AKUUTTI KOLMIO: OMINAISUUDET JA TYYPIT - MATEMATIIKKA - 2026

Akuutti kolmiot ovat ne, joiden kolme sisäistä kulmat ovat terävät kulmat; ts. kunkin näistä kulmista on alle 90 ° astetta. Koska meillä ei ole oikeaa kulmaa, Pythagoran lause ei pidä tätä geometrista kuvaa.

Siksi, jos haluamme jonkin tyyppistä tietoa mistä tahansa sen sivusta tai kulmasta, on tarpeen käyttää muita lauseita, jotka antavat meille mahdollisuuden käyttää mainittuja tietoja. Niitä, joita voimme käyttää, ovat sini- lause ja kosinin lause.

ominaisuudet

Tämän geometrisen hahmon ominaisuuksista voimme korostaa ne, jotka annetaan yksinkertaisen tosiasian ollessa kolmio. Näiden joukossa meillä on:

- Kolmio on monikulmio, jolla on kolme sivua ja kolme kulmaa.

- Sen kolmen sisäkulman summa on yhtä suuri kuin 180 °.

- Kahden sen sivun summa on aina suurempi kuin kolmas.

Katsotaan esimerkiksi seuraavaa kolmiota ABC. Tunnistamme yleisesti sen sivut pienillä kirjaimilla ja kulmat isoilla kirjaimilla siten, että toisella puolella ja sen vastakkaisessa kulmassa on sama kirjain.

Jo annettujen ominaisuuksien perusteella tiedämme, että:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b ja b + c> a

Tärkein ominaisuus, joka erottaa tämän tyyppisen kolmion muista, on, että kuten jo mainitsimme, sen sisäkulmat ovat akuutit; toisin sanoen jokaisen sen kulman mitta on alle 90 °.

Akuutit kolmiot yhdessä raajojen kolmioiden kanssa (ne, joiden yhden kulman mitta on suurempi kuin 90 °), ovat osa viistojen kolmioiden joukosta. Tämä joukko koostuu kolmioista, jotka eivät ole suorakulmaisia.

Koska vino kolmiot ovat osa, meidän on kyettävä ratkaisemaan akuutteihin kolmioihin liittyviä ongelmia, meidän on käytettävä siniaaluslaitetta ja kosinuslausetta.

Siniaaltolause

Siniaaltolause kertoo meille, että yhden sivun ja sen vastakkaisen kulman siniinin välinen suhde on yhtä suuri kuin kaksi kertaa mainitun kolmion kolmen kärjen muodostaman ympyrän säde. Tarkoittaen:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinuslause

Toisaalta kosinin lause antaa meille nämä kolme yhtälöä jokaiselle kolmiolle ABC:

a ² = b ² + c ² -2 bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Nämä lauseet tunnetaan myös vastaavasti sinin ja kosinin lakina.

Toinen ominaisuus, jonka voimme antaa akuuteille kolmioille, on, että kaksi niistä on yhtä suuret, jos ne täyttävät jonkin seuraavista kriteereistä:

- Jos heillä on samat kolme puolta.

- Jos niillä on toinen puoli ja kaksi yhtä suurta kulmaa toisiinsa nähden.

- Jos niillä on kaksi yhtä suurta puolta ja kulma.

Tyypit

Akuutit kolmiat voidaan luokitella sivujensa perusteella. Nämä voivat olla:

Tasasivuiset akuutit kolmiot

Ne ovat akuutteja kolmioita, joiden kaikki sivut ovat samat ja siksi kaikilla niiden sisäisillä kulmilla on sama arvo, joka on A = B = C = 60 ° astetta.

Otetaan esimerkiksi seuraava kolmio, jonka sivujen a, b ja c arvo on 4.

Tasakylkisiä akuutteja kolmioita

Näillä kolmioilla on lisäksi akuutit sisäiset kulmat, että niillä on kaksi samansuuntaista puolta ja kolmas, jota yleensä pidetään perustana, erilainen.

Esimerkki tämäntyyppisistä kolmioista voi olla sellainen, jonka pohja on 3 ja sen muiden kahden sivun arvo on 5. Näillä mittauksilla sillä olisi vastakkaiset kulmat tasaisiin sivuihin, joiden arvo on 72,55 °, ja vastakkaiset kulmat pohja olisi 34,9 °.

Scalene akuutit kolmiot

Nämä ovat kolmiot, joilla kaikilla on eri puolilla kaksi kerrallaan. Siksi kaikki sen kulmat ovat vähemmän kuin 90 °, ja ne eroavat kahdesta kahteen.

Kolmio DEF (jonka mitat ovat d = 4, e = 5 ja f = 6 ja sen kulmat ovat D = 41,41 °, E = 55,79 ° ja F = 82,8 °) on hyvä esimerkki akuutista kolmiosta scalenus.

Terävien kolmioiden resoluutio

Kuten aiemmin totesimme, akuutteja kolmioita sisältävien ongelmien ratkaisemiseksi on käytettävä sini- ja kosinuselauseita.

Esimerkki 1

Kun annetaan kolmio ABC, jonka kulmat A = 30 °, B = 70 ° ja sivu a = 5cm, haluamme tietää kulman C ja sivujen b ja c arvot.

Ensimmäinen asia, jonka teemme, on käyttää tosiasiaa, että kolmion sisäkulmien summa on 180 °, kulman C arvon saamiseksi.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Tyhjennä C ja meillä on:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Koska tiedämme jo kolme kulmaa ja yhden sivun, voimme käyttää sinilausetta jäljellä olevien sivujen arvon määrittämiseen. Lauseen mukaan meillä on:

a / sin (A) = b / syn (B) ja a / sin (A) = c / (syn (C)

Eristämme b yhtälöstä ja jäämme seuraaviin:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Nyt meidän tarvitsee vain laskea c: n arvo. Etenemme samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Siten saamme kaikki kolmion tiedot. Kuten voimme nähdä, tämä kolmio kuuluu asteikolla akuutin kolmion luokkaan.

Esimerkki 2

Kun otetaan huomioon kolmio DEF, jonka sivut ovat d = 4cm, e = 5cm ja f = 6cm, haluamme tietää mainitun kolmion kulmien arvon.

Tässä tapauksessa käytämme kosinin lakia, joka kertoo meille, että:

d ² = e ² + f ² - ² efcos (D)

Tästä yhtälöstä voimme ratkaista cos (D): n, joka antaa meille tuloksena:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Siksi meillä on D≈ 41,41 °

Nyt käyttämällä senom-lause, meillä on seuraava yhtälö:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Ratkaisemalla syntiä (E), meillä on:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 - 0,827

Siksi meillä on E≈55,79 °

Lopuksi, kun otetaan huomioon, että kolmion sisäkulmien summa on 180 °, meillä on F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Edistystä.
2. Leake, D. (2006). Kolmio (kuvassa ed.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Tason metrinen geometria, CODEPRE
4. Ruiz, Á., Ja Barrantes, H. (2006). Geometriaa. CR-tekniikka.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometria ja analyyttinen geometria. Pearson koulutus.