TASAKYLKINEN KOLMIO: OMINAISUUDET, KAAVA JA PINTA-ALA, LASKENTA - MATEMATIIKKA - 2026

Tasakylkinen kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua, jossa kaksi niistä on sama toimenpide ja kolmas sivu eri toimenpiteen. Tätä viimeistä puolta kutsutaan pohjaksi. Tästä ominaisuudesta johtuen sille annettiin tämä nimi, joka kreikan kielellä tarkoittaa ”tasavertaiset jalat”

Kolmioita ovat monikulmioita, joita pidetään geometrian yksinkertaisimpana, koska ne koostuvat kolmesta sivusta, kolmesta kulmasta ja kolmesta huipusta. Niillä on vähiten sivuja ja kulmia suhteessa muihin monikulmioihin, mutta niiden käyttö on erittäin laajaa.

Tasakylkisten kolmioiden ominaisuudet

Tasakylkinen kolmio luokiteltiin parametrina käyttämällä sen sivujen mittaa, koska kaksi sen sivua ovat yhdenmukaisia ​​(niiden pituus on sama).

Sisäkulmien amplitudin perusteella tasakylkiset kolmiot luokitellaan:

• Suorakulmainen suorakulmainen kolmio: kaksi sen sivua ovat yhtä suuret. Yksi kulma on suora (90 ^tai) ja muut ovat samat (45 ^tai kukin)
• Tasakylkät tylpä kolmio: kaksi sen sivua ovat yhtä suuret. Yksi kulmista on tylppä (> 90 ^tai).
• Tasakylkinen akuutti kolmio: kaksi sen sivua ovat yhtä suuret. Kaikki kulmat ovat teräviä (<90 ^tai), joissa molemmilla on sama mitta.

komponentit

• Mediaani: se on linja, joka alkaa yhden sivun keskipisteestä ja ulottuu vastakkaiselle kärjelle. Kolme mediaania kohtaavat pisteessä, jota kutsutaan barycenteriksi tai centroidiksi.
• Bisector: se on säde, joka jakaa kunkin kärkipisteen kulman kahteen yhtä suureen kulmaan. Siksi sitä kutsutaan symmetria-akseliksi ja tämän tyyppisillä kolmioilla on vain yksi.
• Bisector: se on segmentti, joka on kohtisuorassa kolmion sivua vastaan ​​ja jonka alkuperä on sen keskellä. Kolmiossa on kolme välikappaletta ja ne kohtaavat pisteessä, jota kutsutaan ympyränpuoleiseksi.
• Korkeus: linja kulkee kärkipisteestä vastakkaiselle puolelle, ja myös tämä viiva on kohtisuora kyseiselle puolelle. Kaikilla kolmioilla on kolme korkeutta, jotka osuvat yhteen pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi.

ominaisuudet

Tasakylkiset kolmiot määritetään tai tunnistetaan, koska niillä on useita ominaisuuksia, jotka kuvaavat niitä, johtuen suurten matemaatikkojen ehdottamista lauseista:

Sisäiset kulmat

Sisäkulmien summa on aina yhtä suuri kuin 180 ^°.

Sivujen summa

Kahden sivun mittojen summan on aina oltava suurempi kuin kolmannen sivun mitan, a + b> c.

Kongruentti puolia

Tasavälisillä kolmioilla on kaksi puolta, joilla on sama mitta tai pituus; ts. ne ovat yhteneviä ja kolmas puoli eroaa näistä.

Kongruentti kulmat

Tasakylkisiä kolmioita kutsutaan myös isoikulmakolmioiksi, koska niillä on kaksi kulmaa, joilla on sama mitta (yhtenevä). Ne sijaitsevat kolmion juuressa vastapäätä samanpituisia sivuja.

Tämän vuoksi muodostettiin lause, jonka mukaan:

"Jos kolmiossa on kaksi yhteensopivaa puolta, myös näitä sivuja vastakkaiset kulmat ovat yhteneviä." Siksi, jos kolmio on yhtäsuuntainen, sen kantojen kulmat ovat yhdenmukaiset.

Esimerkki:

Seuraava kuva näyttää kolmion ABC. Vedämällä puolittimen kulman B kärjestä pohjaan, kolmio jaetaan kahteen yhtä suureen kolmioon BDA ja BDC:

Tällä tavalla kärkipisteen B kulma jaettiin myös kahteen yhtä suureen kulmaan. Bisector on nyt yhteinen puoli (BD) näiden kahden uuden kolmion välillä, kun taas sivut AB ja BC ovat yhteneviä sivuja. Siten meillä on tapaus sivu-, kulma-, sivu (LAL) samankaltaisuudesta.

Tämä osoittaa, että kärkien A ja C kulmilla on sama mitta, samoin kuin voidaan myös osoittaa, että koska kolmiot BDA ja BDC ovat yhdenmukaisia, myös sivut AD ja DC ovat samat.

Korkeus, mediaani, puolittaja ja puolittaja ovat sattuma

Viiva, joka vedetään kärjestä, joka on vastapäätä pohjaa, tasakylkisen kolmion pohjan keskipisteeseen, on sekä korkeus, mediaani ja puolittaja että puolustaja suhteessa pohjan vastakkaiseen kulmaan.

Kaikki nämä segmentit osuvat yhteen niihin, jotka edustavat niitä.

Esimerkki:

Seuraava kuva näyttää kolmion ABC, jonka keskipiste on M, joka jakaa pohjan kahteen segmenttiin BM ja CM.

Vedämällä segmentti pisteestä M vastakkaiseen kärkipisteeseen saadaan määritelmän mukaan mediaani AM, joka on suhteessa kärkeen A ja sivulle BC.

Kun segmentti AM jakaa kolmion ABC kahteen yhtä suureen kolmioon AMB ja AMC, se tarkoittaa, että tapaus, jossa esiintyy kongruenssipuolta, kulmaa, sivua, on siksi AM myös BÂC: n puolittaja.

Siksi puolittaja on aina yhtä suuri kuin mediaani ja päinvastoin.

Segmentti AM muodostaa kulmat, joilla on sama mitta kolmioille AMB ja AMC; ts. ne ovat täydentäviä siten, että jokaisen mitta on:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^tai

2 _* Med. (AMC) = 180 ^tai

Med. (AMC) = 180 ^tai ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^tai

Voidaan tietää, että AM-segmentin muodostamat kulmat kolmion pohjaan nähden ovat oikeat, mikä osoittaa, että tämä segmentti on täysin kohtisuora pohjaan nähden.

Siksi se edustaa korkeutta ja puolittajaa tietäen, että M on keskipiste.

Siksi rivi AM:

• Edustaa BC: n korkeudessa.
• On keskikokoinen.
• Se sisältyy BC: n puolittimeen.
• Se on kärkikulman puolittaja Â

Suhteelliset korkeudet

Korkeuksilla, jotka ovat suhteessa yhtäläisiin puoliin, on myös sama mittaus.

Koska tasakylkillä kolmiolla on kaksi yhtä suurta puolta, myös niiden kaksi vastaavaa korkeutta ovat yhtä suuret.

Ortocenter, barycenter, kannustin ja sattumainen ympyrä

Koska korkeus, mediaani, puolittaja ja puolittaja suhteessa pohjaan edustavat samanaikaisesti samaa segmenttiä, ortosenssi, keskijalka ja ympyrän keskipiste ovat kolinaaripisteitä, ts. Ne ovat samalla viivalla:

Kuinka laskea kehä?

Monikulmion kehä lasketaan lisäämällä sivut.

Koska tässä tapauksessa tasavertaisella kolmiolla on kaksi puolta, joilla on sama mitta, sen kehä lasketaan seuraavalla kaavalla:

P = 2 _* (sivu a) + (sivu b).

Kuinka laskea korkeus?

Korkeus on suorassa kohtisuorassa pohjaan nähden, se jakaa kolmion kahteen yhtä suureen osaan, koska se ulottuu vastakkaiseen kärkeen.

Korkeus edustaa vastakkaista jalkaa (a), pohjan keskikohta (b / 2) vierekkäistä jalkaa ja sivu “a” edustaa hypoteenusta.

Pythagoran lauseen avulla korkeuden arvo voidaan määrittää:

a ² + b ² = c ²

Missä:

a ² = korkeus (h).

b ² = b / 2.

c ² = sivu a.

Korvaamalla nämä arvot Pythagoran lauseessa ja ratkaisemalla korkeus, meillä on:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Jos yhtenevien sivujen muodostama kulma tunnetaan, korkeus voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

Kuinka laskea pinta-ala?

Kolmioiden pinta-ala lasketaan aina samalla kaavalla, kertomalla pohja korkeudella ja jakamalla kahdella:

On tapauksia, joissa tunnetaan vain kolmion kahden sivun mitat ja niiden väliin muodostettu kulma. Tässä tapauksessa alueen määrittämiseksi on tarpeen käyttää trigonometrisiä suhteita:

Kuinka laskea kolmion pohja?

Koska yhtäläisellä kolmiolla on kaksi yhtä suurta puolta, sinun on tiedettävä ainakin sen pohjan arvon määrittämiseksi ainakin korkeuden mitta tai yksi sen kulmista.

Tietäen korkeus, käytetään Pythagoran lausetta:

a ² + b ² = c ²

Missä:

a ² = korkeus (h).

c ² = sivu a.

b ² = b / 2, ei tunneta.

Eristämme b ² kaavasta ja meillä on:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Koska tämä arvo vastaa puolta pohjasta, se on kerrottava kahdella saadaksesi tasakylkisen kolmion pohjan täydellinen mitta:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

Siinä tapauksessa, että tunnetaan vain sen tasaisten sivujen arvo ja niiden välinen kulma, käytetään trigonometriaa, vetämällä linja kärkipisteestä pohjaan, joka jakaa tasakylkisten kolmion kahdeksi suoraksi kolmioksi.

Tällä tavalla puolet emäksestä lasketaan:

On myös mahdollista, että tunnetaan vain kärjen korkeuden ja kulman arvo, joka on vastapäätä alustaa. Tässä tapauksessa emäs voidaan määrittää trigonometrialla:

Harjoitukset

Ensimmäinen harjoitus

Löydä nelikulmaisen kolmion ABC pinta-ala tietäen, että sen kaksi sivua ovat 10 cm ja kolmas sivu 12 cm.

Ratkaisu

Kolmion pinta-alan löytämiseksi on tarpeen laskea korkeus käyttämällä Pythagoraan lauseeseen liittyvää pinta-alakaavaa, koska tasaisten sivujen väliin muodostetun kulman arvoa ei tunneta.

Meillä on seuraavat tiedot tasakulmakolmiosta:

• Tasaiset sivut (a) = 10 cm.
• Pohja (b) = 12 cm.

Arvot korvataan kaavassa:

Toinen harjoitus

Tasavälisen kolmion kahden tasaisen sivun pituus on 42 cm, näiden sivujen liitos muodostaa kulman 130 ^tai. Määritä kolmannen sivun arvo, kyseisen kolmion pinta-ala ja kehä.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa sivujen mitat ja niiden välinen kulma tunnetaan.

Puuttuvan sivun, toisin sanoen kyseisen kolmion pohjan, arvon piirtämiseksi siihen kohdistetaan kohtisuora viiva, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan, yksi jokaiselle muodostuneelle oikealle kolmiolle.

• Tasaiset sivut (a) = 42 cm.
• Kulma (Ɵ) = 130 ^o

Nyt trigonometrialla lasketaan puolet emäksestä, joka vastaa puolta hypotenuesta:

Pinta-alan laskemiseksi on tarpeen tietää kyseisen kolmion korkeus, joka voidaan laskea trigonometrialla tai Pythagoran lauseella, nyt kun kannan arvo on jo määritetty.

Trigonometrialla se tulee olemaan:

Kehys lasketaan:

P = 2 _* (sivu a) + (sivu b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Kolmas harjoitus

Laske nelikulmaisen kolmion sisäkulmat tietäen, että pohjan kulma on  = 55 ^tai

Ratkaisu

Kaikkien puuttuvien kulmien (Ê ja Ô) löytämiseksi on muistettava kaksi kolmion ominaisuutta:

• Jokaisen kolmion sisäkulmien summa on aina = 180 ^tai:

 + Ê + Ô = 180 ^tai

• Tasavälisessä kolmiossa kannan kulmat ovat aina yhdenmukaiset, ts. Niillä on sama mitta, siis:

 = Ô

Ê = 55 ^tai

Kulman the arvon määrittämiseksi korvaamme ensimmäisen säännön muiden kulmien arvot ja ratkaisemme Ê:

55 ^tai + 55 ^tai + Ô = 180 ^tai

110 ^tai + Ô = 180 ^tai

Ô = 180 ^° - 110 ^°

Ô = 70 ^o.

Viitteet

1. Álvarez, E. (2003). Geometrian elementit: lukuisilla harjoituksilla ja kompassin geometrialla. Medellinin yliopisto.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Tekninen piirustus: aktiviteettivihko.
3. Angel, AR (2007). Alkuperäinen algebra. Pearson koulutus.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematiikka 2.
7. Tuma, J. (1998). Teknillisen matematiikan käsikirja. Wolfram MathWorld.