SCALENE KOLMIO: OMINAISUUDET, KAAVA JA ALUEET, LASKENTA - MATEMATIIKKA - 2026

Scalenus kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua, jotka kaikki ovat erilaisia toimenpiteitä tai pituudet; tästä syystä sille annetaan skyleenin nimi, joka latinaksi tarkoittaa kiipeilyä.

Kolmioita ovat monikulmioita, joita pidetään geometrian yksinkertaisimpana, koska ne koostuvat kolmesta sivusta, kolmesta kulmasta ja kolmesta huipusta. Skaalakolmion tapauksessa se, että kaikki sivut ovat erilaiset, tarkoittaa, että sen kolme kulmaa ovat liian.

Skaalakolmioiden ominaisuudet

Scalene-kolmiot ovat yksinkertaisia ​​monikulmioita, koska mikään niiden sivuista tai kulmista ei ole sama mitta, toisin kuin nelikulmaiset ja tasasivuiset kolmiot.

Koska kaikkien niiden sivujen ja kulmien mitat ovat erilaiset, näitä kolmioita pidetään epäsäännöllisinä kuperina monikulmioina.

Sisäkulmien amplitudin perusteella skaalakolmio luokitellaan:

• Scalene oikea kolmio: kaikki sivut ovat erilaisia. Yksi sen kulmista on oikein (90 ^tai) ja muut ovat teräviä ja erilaisilla mitoilla.
• Turha asteikon kolmio: kaikki sivut ovat erilaisia ​​ja yksi sen kulmista on tylppä (> 90 ^tai).
• Scalene-akuutti kolmio: kaikki sivut ovat erilaisia. Kaikki kulmat ovat teräviä (<90 ^tai) erilaisilla mittoilla.

Toinen piirrettyjen kolmioiden ominaisuus on, että niiden sivujen ja kulmien epäyhtenäisyydestä johtuen niillä ei ole symmetria-akselia.

komponentit

Mediaani: se on linja, joka alkaa yhden sivun keskipisteestä ja ulottuu vastakkaiselle kärjelle. Kolme mediaania kohtaavat pisteessä, jota kutsutaan barycenteriksi tai centroidiksi.

Bisector: se on säde, joka jakaa jokaisen kulman kahteen yhtä suureen kulmaan. Kolmion puolittimet kohtaavat pisteessä, jota kutsutaan kannustimeksi.

Bisector: se on segmentti, joka on kohtisuorassa kolmion sivua vastaan ​​ja jonka alkuperä on sen keskellä. Kolmiossa on kolme puolittajaa, ja ne kohtaavat pisteessä, jota kutsutaan ympyränmurtajaksi.

Korkeus: linja kulkee kärkipisteestä vastakkaiselle puolelle, ja myös tämä viiva on kohtisuora kyseiselle puolelle. Kaikilla kolmioilla on kolme korkeutta, jotka osuvat yhteen pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi.

ominaisuudet

Scalene-kolmiot määritetään tai tunnistetaan, koska niillä on useita ominaisuuksia, jotka kuvaavat niitä, johtuen suurten matemaatikkojen ehdottamista lauseista. He ovat:

Sisäiset kulmat

Sisäkulmien summa on aina yhtä suuri kuin 180 ^°.

Sivujen summa

Kahden sivun mittojen summan on aina oltava suurempi kuin kolmannen sivun mitan, a + b> c.

Epäterävät sivut

Skaalakolmioiden kaikilla puolilla on eri mitat tai pituudet; toisin sanoen ne ovat virheellisiä.

Epämääräiset kulmat

Koska skaalauskolmion kaikki sivut ovat erilaiset, myös sen kulmat tulevat olemaan. Sisäisten kulmien summa on kuitenkin aina yhtä suuri kuin 180º, ja joissakin tapauksissa yksi sen kulmista voi olla tylppä tai suora, kun taas toisissa sen kaikki kulmat ovat teräviä.

Korkeus, mediaani, puolittaja ja puolittaja eivät ole sattuma

Kuten missä tahansa kolmiossa, myös skaleenilla on useita linjasegmenttejä, jotka muodostavat sen, kuten: korkeus, mediaani, puolittaja ja puolittaja.

Sen sivujen erityisyyden vuoksi, tämän tyyppisissä kolmioissa, mikään näistä viivoista ei osu yhteen.

Ortosenttikeskus, haaroituskeskus, kannustin ja ympyrän keskipiste eivät ole sattumia

Koska korkeutta, mediaania, puolittajaa ja puoliskoa edustavat erilaiset linjaosuudet, skaalakolmiossa kohtauspisteet - ortosentraali, kiihdytin ja ympärysmittari - löytyvät eri kohdista (ne eivät ole samat).

Ortokeskuksella on eri sijainnit sen mukaan, onko kolmio akuutti, oikea tai skaalainen:

on. Jos kolmio on akuutti, ortosentti on kolmion sisällä.

b. Jos kolmio on oikeassa, ortokeskuksen tulee olla oikean pinnan kärjen kanssa.

C. Jos kolmio on taipuvainen, ortosenttikeskus on kolmion ulkopuolella.

Suhteelliset korkeudet

Korkeudet ovat suhteessa sivuihin.

Skaalakolmion tapauksessa näiden korkeuksien mitat ovat erilaiset. Jokaisella kolmiolla on kolme suhteellista korkeutta, ja niiden laskemiseen käytetään Heronin kaavaa.

Kuinka laskea kehä?

Monikulmion kehä lasketaan lisäämällä sivut.

Koska tässä tapauksessa asteikon kolmion kaikilla sivuilla on erilaiset mitat, sen kehä on:

P = puoli a + puoli b + puoli c.

Kuinka laskea pinta-ala?

Kolmioiden pinta-ala lasketaan aina samalla kaavalla, kertomalla perusajan korkeus ja jakamalla kahdella:

Pinta-ala = (perusta _* h) ÷ 2

Joissain tapauksissa asteikon kolmion korkeutta ei tunneta, mutta on matemaatikko Herónin ehdottama kaava alueen laskemiseksi, joka tietää kolmion kolmen sivun mitan.

Missä:

• a, b ja c edustavat kolmion sivuja.
• sp, vastaa kolmion puolikohtaa, ts. puolta kehästä:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Siinä tapauksessa, että meillä on vain kolmen kolmen sivun ja niiden välille muodostetun kulman mitta, pinta-ala voidaan laskea soveltamalla trigonometrisiä suhteita. Joten sinun on

Pinta-ala = (puoli _* h) ÷ 2

Missä korkeus (h) on yhden sivun ja vastakkaisen kulman sinin tulo. Esimerkiksi kummallakin puolella alue on:

• Pinta-ala = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Pinta-ala = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Pinta-ala = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Kuinka laskea korkeus?

Koska skaalauskolmion kaikki sivut ovat erilaisia, korkeutta ei ole mahdollista laskea Pythagoran lauseen avulla.

Pinta-ala voidaan laskea Heronin kaavasta, joka perustuu kolmion kolmen sivun mittauksiin.

Korkeus voidaan poistaa alueen yleisestä kaavasta:

Sivu korvataan sivun a, b tai c mitalla.

Toinen tapa laskea korkeus, kun yhden kulman arvo tiedetään, on käyttää trigonometrisiä suhteita, joissa korkeus edustaa kolmiota.

Esimerkiksi, kun korkeutta vastakkainen kulma tunnetaan, se määritetään sinin avulla:

Kuinka laskea sivut?

Kun sinulla on kahden sivun mitta ja kulma niitä vastapäätä, on mahdollista määrittää kolmas puoli kosinilauseella.

Esimerkiksi kolmiossa AB korkeus suhteessa segmenttiin AC piirretään. Tällä tavalla kolmio on jaettu kahteen oikeaan kolmioon.

Laskeaksesi sivun c (segmentti AB), käytä Pythagoran lauseen jokaiselle kolmiolle:

• Sinistä kolmiota varten meillä on:

c ² = h ² + m ²

Koska m = b - n, korvaamme:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 mrd + n ².

• Pinkki vaaleanpunainen kolmio täytyy:

h ² = a ² - n ²

Se korvataan edellisessä yhtälössä:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 mrd + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 miljardia.

Tietäen, että n = a _* cos C, se korvataan edellisessä yhtälössä ja saadaan sivun c arvo:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Kokosiinilain mukaan puolet voidaan laskea seuraavasti:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

On tapauksia, joissa kolmion sivujen mittoja ei tunneta, vaan pikemminkin niiden korkeus ja kärkiin muodostetut kulmat. Pinta-alan määrittämiseksi näissä tapauksissa on tarpeen soveltaa trigonometrisiä suhteita.

Jalat tunnistetaan ja niiden vastaavaa trigonometristä suhdetta tunnistetaan sen kärkien kulmasta:

Esimerkiksi haara AB on vastakkaisella kulmalla C, mutta vieressä kulmassa A. Riippuen korkeudesta vastaavasta sivusta tai jalasta toinen puoli tyhjennetään tämän arvon saamiseksi.

Harjoitukset

Ensimmäinen harjoitus

Laske asteikon kolmion ABC pinta-ala ja korkeus tietäen, että sen sivut ovat:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Ratkaisu

Tietona on annettu skaalan kolmion kolmen sivun mittaukset.

Koska korkeusarvoa ei ole saatavana, pinta-ala voidaan määrittää käyttämällä Heronin kaavaa.

Ensin puolipimetri lasketaan:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nyt arvot korvataan Heronin kaavassa:

Pinta-alaa tunteen voidaan laskea korkeus suhteessa sivuun b. Yleisestä kaavasta, tyhjentämällä se, meillä on:

Pinta-ala = (puoli _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) Ö 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) Ö 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Toinen harjoitus

Ottaen huomioon asteikon kolmion ABC, jonka mitat ovat:

• Segmentti AB = 25 m.
• Segmentti BC = 15 m.

Kärkipisteessä B muodostuu 50º kulma. Laske korkeus suhteessa sivun c, ympärysmittaan ja kyseisen kolmion pinta-alaan.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on kahden puolen mitat. Korkeuden määrittämiseksi on tarpeen laskea kolmannen sivun mittaus.

Koska annetaan annettuihin sivuihin nähden vastakkaiset kulmat, on mahdollista soveltaa kosinien lakia sivun AC (b) mitan määrittämiseksi:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Missä:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^°.

Tiedot korvataan:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Koska meillä on jo kolmen sivun arvo, lasketaan kyseisen kolmion kehä:

P = puoli a + puoli b + puoli c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nyt on mahdollista määrittää pinta-ala Heronin kaavalla, mutta ensin puolipimetri on laskettava:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Sivujen ja puolilämpömittarin mittaukset korvataan Heronin kaavalla:

Lopuksi alueen tunteessa voidaan laskea korkeus suhteessa sivua c. Yleisestä kaavasta tyhjentämällä se on tehtävä:

Pinta-ala = (puoli _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Kolmas harjoitus

Mittakaavassa kolmion ABC-puolella b on 40 cm, sivussa c on 22 cm ja kärjessä A muodostuu kulma 90 ^tai. Laske kyseisen kolmion pinta-ala.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa annetaan asteikon kolmion ABC kahden sivun mitat samoin kuin kulma, joka muodostuu kärjessä A.

Pinta-alan määrittämiseksi ei ole tarpeen laskea sivun a mittaa, koska trigonometristen suhteiden kautta kulmaa käytetään sen löytämiseen.

Koska korkeutta vastapäätä oleva kulma tunnetaan, sen määrää toisen sivun ja kulman siniaalin tulo.

Korvaa meillä olevan kaavan:

• Pinta-ala = (puoli _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Pinta-ala = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Pinta-ala = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Pinta-ala = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Pinta-ala = 880 cm ² ÷ 2

Ala = 440 cm ².

Viitteet

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tekninen piirustus: aktiviteettivihko.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometriaa. CR-tekniikka.
3. Angel, AR (2007). Alkuperäinen algebra. Pearson koulutus,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
5. Barbosa, JL (2006). Lentokoneen euklidinen geometria. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Geometrian perusteet. Meksiko: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Opiskelijoiden perusgeometria. Cengagen oppiminen.
8. Harpe, P. d. (2000). Geometrisen ryhmäteorian aiheet. University of Chicago Press.