FOURIER-MUUNNOS: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA

Fourier-muunnos on analyyttinen riittävyys menetelmä suunnattu funktioiden, joka kuuluu perheeseen kiinteä muunnoksia. Se koostuu funktioiden f (t) uudelleenmäärittelystä kos (t) ja Sen (t): n suhteen.

Näiden funktioiden trigonometriset identiteetit sekä niiden johdanto- ja antiderivaatio-ominaisuudet auttavat määrittelemään Fourier-muunnos seuraavan kompleksisen funktion kautta:

Mikä on totta niin kauan kuin ilmaisulla on järkeä, toisin sanoen kun väärä integraali on konvergenssi. Algebrallisesti Fourier-muunnoksen sanotaan olevan lineaarinen homeomorfismi.

Jokaisen toiminnon, jota voidaan käyttää Fourier-muunnoksella, tulee olla nolla määritellyn parametrin ulkopuolella.

ominaisuudet

Lähde: pexels

Fourier-muunnos täyttää seuraavat ominaisuudet:

Olemassaolo

Fourier-muunnoksen olemassaolon tarkistamiseksi reaaleissa R määritellyssä funktiossa f (t) on täytettävä seuraavat 2 aksomia:

f (t) on palayksittäin jatkuva kaikille R: lle
f (t) on integroitavissa R: ään

Fourier-muunnoksen lineaarisuus

Olkoon M (t) ja N (t) mikä tahansa kaksi funktiota, joilla on määritellyt Fourier-muunnokset, mahdollisilla vakioilla a ja b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Tätä tukee myös saman nimen integraalin lineaarisuus.

Johdannaisen Fourier-muunnos

On funktio f, joka on jatkuva ja integroitavissa kaikkiin reaaleihin, missä:

Ja f (f '): n johdannainen on jatkuva ja kappaleittain määritelty koko R: n kohdalla

Johdannaisen Fourier-muunnos määritetään integroimalla osiin seuraavalla lausekkeella:

F (z) = iz F (z)

Korkeamman asteen johdannaisissa sitä käytetään homologisella tavalla, missä meillä kaikilla n 1:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier-muunnoserottelu

On funktio f, joka on jatkuva ja integroitavissa kaikkiin reaaleihin, missä:

Käännöksen Fourier-muunnos

Jokaisella joukolla S ja T kuuluvalla θ, joka kuuluu joukkoon S ', meillä on:

F = e- ^ay FF = e- ^ax F

Jossa τ toimiva kuten käännös operaattori vektoriin.

Fourier-muunnoksen käännös

Jokaisella joukolla S ja T kuuluvalla θ, joka kuuluu joukkoon S ', meillä on:

τ _a F = F τ _a F = F

Kaikille on, jotka kuuluvat R

Asteikko-ryhmän Fourier-muunnos

Kaikille θ, jotka kuuluvat joukkoon S. T, joka kuuluu joukkoon S '

λ, joka kuuluu R - {0}, meillä on:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Jos f on jatkuva ja selvästi integroitava funktio, jossa a> 0. Sitten:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Tämän tuloksen osoittamiseksi voimme jatkaa muuttujan muutosta.

Kun T → + sitten s = kohdassa → + ∞

Kun T → - niin s = kohdassa → - ∞

Symmetria

Fourier-muunnoksen symmetrian tutkimiseksi on varmistettava Parsevalin identiteetti ja Plancherel-kaava.

Meillä θ ja δ kuuluvat S.: een. Voidaan päätellä, että:

Saada

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval-identiteetti

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel kaava

Konvoluutiotuotteen Fourier-muunnos

Tavoittamalla samanlaisia tavoitteita kuin Laplazin muunnos, funktioiden konvoluutio viittaa tuotteeseen niiden Fourier-muunnosten välillä.

Meillä on f ja g 2 rajattuna, määriteltynä ja täysin integroitavana toimintona:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Jatkuvuus ja pudota äärettömyyteen

Mikä on Fourier-muunnos?

Sen tarkoituksena on ensisijaisesti yksinkertaistaa yhtälöitä merkittävästi, samalla kun johdetut lausekkeet muunnetaan voimaelementeiksi, mikä tarkoittaa differentiaalisia lausekkeita integroitavien polynomien muodossa.

Tulosten optimoinnissa, moduloinnissa ja mallinnuksessa se toimii standardoiduna ilmaisuna, sillä se on usein resurssi suunnittelulle useiden sukupolvien jälkeen.

Fourier-sarja

Ne ovat sarjoja, jotka on määritelty kosiniinien ja siniinien suhteen; Niiden avulla voidaan helpottaa työskentelyä yleisten jaksollisten toimintojen kanssa. Sovellettaessa ne ovat osa tekniikoita tavallisten ja osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Fourier-sarjat ovat jopa yleisempiä kuin Taylor-sarjat, koska ne kehittävät jaksottaisia epäjatkuvia toimintoja, joissa ei ole Taylor-sarjan esitystä.

Muut Fourier-sarjan muodot

Fourier-muunnoksen analyyttisen ymmärtämiseksi on tärkeää tarkastella muita muotoja, joissa Fourier-sarja löytyy, kunnes Fourier-sarjat voidaan määritellä sen monimutkaisessa merkinnässä.

-Julkisarja sarjassa 2L

Monta kertaa on tarpeen mukauttaa Fourier-sarjan rakenne jaksollisiin funktioihin, joiden jakso on p = 2L> 0 välillä.

-Lisämatkaiset ja parilliset funier-sarjat

Väli otetaan huomioon, mikä tarjoaa etuja, kun hyödynnetään toimintojen symmetrisiä ominaisuuksia.

Jos f on parillinen, Fourier-sarja muodostetaan kosinitesarjaksi.

Jos f on pariton, Fourier-sarja muodostetaan siniaalisarjaksi.

- Fourier-sarjan monimutkainen merkintä

Jos meillä on funktio f (t), joka täyttää kaikki Fourier-sarjan kehittämisvaatimukset, on mahdollista merkitä se aikavälillä käyttämällä monimutkaista merkintää:

Sovellukset

Lähde: pexels

Perusratkaisun laskeminen

Fourier-muunnos on tehokas työkalu vakiokertoimilla lineaarityyppisten osittaisten differentiaaliyhtälöiden tutkimisessa. Ne koskevat toimintoja, joissa verkkotunnukset ovat rajattomia.

Kuten Laplacen muunnos, myös Fourier-muunnos muuntaa osittaisen johdannaistoiminnon tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi, joka on paljon yksinkertaisempi käyttää.

Lämpöyhtälön Cauchy-ongelma esittää Fourier-muunnoksen usein sovellettavan kentän, jossa lämpöydin tai Dirichlet-ydin muodostetaan.

Perusratkaisun laskennassa esitetään seuraavat tapaukset, joissa on yleistä löytää Fourier-muunnos:

Signaaliteoria

Yleinen syy Fourier-muunnoksen soveltamiseen tässä haarassa johtuu suurelta osin signaalin ominaishajoamisesta helpommin hoidettavien signaalien äärettömänä superpositiona.

Se voi olla ääni- tai sähkömagneettinen aalto, Fourier-muunnos ilmaisee sen yksinkertaisten aaltojen superpositiona. Tämä esitys on melko yleinen sähkötekniikassa.

Toisaalta, ovat esimerkkejä Fourier-muunnoksen soveltamisesta signaaliteorian alalla:

esimerkit

Esimerkki 1

Määritä Fourier-muunnos seuraavalle lausekkeelle:

Voimme myös edustaa sitä seuraavalla tavalla:

F (t) = Sen (t)

Suorakulmainen pulssi määritetään:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourier-muunnosta sovelletaan seuraavaan lausekkeeseen, joka muistuttaa modulaatioreoremaa.

f (t) = p (t) Sen (t)

Missä: F = (1/2) i

Ja Fourier-muunnoksen määrittelee:

F = (1/2) i

Esimerkki 2

Määritä Fourier-muunnos lausekkeelle:

Koska f (h) on tasainen funktio, voidaan todeta, että

Integrointi osittain tapahtuu valitsemalla muuttujat ja niiden erot seuraavasti

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h) ² v = (e ^-h) ² /2

Korvaa sinulla on

Arvioinnin jälkeen lasketaan laskennan peruslause

Sovellettaessa ennakkotietoa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöistä, lauseke merkitään

K: n saamiseksi arvioimme

Lopuksi lausekkeen Fourier-muunnos määritellään

Ehdotetut harjoitukset

Hanki lausekkeen W / (1 + w ²) muunnos

Viitteet

Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-analyysi. Addison - Wesley Iberoamericana, Madridin autonominen yliopisto, 1995.
Lions, JL, Matemaattinen analyysi ja numeeriset menetelmät tieteelle ja tekniikalle. Springer - Verlag, 1990.
Lieb, EH, Gauss-ytimissä on vain Gauss-maksimoijat. Keksiä. Matematiikka. 102, 179 - 208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, Fourier-sarja ja integraalit. Academic Press, New York, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Distributions. Toim. Hermann, Pariisi, 1966.

FOURIER-MUUNNOS: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026