VARIGNONIN LAUSE: ESIMERKKEJÄ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Lause Varignon todetaan, että jos mikä tahansa nelisivuinen jatkuvasti yhteydessä midpoints puolin, suunnikas on luotu. Tämän lauseen muotoili Pierre Varignon, ja se julkaistiin vuonna 1731 kirjassa Matematiikan elementit.

Kirja julkaistiin vuosia hänen kuolemansa jälkeen. Koska Varignon esitteli tämän lauseen, suuntausohjelma on nimetty hänestä. Lause perustuu euklidiseen geometriaan ja esittää nelikulmaisten geometriset suhteet.

Mikä on Varignonin lause?

Varignon totesi, että nelinelimmän keskipisteiden määrittelemä luku johtaa aina suuntaiseen suuntaan, ja suuntakuvan pinta-ala on aina puoli nelikulman pinta-alaa, jos se on litteä ja kupera. Esimerkiksi:

Kuvassa voit nähdä nelikulman, jonka alue on X, jossa sivujen keskipisteitä edustavat E, F, G ja H ja kun ne yhdistetään, ne muodostavat suuntakuvan. Neliskulman pinta-ala on muodostettujen kolmioiden pinta-alojen summa, ja puolet tästä vastaa suuntakuvan alaa.

Koska suuntakuvan pinta-ala on puolet nelikulman pinta-alasta, kyseisen suuntakuvan kehä voidaan määrittää.

Siten kehä on yhtä suuri kuin nelikulmaisen diagonaalien pituuksien summa; tämä johtuu siitä, että nelikulman mediaanit ovat suuntakuvan diagonaalit.

Toisaalta, jos nelikulman diagonaalien pituudet ovat täsmälleen samat, suuntaissuunnasta tulee roma. Esimerkiksi:

Kuviosta voidaan nähdä, että liittämällä nelikulman sivujen keskipisteet saadaan rombus. Toisaalta, jos nelikulmion vinot ovat kohtisuorassa, suuntaus on suorakulmio.

Myös suuntakuvasta tulee neliö, kun nelikulmion diagonaalit ovat samanpituisia ja ne ovat myös kohtisuorassa.

Lause ei täyty pelkästään tason nelikulmioilla, se toteutetaan myös spatiaalisessa geometriassa tai suurissa mitoissa; toisin sanoen niissä nelikulmioissa, jotka eivät ole kuoria. Esimerkki tästä voi olla oktaedri, jossa keskipisteet ovat kunkin pinnan keskipisteet ja muodostavat suuntaissärmiön.

Tällä tavalla yhdistämällä eri kuvioiden keskipisteet voidaan saada rinnan suunnat. Helppo tapa tarkistaa, onko tämä todella totta, on, että vastakkaisten sivujen on oltava yhdensuuntaisia ​​laajennettaessa.

esimerkit

Ensimmäinen esimerkki

Vastakkaisten puolien laajentaminen osoittamaan, että kyseessä on suuntakaavio:

Toinen esimerkki

Yhdistämällä rombin keskipisteet saadaan suorakulmio:

Lausea käytetään nelikulmaisen sivun keskellä sijaitsevien pisteiden liitoksessa, ja sitä voidaan käyttää myös muun tyyppisissä pisteissä, kuten trisektiossa, penta-osassa tai jopa äärettömässä määrässä osioita (n.), jotta nelikulmaiset sivut voidaan jakaa suhteellisiin segmentteihin.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Kuvassa meillä on nelikulmainen ABCD alueelta Z, jonka puolien keskipisteet ovat PQSR. Tarkista, että Varignon-suuntauskaavio on muodostettu.

Ratkaisu

Voidaan nähdä, että liittymällä PQSR-pisteisiin muodostuu Varignon-suuntauskuva juuri siksi, että nelikulman keskipisteet on annettu lausunnossa.

Tämän osoittamiseksi liitetään ensin keskipisteet PQSR, joten voidaan nähdä, että muodostuu uusi nelikulma. Osoittaaksesi, että kyseessä on rinnakkaissuunnitelma, sinun on vain piirrettävä suora viiva pisteestä C pisteeseen A, joten voidaan nähdä, että CA on yhdensuuntainen PQ: n ja RS: n kanssa.

Samalla tavoin, kun pidennetään sivuja PQRS, voidaan nähdä, että PQ ja RS ovat yhdensuuntaiset, kuten seuraavassa kuvassa esitetään:

Harjoitus 2

Meillä on suorakulmio sellainen, että sen kaikkien sivujen pituudet ovat yhtä suuret. Yhdistämällä näiden puolien keskipisteet muodostuu roma ABCD, joka jaetaan kahdella diagonaalilla AC = 7cm ja BD = 10cm, jotka vastaavat suorakulmion sivujen mittoja. Määritä romun ja suorakulmion alueet.

Ratkaisu

Muistaen, että tuloksena olevan suuntakuvan pinta-ala on puolet nelikulmasta, näiden pinta-ala voidaan määrittää tietämällä, että diagonaalien mitat ovat samansuuntaiset suorakulmion sivujen kanssa. Joten sinun on

AB = D

CD = d

_Suorakulmion = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

_Vinoneliö = _suorakaide / 2

_Vinoneliö = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Harjoitus 3

Kuvassa on nelikulma, jolla on pisteiden EFGH liitos, segmenttien pituudet on annettu. Määritä, onko EFGH: n liitos suuntaviiva.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Ratkaisu

Koska segmenttien pituudet on annettu, voidaan tarkistaa, onko segmenttien välillä suhteellisuus; eli voit tietää, ovatko ne yhdensuuntaisia, ja ne liittyvät nelikulmaisen segmenttiin seuraavasti:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Sitten suhteellisuus tarkistetaan, koska:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Samoin, kun piirrät linjaa pisteestä B pisteeseen D, voidaan nähdä, että EH on yhdensuuntainen BD: n kanssa, samoin kuin BD on yhdensuuntainen FG: n kanssa. Toisaalta, EF on samansuuntainen GH: n kanssa.

Siten voidaan määrittää, että EFGH on suuntakaavio, koska vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

Viitteet

1. Andres, T. (2010). Matemaattiset olympialaiset. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Lentokoneen euklidinen geometria. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Geometrioiden tutkimus. Meksiko: latinalaisamerikkalainen - amerikkalainen.
4. Ramo, GP (1998). Tuntemattomia ratkaisuja Fermat-Torricelli -ongelmiin. ISBN - Itsenäinen teos.
5. Vera, F. (1943). Geometrian elementit. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Jotkut seikkailut euklidisessa geometriassa. Etelä-Afrikka.