TORRICELLIN LAUSE: MISTÄ SE KOOSTUU, KAAVAT JA HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Lause Torricellin tai periaate Torricelli todetaan, että nopeus poistuvan nesteen aukon seinämän säiliön tai kontin, on samanlainen kuin hankkii kohde putoaa vapaasti korkeus on yhtä suuri pinta- aukkoon nestettä.

Lause on havainnollistettu seuraavassa kuvassa:

Kuva Torricellin lauseesta. Lähde: itse tehty.

Torricellin lauseen vuoksi voimme sitten todeta, että nesteen poistumisnopeus aukon läpi, joka on korkeudessa h nesteen vapaan pinnan alapuolella, saadaan seuraavalla kaavalla:

Missä g on painovoiman kiihtyvyys ja h on korkeus reikästä nesteen vapaaseen pintaan.

Evangelista Torricelli oli fyysikko ja matemaatikko, joka syntyi Faenzan kaupungissa, Italiassa vuonna 1608. Torricellille annetaan elohopeabarometrin keksintö ja tunnustusta varten on olemassa torr-niminen paineyksikkö, joka vastaa yhtä millimetriä elohopeaa. (mm Hg).

Lauseen todistus

Torricellin lauseessa ja nopeutta kuvaavassa kaavassa oletetaan, että viskositeettihäviöt ovat vähäpätöiset, aivan kuten vapaassa pudotuksessa oletetaan, että putoavan esineen ympäröivän ilman aiheuttama kitka on vähäinen.

Edellä esitetty oletus on useimmissa tapauksissa kohtuullinen ja sisältää myös mekaanisen energian säästämisen.

Lauseen todistamiseksi löydämme ensin kaavan objektin nopeudelle, joka vapautetaan nolla alkunopeudella samalla korkeudella kuin säiliön nestepinta.

Energiansäästöperiaatetta käytetään laskevan esineen nopeuden saavuttamiseen heti, kun se on laskeutunut korkeuteen h, joka on yhtä suuri kuin reikästä vapaaseen pintaan.

Koska kitkahäviöitä ei ole, on pätevää soveltaa mekaanisen energian säästöperiaatetta. Oletetaan, että putoavan esineen massa on m ja korkeus h mitataan nesteen poistotasosta.

Putoava esine

Kun esine vapautetaan korkeudesta, joka on yhtä suuri kuin nesteen vapaan pinnan korkeus, sen energia on vain painovoimapotentiaali, koska sen nopeus on nolla ja sen vuoksi sen kineettinen energia on nolla. Potentiaalinen energia Ep saadaan:

Ep = mgh

Kun se kulkee reiän edessä, sen korkeus on nolla, potentiaalienergia on nolla, joten sillä on vain kineettinen energia Ec:

Ec = ½ mv ²

Koska energia säästyy Ep = Ec siitä, mitä saadaan:

½ mv ² = mgh

Nopeuden v ratkaisemiseksi saadaan sitten Torricelli-kaava:

Neste tulee ulos reiästä

Seuraavaksi löydämme nesteen poistumisnopeuden reiän läpi osoittaaksemme, että se osuu yhteen nopeuden kanssa, joka juuri laskettiin vapaasti putoavalle esineelle.

Tätä varten perustumme Bernoullin periaatteeseen, joka ei ole muuta kuin nesteiden energian säästämistä.

Bernoullin periaate on muotoiltu seuraavasti:

Tämän kaavan tulkinta on seuraava:

• Ensimmäinen termi edustaa nesteen kineettistä energiaa tilavuusyksikköä kohti
• Toinen edustaa työtä, joka tehdään paineella poikkipinta-alayksikköä kohti
• Kolmas edustaa painovoimapotentiaalienergiaa nestetilavuusyksikköä kohti.

Koska aloitamme oletuksesta, että se on ihanteellinen neste, ei-turbulenteissa olosuhteissa, joissa on suhteellisen alhaiset nopeudet, on aiheellista vahvistaa, että mekaaninen energia tilavuusyksikköä kohden nesteessä on vakio kaikilla sen alueilla tai poikkileikkauksissa.

Tässä kaavassa V on nesteen nopeus, ρ nesteen tiheys, P paine ja z pystyasento.

Alla olevassa kuvassa esitetään Torricellin kaava Bernoullin periaatteesta lähtien.

Sovelletaan Bernoullin kaavaa nesteen vapaalle pinnalle, jota merkitsemme (1), ja poistoaukkoon, jota merkitsemme (2). Pellon nollataso on valittu uran aukon kanssa.

Jos oletetaan, että (1): n poikkileikkaus on paljon suurempi kuin (2): ssa, voidaan sitten olettaa, että (1): n nesteen laskeutumisnopeus on käytännössä vähäinen.

Tästä syystä V ₁ = 0 on asetettu, paine, jolle neste altistetaan (1), on ilmakehän paine ja aukosta mitattu korkeus on h.

Poisto-osan (2) osalta oletamme, että ulostulonopeus on v, paine, jolle neste altistetaan poistoaukossa, on myös ilmakehän paine ja poistoaukon korkeus on nolla.

Korvaa luvut (1) ja (2) vastaavat arvot Bernoullin kaavassa ja aseta ne yhtä suureiksi. Tasa-arvo pätee, koska oletamme, että neste on ihanteellista eikä siinä ole viskoosisia kitkahäviöitä. Kun kaikkia termejä on yksinkertaistettu, saavutetaan poistoreikän nopeus.

Yllä oleva ruutu osoittaa, että saatu tulos on sama kuin vapaasti putoavan esineen,

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

I) Vesisäiliön pieni poistoputki on 3 m veden pinnan alapuolella. Laske veden poistumisnopeus.

Ratkaisu:

Seuraava kuva osoittaa, kuinka Torricellin kaavaa sovelletaan tässä tapauksessa.

Harjoitus 2

II) Jos oletetaan, että edellisen harjoituksen säiliön poistoputken halkaisija on 1 cm, laske veden poistovirta.

Ratkaisu:

Virtausnopeus on aikayksikössä poistuvan nesteen tilavuus, ja se lasketaan yksinkertaisesti kertomalla poistusaukon pinta-ala poistumisnopeudella.

Seuraava kuva näyttää laskelman yksityiskohdat.

Harjoitus 3

III) Määritä, kuinka korkea veden vapaa pinta on astiassa, jos tiedät

että säiliön pohjan reikästä vesi tulee ulos nopeudella 10 m / s.

Ratkaisu:

Torricellin kaavaa voidaan silti käyttää myös silloin, kun reikä on astian pohjassa.

Seuraava kuva näyttää laskelmien yksityiskohdat.

Viitteet

1. Wikipedia. Torricellin lause.
2. Hewitt, P. Käsitteellinen fysikaalinen tiede. Viides painos.119.
3. Nuori, Hugh. 2016. Sears-Zemanskyn yliopistofysiikka modernin fysiikan kanssa. 14. toimittaja Pearson. 384.