BINOMIAL LAUSE: TODISTEET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Binomisen lause on yhtälö, joka kertoo, miten kehittää ilmentymisen (a + b) ⁿ joidenkin luonnollinen luku n. Binomiaali on vain kahden elementin, kuten (a + b), summa. Se antaa meille myös mahdollisuuden tietää ^k b ^{n-k: n} antamalla aikavälillä, mikä on siihen liittyvä kerroin.

Tämä lause johtuu yleensä englantilaisesta keksijästä, fyysikosta ja matemaatikosta Sir Isaac Newtonista; Useita tietoja on kuitenkin löydetty siitä, että sen olemassaolosta tiedettiin jo Lähi-idässä, noin vuonna 1000.

Yhdistelmäluvut

Binomiolause kertoo matemaattisesti seuraavan:

Tässä lausekkeessa a ja b ovat reaalilukuja ja n on luonnollinen luku.

Katsotaanpa ennen demon esittämistä joitain välttämättömiä käsitteitä.

Yhdistelmäluku tai n-yhdistelmät k: na ilmaistaan ​​seuraavasti:

Tämä muoto ilmaisee arvon siitä, kuinka monta alajoukkoa, joissa on k elementtiä, voidaan valita n elementin joukosta. Sen algebrallisen ilmaisun antaa:

Katsotaan esimerkki: Oletetaan, että meillä on seitsemän pallon ryhmä, joista kaksi on punaista ja loput sinistä.

Haluamme tietää kuinka monella tapaa voimme järjestää ne peräkkäin. Yksi tapa voisi olla sijoittaa kaksi punaista ensimmäiseen ja toiseen asemaan ja loput pallot jäljellä oleviin asentoihin.

Kuten edellisessä tapauksessa, voisimme antaa punaisille palloille ensimmäisen ja viimeisen sijan, ja miehittää muut sinisillä palloilla.

Nyt tehokas tapa laskea, kuinka monella tapaa järjestää pallot peräkkäin, on yhdistelmälukuja käyttämällä. Voimme nähdä jokaisen sijainnin seuraavan joukon elementtinä:

Sitten jää vain valita kahden elementin osajoukko, jossa kukin näistä elementeistä edustaa sitä sijaintia, jonka punaiset pallot miehittävät. Voimme tehdä tämän valinnan suhteen perusteella, jonka on antanut:

Tällä tavalla meillä on 21 tapaa tilata nämä pallot.

Tämän esimerkin yleisidea on erittäin hyödyllinen todistettaessa binoomaista lausea. Katsotaanpa tiettyä tapausta: jos n = 4, meillä on (a + b) ⁴, mikä ei ole muuta kuin:

Kun kehitämme tätä tuotetta, meillä on summa ehdoista, jotka saadaan kertomalla yksi elementti jokaisesta neljästä tekijästä (a + b). Siksi meillä on ehdot, jotka ovat muodoltaan:

Jos halusimme saada termiä muodossa ⁴, meidän on vain kerrottava seuraavasti:

Huomaa, että on vain yksi tapa saada tämä elementti; mutta mitä tapahtuu, jos etsimme nyt muodon a ² b ² termiä ? Koska "a" ja "b" ovat todellisia lukuja ja siksi kommutatiivinen laki on pätevä, meillä on yksi tapa saada tämä termi on moninkertaistaa jäsenten kanssa nuolen osoittamalla tavalla.

Kaikkien näiden toimintojen suorittaminen on yleensä melko työlästä, mutta jos näemme termin "a" yhdistelmänä, jossa haluamme tietää kuinka monella tapaa valita kaksi "a" neljän tekijän joukosta, voimme käyttää edellisen esimerkin ideaa. Joten meillä on seuraavat:

Siten, tiedämme, että lopullinen laajennus ilmentymisen (a + b) ⁴ meillä on täsmälleen 6a ² b ². Käyttämällä samaa ideaa muihin elementteihin, sinun on:

Sitten lisäämme aiemmin saadut lausekkeet ja meillä on seuraava:

Tämä on muodollinen todiste yleisestä tapauksesta, jossa "n" on mikä tahansa luonnollinen luku.

Esittely

Huomaa, että laajentamalla (a + b) ⁿ jäljellä olevat termit ovat muodossa a ^k b ^n-k, missä k = 0,1,…, n. Edellisen esimerkin ajatuksen avulla meillä on tapa valita «k» muuttujiksi «a» tekijöistä «n» on:

Valitsemalla tällä tavalla valitsemme automaattisesti nk muuttujat "b". Tästä seuraa, että:

esimerkit

Ottaen huomioon (a + b) ⁵, mikä olisi sen kehitys?

Binomiolauseella meillä on:

Binomial lause on erittäin hyödyllinen, jos meillä on lauseke, jossa haluamme tietää, mikä on tietyn termin kerroin ilman, että meidän tarvitsee tehdä täysi laajennus. Esimerkiksi voimme ottaa seuraavan tuntemattoman: mikä on kerroin x ⁷ ja ⁹ laajentuessa (x + y) ¹⁶ ?

Binomiaalipohjan mukaan kerroin on:

Toinen esimerkki olisi: mikä on kerroin x ⁵ ja ⁸ laajentuessa (3x-7y) ¹³ ?

Ensin kirjoitamme lausekkeen uudelleen sopivalla tavalla; Tämä on:

Sitten, käyttämällä binomiomaista lausetta, meillä on, että haettu kerroin on, kun meillä on k = 5

Toinen esimerkki tämän lauseen käytöstä on todiste joillekin yhteisille identiteetteille, kuten sellaisille, jotka mainitsemme seuraavaksi.

Identiteetti 1

Jos «n» on luonnollinen luku, meillä on:

Todisteeksi käytämme binomi-lausea, jossa sekä "a" että "b" saavat arvon 1. Sitten meillä on:

Tällä tavalla olemme todistaneet ensimmäisen identiteetin.

Identiteetti 2

Jos "n" on luonnollinen luku, niin

Binomiolauseella meillä on:

Toinen mielenosoitus

Voimme tehdä erilaisen todistuksen binomiomaisesta lauseesta käyttämällä induktiivista menetelmää ja Pascalin identiteettiä, joka kertoo meille, että jos «n» ja «k» ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka täyttävät n ≥ k, niin:

Induktionkestävä

Katsotaan ensin, että induktiivinen perusta pysyy. Jos n = 1, meillä on:

Todellakin, näemme sen toteutuneen. Olkoon n = j sellainen, että:

Haluamme nähdä, että n = j + 1: n tapauksessa on totta, että:

Joten meidän on

Hypoteesillä tiedämme, että:

Sitten jakeluominaisuutta käyttämällä:

Myöhemmin jokaista yhteenvetoa kehitettäessä meillä on:

Nyt, jos ryhmittelemme sopivalla tavalla, meillä on seuraavat asiat:

Pascal-identiteetin avulla meillä on:

Huomaa lopuksi, että:

Siksi näemme, että binoomilause koskee kaikkia "n", jotka kuuluvat luonnolukuihin, ja tällä todiste päättyy.

Mielenkiintoiset

Yhdistelmälukua (nk) kutsutaan myös binomi-kerrokseksi, koska juuri kerroin näkyy binomiaalin (a + b) ^{n kehityksessä}.

Isaac Newton antoi yleistyksen tästä lauseesta tapaukselle, jossa eksponentti on reaaliluku; Tämä lause tunnetaan Newtonin binomiaalisena lauseena.

Jo muinaisina aikoina tämä tulos oli tiedossa erityistapauksessa, jossa n = 2. Tämä tapaus mainitaan Euclid's Elements -lehdessä.

Viitteet

1. Johnsonbaugh Richard. Diskreetti matematiikka. PHH
2. Kenneth.H. Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskreetti matematiikka. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskreetti ja kombinatorinen matematiikka. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Vihreä tähti Luis.. Diskreetti ja kombinatorinen matematiikka Anthropos