LAPLAKSEN MUUNNOS: MÄÄRITELMÄ, HISTORIA JA MITÄ VARTEN SE ON - MATEMATIIKKA - 2026

Laplace on ollut viime vuosina erittäin tärkeää insinööritutkimukset, matematiikan, fysiikan, muun tieteen alat, samoin kuin on suurta kiinnostusta teoriassa tarjoaa helpon tavan ratkaista ongelmia, jotka ovat lähtöisin tiede ja tekniikka.

Alun perin Pierre-Simón Laplaz esitteli Laplace-muunnoksen todennäköisyyden teoriaa koskevassa tutkimuksessaan, ja sitä käsiteltiin alun perin puhtaasti teoreettisen mielenkiinnon kohteena olevana matemaattisena kohteena.

Nykyiset sovellukset syntyvät, kun useat matemaatikot yrittivät antaa muodollisen perusteen "toiminnallisille säännöille", joita Heaviside käytti sähkömagneettisen teorian yhtälöiden tutkimisessa.

Määritelmä

Olkoon f funktiona t ≥ 0 määritelty funktio. Laplace-muunnos määritetään seuraavasti:

Laplace-muunnoksen sanotaan olevan olemassa, jos edellinen integraali konvergoituu, muuten Laplace-muunnoksen sanotaan olevan olemassa.

Yleensä pienillä kirjaimilla tarkoitetaan muunnettavaa funktiota, ja iso kirjain vastaa sen muunnosta. Tällä tavalla meillä on:

esimerkit

Tarkastellaan vakiofunktiota f (t) = 1. Meillä on sen muunnos:

Aina kun integraali lähentyy, ts. Aina kun s> 0. Muussa tapauksessa s <0, integraali hajoaa.

Olkoon g (t) = t. Sen Laplace-muunnoksen antaa

Integroimalla osilla ja tietäen, että te ^-st yleensä 0, kun t pyrkii äärettömyyteen ja s> 0, yhdessä edellisen esimerkin meillä on:

Transformaatio voi olla tai ei ole olemassa, esimerkiksi funktiolle f (t) = 1 / t integraali, joka määrittelee sen Laplace-muunnoksen, ei konvergoitu, ja siksi sen muunnosta ei ole.

Riittävät olosuhteet funktion f Laplace-muunnoksen olemassaolon takaamiseksi ovat, että f on pala yhtäjaksoista t ≥ 0 ja on eksponentiaalisessa järjestyksessä.

Funktion sanotaan olevan palayksittäin jatkuvaa t ≥ 0: lle, kun tahansa aikavälillä, jonka arvo on> 0, on äärellinen määrä pisteitä t _k, joissa f: llä on epäjatkuvuuksia ja joka on jatkuva jokaisessa alivälissä.

Toisaalta funktion sanotaan olevan eksponentiaalinen luokka c, jos on olemassa vakiot M> 0, c ja T> 0 siten, että:

Esimerkkeinä meillä on, että f (t) = t ² on eksponentiaalinen järjestyksessä, koska -t ² - <e ^3t kaikilla t> 0.

Muodollisella tavalla meillä on seuraava lause

Lause (riittävät olosuhteet olemassaololle)

Jos f on osana jatkuva funktio t> 0: lle ja eksponentiaalisessa järjestyksessä c, niin Laplace-muunnos on olemassa s> c: lle.

On tärkeää huomata, että tämä on riittävyysedellytys, ts. Voi olla, että on funktio, joka ei täytä näitä ehtoja, ja jopa niin, että sen Laplace-muunnos on olemassa.

Esimerkki tästä on funktio f (t) = t ^-1/2, joka ei ole ^palaittain jatkuva t = 0, mutta sen Laplace-muunnos on olemassa.

Joidenkin perustoimintojen muutos Laplacessa

Seuraava taulukko näyttää yleisimmät funktiot Laplace-muunnoksina.

Historia

Laplacen muunnos velkaa nimensä Pierre-Simon Laplalle, ranskalaiselle matemaatikolle ja teoreettiselle tähtitieteilijälle, joka syntyi vuonna 1749 ja kuoli vuonna 1827. Hänen maineensa oli sellainen, että hänet tunnettiin Ranskan Newtonina.

Vuonna 1744 Leonard Euler omistautui tutkimuksilleen integraalien kanssa muodossa

kuin tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja, mutta hän hylkäsi tämän tutkimuksen nopeasti. Myöhemmin, Joseph Louis Lagrange, joka ihaili suuresti Euleria, tutki myös nämä integraalityypit ja liitti ne todennäköisyyden teoriaan.

1782, Laplace

Vuonna 1782 Laplace alkoi tutkia sellaisia ​​integraaleja ratkaisuina differentiaaliyhtälöihin ja historioitsijoiden mukaan hän päätti vuonna 1785 muotoilla ongelman uudelleen, mikä myöhemmin aiheutti Laplace-muunnokset sellaisina kuin ne nykyään ymmärretään.

Koska se oli otettu käyttöön todennäköisyys teorian kentällä, se ei ollut silloin kiinnostavaa tutkijoita ja sitä pidettiin vain matemaattisena kohteena, jolla oli vain teoreettinen merkitys.

Oliver Heaviside

Englantilainen insinööri Oliver Heaviside huomasi 1800-luvun puolivälissä, että differentiaalioperaattoreita voidaan käsitellä algebrallisina muuttujina, mikä antaa Laplace-muunnelmille nykyaikaisen sovelluksensa.

Oliver Heaviside oli englantilainen fyysikko, sähköinsinööri ja matemaatikko, joka syntyi Lontoossa vuonna 1850 ja kuoli vuonna 1925. Yrittäessään ratkaista värähtelyteoriaan sovellettuja differentiaaliyhtälöongelmia ja Laplacen tutkimuksia käyttämällä, hän alkoi muotoilla Laplace-muunnoksen modernit sovellukset.

Heavisiden esittämät tulokset levisivät nopeasti koko ajan ajan tiedeyhteisöön, mutta koska hänen työnsä ei ollut tiukkaa, perinteisemmät matemaatikot kritisoivat häntä nopeasti.

Heaviside-työn hyödyllisyys yhtälöiden ratkaisemisessa fysiikassa teki hänen menetelmistä kuitenkin suositun fyysikoiden ja insinöörien keskuudessa.

Näistä takaiskuista ja joidenkin vuosikymmenien epäonnistuneista yrityksistä huolimatta 1900-luvun alussa Heavisiden antamille toimintasäännöille voitiin antaa tiukat perusteet.

Nämä yritykset tuottivat hedelmää erilaisten matemaatikkojen, kuten Bromwichin, Carsonin, van der Polin, ponnistelujen ansiosta.

ominaisuudet

Laplace-muunnoksen ominaisuuksista seuraavat seuraavat:

lineaarisuus

Olkoon c1 ja c2 vakioita ja f (t) ja g (t) funktiot, joiden Laplasen muunnokset ovat vastaavasti F (s) ja G (s), niin meillä on:

Tämän ominaisuuden vuoksi Laplace-muunnoksen sanotaan olevan lineaarinen operaattori.

esimerkki

Ensimmäinen käännöslause

Jos tapahtuu niin:

Ja 'a' on mikä tahansa reaaliluku, joten:

esimerkki

Koska cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplace-muunnos sitten:

Toinen käännöslause

Joo

Niin

esimerkki

Jos f (t) = t ^ 3, niin F (s) = 6 / s ^ 4. Ja siksi muutos

on G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Asteikon muutos

Joo

Ja 'a' on nollatodellinen, meidän täytyy

esimerkki

Koska f (t) = sin (t): n muunnos on F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), meillä on

Laplacen muunnos johdannaisista

Jos f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ ovat jatkuvia, kun t ≥ 0, ja ovat eksponentiaalisessa järjestyksessä, ja f ⁽ⁿ⁾ (t) on pala, jatkuvasti t ≥ 0, niin

Integraalien Laplaksen muunnos

Joo

Niin

Kertolasku t: llä

Jos meidän on

Niin

Jako t: n mukaan

Jos meidän on

Niin

Määräaikaiset toiminnot

Olkoon f jaksollinen funktio, jonka jakso T> 0, eli f (t + T) = f (t)

F: n (käyttäytyminen) s: ksi on taipumus äärettömyyteen

Jos f on jatkuva osissa ja eksponentiaalisessa järjestyksessä ja

Niin

Käänteiset muunnokset

Kun sovellamme Laplace-muunnosta funktioon f (t), saadaan F (s), joka edustaa tätä muunnosta. Samalla tavalla voimme sanoa, että f (t) on F (s): n käänteinen Laplace-muunnos ja kirjoitetaan

Tiedämme, että f (t) = 1 ja g (t) = t Laplace-muunnokset ovat vastaavasti F (s) = 1 / s ja G (s) = 1 / s ², siksi meillä on

Joitakin yleisiä käänteisiä Laplace-muunnoksia ovat seuraavat

Lisäksi käänteinen Laplacen muunnos on lineaarinen, eli on totta, että

Harjoittele

löytö

Tämän tehtävän ratkaisemiseksi meidän on sovitettava funktio F (t) yhteen edellisestä taulukosta. Jos tässä tapauksessa otetaan + 1 = 5 ja käänteismuunnoksen lineaarisuusominaisuutta käytetään, kerrotaan ja jaetaan 4: llä! Saada

Toiseen käänteiseen muunnokseen käytämme osittaisia ​​murto-ohjeita funktion F (s) uudelleen kirjoittamiseksi ja sitten lineaarisuuden ominaisuuden saamiseksi

Kuten näistä esimerkeistä voidaan nähdä, on tavallista, että arvioitava funktio F (t) ei vastaa tarkalleen mitään taulukossa annettua funktiota. Kuten voidaan nähdä, näissä tapauksissa funktio kirjoitetaan uudelleen, kunnes se saavuttaa sopivan muodon.

Laplace-muunnoksen sovellukset

Differentiaaliyhtälöt

Laplace-muunnosten pääsovellus on erotusyhtälöiden ratkaiseminen.

Käyttämällä johdannaisen muunnoksen ominaisuutta on selvää, että

Y n-1-johdannaisista, jotka on arvioitu t = 0.

Tämä ominaisuus tekee muunnosta erittäin hyödyllisen ratkaisemalla alkuarvoongelmia, joissa on mukana vakiokertoimilla varustetut differentiaaliyhtälöt.

Seuraavat esimerkit osoittavat, kuinka voidaan käyttää Laplace-muunnosta differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Esimerkki 1

Kun otetaan huomioon seuraava alkuarvoongelma

Käytä Laplace-muunnosta löytääksesi ratkaisun.

Käytämme Laplace-muunnosta jokaisessa differentiaaliyhtälön jäsenessä

Johdannaisen muunnoksen ominaisuuden kautta, joka meillä on

Kehittämällä kaikki ilmaisu ja tyhjentämällä Y (t) meillä on

Käyttämällä osittaisia ​​murto-osia kirjoittamalla saamme yhtälön oikea puoli uudelleen

Lopuksi tavoitteemme on löytää funktio y (t), joka täyttää differentiaaliyhtälön. Käänteisen Laplace-muunnoksen käyttö antaa meille tuloksen

Esimerkki 2

Ratkaista

Kuten edellisessä tapauksessa, sovellamme muunnosta yhtälön molemmille puolille ja erillistä termiä termillä.

Tällä tavalla meillä on tuloksena

Korvaa annetulla alkuarvolla ja ratkaisee Y (s)

Käyttämällä yksinkertaisia ​​murto-osia, voimme kirjoittaa yhtälön seuraavalla tavalla

Ja käänteisen Laplace-muunnoksen soveltaminen antaa meille tuloksen

Näissä esimerkeissä voidaan virheellisesti päätellä, että tämä menetelmä ei ole paljon parempi kuin perinteiset menetelmät differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Laplace-muunnoksen etuna on, että sinun ei tarvitse käyttää parametrien variaatiota tai huolehtia määrittelemättömän kertoimen menetelmän eri tapauksista.

Lisäksi ratkaistaessa alkuarvoongelmia tällä menetelmällä käytämme alusta alkaen lähtöolosuhteita, joten tietyn ratkaisun löytämiseksi ei ole tarpeen suorittaa muita laskelmia.

Erotusyhtälöiden järjestelmät

Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös ratkaisujen löytämiseen samanaikaisiin tavallisiin differentiaaliyhtälöihin, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

esimerkki

Ratkaista

Alkuolosuhteissa x (0) = 8 ja y (0) = 3.

Jos meidän on

Niin

Ratkaisu antaa meille seurauksena

Ja soveltamalla käänteistä Laplacen muunnosta, joka meillä on

Mekaaniset ja sähköiset piirit

Laplace-muunnoksella on suuri merkitys fysiikassa, sillä on pääasiassa sovelluksia mekaniikkaan ja sähköpiireihin.

Yksinkertainen sähköpiiri koostuu seuraavista elementeistä

Kytkin, akku tai lähde, induktori, vastus ja kondensaattori. Kun kytkin on kiinni, syntyy sähkövirta, jota merkitään merkinnällä i (t). Kondensaattorin varaus on merkitty q (t).

Kirchhoffin toisen lain mukaan lähteen E tuottaman jännitteen suljetussa piirissä on oltava yhtä suuri kuin kunkin jännitehäviön summa.

Sähkövirta i (t) liittyy kondensaattorin varaukseen q (t) i = dq / dt. Toisaalta jännitteen lasku jokaisessa elementissä määritetään seuraavasti:

Jännitteen pudotus vastuksen yli on iR = R (dq / dt)

Jännitteen pudotus induktorin poikki on L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

Kondensaattorin jännitehäviö on q / C

Näiden tietojen avulla ja soveltamalla Kirchhoffin toista lakia yksinkertaiseen suljettuun piiriin saadaan toisen asteen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa järjestelmää ja antaa meille mahdollisuuden määrittää q (t) -arvon.

esimerkki

Induktori, kondensaattori ja vastus on kytketty akkuun E, kuten kuvassa. Induktori on 2 henraa, kondensaattori on 0,02 faaria ja resistanssi on 16 ohmia. Ajankohtana t = 0 piiri on suljettu. Löydä lataus ja virta milloin tahansa t> 0, jos E = 300 volttia.

Meillä on, että tätä piiriä kuvaava differentiaaliyhtälö on seuraava

Kun lähtöolosuhteet ovat q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Laplaksen muunnosta soveltamalla saadaan se

Ja ratkaisu Q (t): lle

Sitten soveltamalla käänteistä Laplacen muunnosta, joka meillä on

Viitteet

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-muunnos elektroniikkainsinööreille. Limusa.
2. Ruiz, LM, ja Hernandez, kansanedustaja (2006). Differentiaaliyhtälöt ja Laplaksen muunnos sovelluksilla. Toimituksellinen UPV.
3. Simmons, GF (1993). Eriyhtälöt sovellusten ja historiallisten huomautusten kanssa. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplassi muuttuu. McGraw-Hill.
5. Zill, pääosasto, ja Cullen, MR (2008). Eriyhtälöt raja-arvoongelmien kanssa. Cengage Learning Editores, SA