STEINERIN LAUSE: SELITYS, SOVELLUKSET, HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Steiner 's lause, joka tunnetaan myös nimellä Steinerin sääntö, arvioida hitausmomentti laajennetun rungon, akselin ympäri, joka on yhdensuuntainen toisen kulkee keskustan läpi massan esineen.

Sen löysi sveitsiläinen matemaatikko Jakob Steiner (1796 –1863) ja toteaa seuraavan: olkoon I _CM esineen hitausmomentti akselin suhteen, joka kulkee sen massakeskipisteen CM läpi, ja I _z hitausmomentti toisen akselin suhteen. samansuuntaisesti tämän kanssa.

Kuva 1. Saranoilla pyörivään suorakulmaiseen oveen sisältyy hitausmomentti, joka voidaan laskea Steinerin lauseen avulla. Lähde: Pixabay.

Kun tiedetään etäisyys D, joka erottaa molemmat akselit, ja kyseessä olevan rungon massa M, hitausmomentti tuntemattomaan akseliin nähden on:

Hitausmomentti osoittaa, kuinka helppoa esine on pyöriä tietyn akselin ympäri. Se ei riipu vain kehon massasta, vaan myös siitä, kuinka se jakautuu. Tästä syystä se tunnetaan myös nimellä rotaatiohitaus, joka on sen yksiköt kansainvälisessä järjestelmässä kg. m ².

Lause osoittaa, että hitausmomentti I _z on aina suurempi kuin hitausmomentti I _CM MD ^{2: n} antamalla määrällä.

Sovellukset

Koska esine pystyy pyörimään lukuisten akselien ympäri ja taulukoissa yleensä annetaan vain hitausmomentti suhteessa keskikohdan läpi kulkevaan akseliin, Steinerin lause helpottaa laskentaa, kun on tarpeen kiertää kappaleita akseleilla. jotka eivät vastaa tätä.

Esimerkiksi ovi ei yleensä pyöri akselin ympäri massakeskuksensa kautta, vaan sivuakselin ympäri, jossa saranat tarttuvat.

Tuntemalla hitausmomentin on mahdollista laskea kineettinen energia, joka liittyy kiertymiseen mainitun akselin ympäri. Jos K on kineettinen energia, I hitausmomentti kyseisen akselin ympäri ja ω kulmanopeus, seuraa seuraavaa:

Tämä yhtälö on hyvin samankaltainen kuin hyvin tuttu kineettisen energian kaava massan M esineelle, joka liikkuu nopeudella v: K = ½ Mv ². Ja se on, että hitausmomentilla tai kiertohitaalla I: llä on sama rooli pyörityksessä kuin massalla M käännöksessä.

Todistus Steinerin lauseesta

Laajennetun esineen hitausmomentti määritellään:

I = ∫ r ² dm

Missä dm on äärettömän pieni osa massaa ja r on etäisyys dm: n ja pyörimisakselin välillä z. Kuviossa 2 tämä akseli ylittää massakeskipisteen CM, kuitenkin se voi olla mikä tahansa.

Kuva 2. Kohde, joka on kiertynyt kahden yhdensuuntaisen akselin ympäri. Lähde: F. Zapata.

Toisen z '-akselin ympärillä hitausmomentti on:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Nyt vektorien D, r ja r ' muodostaman kolmion mukaan (katso kuva 2 oikealla) on vektorisumma:

r + r ' = D → r' = D - r

Kolme vektoria ovat kohteen tasolla, joka voi olla xy. Koordinaattijärjestelmän alkuperä (0,0) valitaan CM: ssä seuraavien laskelmien helpottamiseksi.

Tällä tavoin vektorin r 'neliömoduuli on:

Nyt tämä kehitys korvataan hitausmomentin I _z integraalilla ja käytetään myös tiheyden dm = ρ.dV määritelmää:

Termi M. D ², joka näkyy Steinerin lause on peräisin ensimmäisestä kiinteä, toinen on hitausmomentti suhteessa akseliin, joka kulkee läpi CM.

Kolmas ja neljäs integraali ovat puolestaan ​​arvon 0 arvoisia, koska määritelmän mukaan ne muodostavat CM: n sijainnin, joka on valittu koordinaattijärjestelmän lähtöpisteeksi (0,0).

Ratkaistuja harjoituksia

-Ratkaistu harjoitus 1

Kuvion 1 suorakaiteen muotoisen oven massa on 23 kg, leveys 1,30 ja korkeus 2,10 m. Määritä oven hitausmomentti saranoiden läpi kulkevan akselin suhteen olettaen, että ovi on ohut ja tasainen.

Kuva 3. Kaavio työskennellystä esimerkistä 1. Lähde: muokattu Pixabayltä.

Ratkaisu

Hitausmomenttitaulukosta massan M ja mittojen a ja b suorakaiteen muotoisen levyn hitausmomentti massakeskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen on: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Homogeeninen portti oletetaan (arvio, koska kuvan portti ei todennäköisesti ole niin). Tällöin massakeskipiste kulkee geometrisen keskuksensa läpi. Kuviossa 3 on piirretty massakeskipisteen läpi kulkeva akseli, joka on myös yhdensuuntainen saranoiden läpi kulkevan akselin kanssa.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² 2,10 ²) m ² = 11,7 kg.m ²

Steinerin lauseen soveltaminen vihreään pyörimisakseliin:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

-Ratkaistu harjoitus 2

Löydä homogeenisen ohuen sauvan hitausmomentti, kun se pyörii akselin ympäri, joka kulkee yhden sen päistä, katso kuva. Onko se suurempi tai pienempi kuin hitausmomentti, kun se pyörii keskuksensa ympäri? Miksi?

Kuva 4. Kaavio ratkaisulle esimerkille 2. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Hitausmomenttitaulukon mukaan massan M ja pituuden L ohut sauvan hitausmomentti I _CM on: I _CM = (1/12) ML ²

Ja Steinerin lause väittää, että kun sitä kierretään yhden pään läpi kulkevan akselin ympäri D = L / 2, se pysyy:

Se on suurempi, vaikkakaan ei yksinkertaisesti kahdesti, mutta neljä kertaa enemmän, koska sauvan toinen puoli (ei kuvassa varjostettu) pyörii kuvaten suurempaa sädettä.

Etäisyyden vaikutus kiertoakseliin ei ole lineaarinen, vaan neliöllinen. Massa, joka on kaksi kertaa etäisyys toiseen, saa aikaan hitausmomentin, joka on verrannollinen (2D) ² = 4D ².

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgian osavaltion yliopisto. Pyörivä liike. Palautettu: fiz.nthu.edu.tw.
3. Rinnakkaisakselin lause. Palautettu: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fysiikan perusteet. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Rinnakkaisakselin lause. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org