- trinomials
- Täydellinen neliön trinomi
- Luokan 2 trinomien ominaisuudet
- Täydellinen neliö
- Ratkaiseva kaava
- Geometrinen tulkinta
- Kolmiarvoinen factoring
- esimerkit
- Esimerkki 1
- Esimerkki 2
- Viitteet
Ennen kuin opit ratkaisemaan muodon x ^ 2 + bx + c trinomiaalin ja jopa ennen trinomin käsitteen tuntemista, on tärkeää tietää kaksi olennaista käsitettä; nimittäin käsitteet monomissa ja polynomissa. Monomiaali on tyypin a * x n lauseke, jossa a on rationaaliluku, n on luonnollinen luku ja x on muuttuja.
Polynomi on lineaarinen yhdistelmä monomeereja, joiden muoto on n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0, jossa kukin a i, i = 0,…, n on rationaaliluku, n on luonnollinen luku ja a_n on nolla. Tässä tapauksessa polynomin asteen sanotaan olevan n.
Polynomi, joka muodostuu vain kahden eri asteen termien (kahden monomiaalin) summasta, tunnetaan binomina.
trinomials
Polynomi, joka muodostuu vain kolmen eri asteen termien (kolme monomalia) summasta, tunnetaan trinomina. Seuraavat ovat esimerkkejä kolminaisuuksista:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
Trinomiaineita on useita tyyppejä. Näistä erottuu täydellinen neliön trinomi.
Täydellinen neliön trinomi
Täydellinen neliöinen trinomi on seurausta binomin neliöimisestä. Esimerkiksi:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4) 2 -2 (1 / 4xy 4) z + z 2 = (1 / 4xy 4 z) 2
Luokan 2 trinomien ominaisuudet
Täydellinen neliö
Yleensä muodon ax 2 + bx + c muotoinen trinomi on täydellinen neliö, jos sen erotin on yhtä suuri kuin nolla; ts. jos b 2 -4ac = 0, koska tässä tapauksessa sillä on yksi juuri ja se voidaan ilmaista muodossa (xd) 2 = (√a (xd)) 2, missä d on jo mainittu juuri.
Polynomin juuri on luku, jossa polynomista tulee nolla; toisin sanoen luku, joka, korvaamalla x polynomisessa lausekkeessa, johtaa nollaan.
Ratkaiseva kaava
Yleinen kaava ax 2 + bx + c -muodon toisen asteen polynomin juurten laskemiseksi on resoluutiokaava, jonka mukaan nämä juuret annetaan (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, jossa b 2 -4ac tunnetaan erotteluanalyysi ja merkitään tavallisesti Δ. Tästä kaavasta seuraa, että ax 2 + bx + c:
- Kaksi erilaista todellista juuria, jos ∆> 0.
- Yksi oikea juuri, jos ∆ = 0.
- Sillä ei ole todellista juuria, jos ∆ <0.
Seuraavassa otetaan huomioon vain muodon x 2 + bx + c trinomiaalit, joissa c: n on selvästi oltava jokin muu luku kuin nolla (muuten se olisi binomi). Tämän tyyppisillä trinomilla on tiettyjä etuja faktoroinnissa ja niiden kanssa toimiessaan.
Geometrinen tulkinta
Geometrisesti trinomia x 2 + bx + c on paraabeli, joka avautuu ylöspäin, ja sillä on kärki kohdassa (-b / 2, -b 2 /4 + c) suorakulmaisessa tasossa, joka x 2 + bx + c = (x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.
Tämän paraabeli leikkaa Y-akselin pisteessä (0, c) ja X-akselin kohdissa (d 1, 0) ja (d 2, 0); sitten d 1 ja d 2 ovat trinomiaalin juuret. Voi tapahtua, että trinomilla on yksi juuri d, jolloin X-akselilla ainoa leikkaus olisi (d, 0).
Voi myös tapahtua, että trinomialla ei ole todellista juuria, jolloin se ei leikkaa X-akselia missään pisteessä.
Esimerkiksi x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 on parabooli, jonka kärki on pisteessä (-3,0), joka leikkaa Y-akselin kohdassa (0, 9) ja X-akselille (-3,0).
Kolmiarvoinen factoring
Erittäin hyödyllinen työkalu polynomien kanssa työskennellessä on faktorointi, joka koostuu polynomin ilmaisemisesta tekijöiden tuloksena. Yleensä, koska trinomia muotoa x 2 + bx + c, jos se on kaksi erilaista juuret d 1 ja d 2, se voidaan laskea kuten (XD 1) (XD 2).
Jos sillä on yksi juurijuuri d, se voidaan laskea muodossa (xd) (xd) = (xd) 2, ja jos sillä ei ole oikeaa juuria, se jätetään samalle; tässä tapauksessa se ei myönnä faktorointia muiden tekijöiden kuin itsensä tuloksena.
Tämä tarkoittaa, että tietäen trinomiaalin juuret jo vakiintuneessa muodossa, sen tekijänmuodostuminen voidaan ilmaista helposti, ja kuten jo edellä mainittiin, nämä juuret voidaan aina määrittää käyttämällä resoluutiota.
Tämän tyyppisiä trinomiaineita on kuitenkin huomattava määrä, jotka voidaan ottaa huomioon tietämättä ensin juuria, mikä yksinkertaistaa työtä.
Juuret voidaan määrittää suoraan factorisaatiosta käyttämättä liuoteainetta; nämä ovat muodon x 2 + (a + b) x + ab polynomeja. Tässä tapauksessa meillä on:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
Tästä on helposti nähtävissä, että juuret ovat –a ja –b.
Toisin sanoen, annetaan trinomi x 2 + bx + c, jos on kaksi lukua u ja v siten, että c = uv ja b = u + v, niin x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
Toisin sanoen, kun otetaan huomioon trinomi x 2 + bx + c, tarkistetaan ensin, onko olemassa kaksi lukua, jotka kerrottuna antavat itsenäisen termin (c) ja summataan (tai vähennetään, tapauksesta riippuen), he antavat lauseen, joka seuraa x: tä (b).
Ei kaikilla trinomioreilla tällä tavoin tätä menetelmää voidaan soveltaa; jossa se ei ole mahdollista, käytetään resoluutiota ja edellä mainittua sovelletaan.
esimerkit
Esimerkki 1
Seuraavan trinomiaalin x 2 + 3x + 2 tekijä tekijä:
Sinun on löydettävä kaksi numeroa siten, että lisättäessä tulos on 3 ja kerrottaessa tulos on 2.
Tarkastuksen jälkeen voidaan päätellä, että haetut numerot ovat: 2 ja 1. Siksi x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
Esimerkki 2
Trinomiaalisen x 2 -5x + 6 tekijäksi etsitään kahta lukua, joiden summa on -5 ja niiden tulo on 6. Nämä kaksi ehtoa täyttävät numerot ovat -3 ja -2. Siksi annetun trinomiaalin tekijänmuutos on x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
Viitteet
- Fuentes, A. (2016). PERUSMATTIA. Johdanto laskentaan. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematiikka: neliömäiset yhtälöt: Kuinka ratkaista neliömäinen yhtälö. Marilù Garo.
- Haeussler, EF ja Paul, RS (2003). Johtamisen ja talouden matematiikka. Pearson koulutus.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., ja Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
- Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I on helppoa! Niin helppoa. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonometria. Pearson koulutus.