeuden neliö on yhtä suuri kuin hypoteenuksen muodostavien ulkonevien jalkojen kertolasku:

h _c ² = m _* n

Esittely

Kun annetaan kolmio ABC, joka on oikeassa kärjessä C, korkeuden piirtäminen tuottaa kaksi samanlaista oikeanpuoleista kolmiota, ADC ja BCD; siksi niiden vastaavat puolet ovat suhteellisia:

Sillä tavalla, että segmentti CD vastaava korkeus h _c vastaa hypotenuusiin AB = c, siis meillä on:

Tämä puolestaan ​​vastaa:

Ratkaisemalla hypotenuse (h _c) kerrottamaan tasa-arvon kaksi jäsentä meillä on:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Siten hypoteenuksen arvo annetaan:

Jalan lause

Tässä lauseessa vahvistetaan, että jokaisessa oikeassa kolmiossa kunkin jalan mitta on geometrinen verrannollinen keskiarvo (kunkin jalan neliö) hypoteenuksen (kokonainen) mitan ja kunkin sen projektion välillä:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Esittely

Annetaan kolmio ABC, joka on oikeassa päässä kärjestä C siten, että sen hypotenuusi on c, korkeutta (h) kuvaaessa määritetään jalkojen a ja b ulkonemat, jotka ovat vastaavasti segmentit m ja n ja jotka sijaitsevat hypotenuse.

Siten oikealle kolmiolle ABC piirretty korkeus tuottaa kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota, ADC ja BCD, niin että vastaavat sivut ovat verrannollisia, kuten tämä:

DB = n, joka on jalan CB projektio hypoteenukseen.

AD = m, joka on säären AC projektio hypoteenukseen.

Sitten hypotenuse c määritetään sen ulkonevien osien summan perusteella:

c = m + n

Kolmioiden ADC ja BCD samankaltaisuuden vuoksi meillä on:

Yllä oleva on sama kuin:

Ratkaisemalla a-a-osa kerrottamaan tasa-arvon kaksi jäsentä meillä on:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Siten jalan "a" arvo annetaan:

Samalla tavalla ACB: n ja ADC: n kolmioiden samankaltaisuuden vuoksi meillä on:

Yllä oleva on yhtä suuri kuin:

Ratkaisemalla vaihe "b" kerrottamaan tasa-arvon kaksi jäsentä, meillä on:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Siten jalan "b" arvo annetaan:

Euclidin lauseiden välinen suhde

Lauseet suhteessa korkeuteen ja jaloihin liittyvät toisiinsa, koska molempien mitat tehdään oikean kolmion hypotenuuseen nähden.

Euclidin lauseiden suhteen voidaan löytää myös korkeuden arvo; tämä on mahdollista ratkaisemalla m: n ja n: n arvot jalan lauseesta ja ne korvataan korkeuslauseella. Tällä tavoin varmistetaan, että korkeus on yhtä suuri kuin jalkojen kertolasku jaettuna hypotenuksella:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Korvaamme korkeuslauseessa m ja n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Ratkaistuja harjoituksia

Esimerkki 1

Ottaen huomioon kolmion ABC, oikeassa pisteessä A, määritä AC: n ja AD: n mitta, jos AB = 30 cm ja BD = 18 cm

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on mitat yhdelle ulkonevista haaroista (BD) ja yhdestä alkuperäisen kolmion (AB) haaroista. Tällä tavalla jalan lause voidaan soveltaa jalan BC arvon löytämiseen.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* eKr

900 = 18 _* eKr

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Jalka-CD: n arvo saadaan tietäen, että BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50-18 = 32 cm

Nyt on mahdollista määrittää jalan AC arvo soveltamalla jalan lause uudelleen:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Korkeuden (AD) arvon määrittämiseksi käytetään korkeuslauseketta, koska ennustettavien jalkojen CD ja BD arvot tunnetaan:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Esimerkki 2

Määritä kolmion MNL korkeuden (h) arvo oikeassa N: ssä tietäen segmenttien mitat:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Ratkaisu

Meillä on yhden hypotenuuseelle (PM) projisoidun jalan mitat, samoin kuin alkuperäisen kolmion jalkojen mitat. Tällä tavalla jalan lause voidaan soveltaa toisen heijastetun jalan (LN) arvon löytämiseen:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Koska jalkojen ja hypoteenuksen arvo on jo tiedossa, korkeuden ja jalkojen lauseiden suhteen avulla korkeuden arvo voidaan määrittää:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 - 20

h = 125 cm.

Viitteet

1. Braun, E. (2011). Kaaos, fraktaalit ja outoja asioita. Taloudellisen kulttuurin rahasto.
2. Cabrera, VM (1974). Moderni matematiikka, osa 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. vuoden matematiikka. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, ts. (tuhatyhdeksänsataayhdeksänkymmentäviisi). Latinalaisamerikkalainen tietosanakirja: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euklidin geometrian elementit.
6. Guardeño, AJ (2000). Matematiikan perintö: Euclidista Newtoniin, nerojen kirjojen kautta. Sevillan yliopisto.