JATKUVA MUUTTUJA: OMINAISUUDET, ESIMERKIT JA HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Jatkuva muuttuja on sellainen, joka voi ottaa ääretön määrä numeeristen arvojen kahden annetuilla arvoilla, vaikka nämä kaksi arvoa ovat mielivaltaisesti lähellä. Niitä käytetään kuvaamaan mitattavia ominaisuuksia; esimerkiksi pituus ja paino. Jatkuvan muuttujan arvot voivat olla rationaalisia lukuja, reaalilukuja tai kompleksilukuja, vaikka jälkimmäinen tapaus on vähemmän tilastollinen.

Jatkuvien muuttujien pääominaisuus on, että kahden rationaalisen tai todellisen arvon välillä voidaan aina löytää toinen, ja toisen ja ensimmäisen välillä voidaan löytää arvo ja niin edelleen loputtomiin.

Kuva 1. Käyrä edustaa jatkuvaa jakaumaa ja pylväät ovat erillinen. Lähde: pixabay

Oletetaan esimerkiksi muuttuva paino ryhmässä, jossa raskain painaa 95 kg ja alin painaa 48 kg; se olisi muuttujan alue ja mahdollisten arvojen lukumäärä on ääretön.

Esimerkiksi välillä 50,00 kg - 50,10 kg voi olla 50,01. Mutta välillä 50.00-50.01 voi olla mitta 50.005. Se on jatkuva muuttuja. Toisaalta, jos mahdollisissa painomittauksissa määritettäisiin yhden desimaalin tarkkuus, käytetty muuttuja olisi diskreetti.

Jatkuvat muuttujat kuuluvat kvantitatiivisten muuttujien luokkaan, koska niihin liittyy numeerinen arvo. Tällä numeerisella arvolla on mahdollista suorittaa matemaattisia toimintoja aritmeettisista arvoihin äärettömän pieniin laskentamenetelmiin.

esimerkit

Suurin osa fysiikan muuttujista on jatkuvia muuttujia, joista voimme nimetä pituuden, ajan, nopeuden, kiihtyvyyden, energian, lämpötilan ja muut.

Jatkuvat muuttujat ja erilliset muuttujat

Tilastoissa voidaan määritellä erityyppisiä muuttujia, sekä laadullisia että määrällisiä. Jatkuvat muuttujat kuuluvat jälkimmäiseen luokkaan. Niiden avulla on mahdollista suorittaa aritmeettisia ja laskentatoimenpiteitä.

Esimerkiksi muuttuja h, joka vastaa ihmisiä, joiden korkeus on 1,50 m - 1,95 m, on jatkuva muuttuja.

Vertaillaan tätä muuttujaa tähän: montako kertaa kolikon heitto nousee päiksi, jota kutsumme n: ksi.

Muuttuja n voi ottaa arvoja välillä 0 - ääretön, mutta n ei ole jatkuva muuttuja, koska se ei voi ottaa arvoa 1.3 tai 1.5, koska arvojen 1 ja 2 välillä ei ole muuta. Tämä on esimerkki erillisestä muuttujasta.

Jatkuvien muuttujien harjoittelu

Mieti seuraavaa esimerkkiä: kone tuottaa tulitikkuja ja pakata ne laatikkoonsa. Kaksi tilastollista muuttujaa on määritelty:

Nimellinen ottelupituus on 5,0 cm, toleranssilla 0,1 cm. Tulitikkujen määrä ruutua kohti on 50, toleranssilla 3.

a) Ilmoita arvoalue, jonka L ja N voivat ottaa.

b) Kuinka monta arvoa L voi käyttää?

c) Kuinka monta arvoa n voi ottaa?

Ilmoita jokaisessa tapauksessa, onko kyse diskreetistä vai jatkuvasta muuttujasta.

Ratkaisu

L-arvot ovat alueella; ts. L: n arvo on välillä ja muuttuja L voi ottaa äärettömät arvot näiden kahden mittauksen välillä. Se on sitten jatkuva muuttuja.

Muuttujan n arvo on välillä. Muuttuja n voi ottaa vain 6 mahdollista arvoa toleranssivälissä, se on silloin erillinen muuttuja.

Harjoittelu

Jos muuttujan ottamilla arvoilla on jatkuvuuden lisäksi niihin liittyvä tietty esiintymisen todennäköisyys, niin se on jatkuva satunnaismuuttuja. On erittäin tärkeää erottaa, onko muuttuja diskreetti vai jatkuva, koska niihin ja toisiin sovellettavat todennäköisyysmallit ovat erilaisia.

Jatkuva satunnaismuuttuja määritetään täysin, kun arvot, jotka se voi olettaa, ja todennäköisyys, että jokainen niistä tapahtuu, tiedetään.

-Toimintojen 1 harjoittaminen

Ottelija tekee niistä siten, että sauvojen pituus on aina arvojen 4,9 cm ja 5,1 cm välillä ja nollan näiden arvojen ulkopuolella. On todennäköisyys saada tikku, jonka koko on 5,00–5,05 cm, vaikka voisimme myös purkaa yhden 5 0003 cm: stä. Ovatko nämä arvot yhtä todennäköisiä?

Ratkaisu

Oletetaan, että todennäköisyystiheys on tasainen. Alla on lueteltu todennäköisyydet löytää tietyn pituinen ottelu.

-Tällä vastaavuudella on todennäköisyys = 1 (tai 100%), koska kone ei vedä otteluita näiden arvojen ulkopuolella.

-Speleillä, jotka ovat välillä 4,9 - 5,0, on todennäköisyys = ½ = 0,5 (50%), koska se on puoli pituusaluetta.

-Ja todennäköisyys, että ottelun pituus on välillä 5,0 - 5,1, on myös 0,5 (50%)

-Tietään, että ei ole vastaavia tikkuja, joiden pituus olisi välillä 5,0 - 5,2. Todennäköisyys: nolla (0%).

Todennäköisyys löytää hammastahna tietyltä alueelta

Nyt voimme havaita seuraavat todennäköisyydet P saamiseksi tikkuja, joiden pituus on välillä l ₁ ja l ₂:

-P, että ottelun pituus on 5,00–5,05, merkitään P ():

-P, että mäen pituus on välillä 5.00 - 5.01, on:

-P, että mäen pituus on 5 000 - 5 001, on vielä pienempi:

Jos jatkamme ajanjakson pienentämistä lähemmäksi ja lähemmäksi arvoa 5.00, todennäköisyys että hammastahna on tarkalleen 5.00 cm on nolla (0%). Meillä on todennäköisyys löytää ottelu tietyllä alueella.

Todennäköisyys löytää useita hammastappeja tietyltä alueelta

Jos tapahtumat ovat riippumattomia, todennäköisyys siitä, että kaksi hammastahtaa ovat tietyllä alueella, on niiden todennäköisyydet.

-Todennäköisyys, että kaksi syömäpuikot ovat välillä 5,0 - 5,1, on 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Todennäköisyys, että 50 hammastikun on välillä 5,0 - 5,1, on (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, toisin sanoen melkein nolla.

-Todennäköisyys, että 50 hammastikkua on välillä 4,9 - 5,1, on (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Toimintojen harjoittaminen 2

Edellisessä esimerkissä tehtiin oletus, että todennäköisyys on yhtenäinen annetulla aikavälillä, mutta näin ei aina ole.

Jos kyseessä on hammastikkuja tuottava varsinainen kone, todennäköisyys, että hammastikku on keskiarvossa, on suurempi kuin se on yhdessä ääriarvoista. Matemaattisesta näkökulmasta tämä on mallinnettu funktiolla f (x), joka tunnetaan todennäköisyystiheytenä.

Todennäköisyys, että mitta L on välillä a ja b, lasketaan käyttämällä funktion f (x) lopullista integraalia a: n ja b: n välillä.

Oletetaan esimerkiksi, että haluamme löytää funktion f (x), joka edustaa tasaista jakaumaa arvojen 4.9 ja 5.1 välillä harjoituksesta 1.

Jos todennäköisyysjakauma on tasainen, niin f (x) on yhtä suuri kuin vakio c, joka määritetään ottamalla integraali välillä 4,9 - 5,1. Koska tämä integraali on todennäköisyys, tuloksen on oltava 1.

Kuva 2. Yhdenmukainen todennäköisyystiheys. (Oma suunnittelu)

Mikä tarkoittaa, että c: n arvo on 1 / 0,2 = 5. Eli yhdenmukainen todennäköisyystiheysfunktio on f (x) = {5, jos 4,9≤x≤5,1 ja 0 tämän alueen ulkopuolella. Yhtenäinen todennäköisyystiheysfunktio on esitetty kuvassa 2.

Huomaa, kuinka saman leveyden välein (esimerkiksi 0,02) todennäköisyys on sama keskellä kuin jatkuvan muuttujan L (hammastikkupituus) alueen lopussa.

Realistisempi malli olisi seuraavanlainen todennäköisyystiheysfunktio:

Kuva 3. Epätasainen todennäköisyystiheysfunktio. (Oma suunnittelu)

Kuviosta 3 voidaan nähdä, kuinka todennäköisyys löytää hammaspisteitä välillä 4,99 - 5,01 (leveys 0,02) on suurempi kuin hammastikkujen löytämisen välillä 4,90 - 4,92 (leveys 0,02).

Viitteet

1. Dinov, Ivo. Diskreetit satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Haettu osoitteesta stat.ucla.edu
2. Diskreetit ja jatkuvat satunnaismuuttujat. Haettu osoitteesta ocw.mit.edu
3. Diskreetit satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Haettu osoitteesta homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Johdanto todennäköisyyteen. Palautettu osoitteesta: todennäköisyyskurssi.com
5. Mendenhall, W. 1978. Johtamis- ja taloustiede. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Satunnaismuuttujien ongelmat ja todennäköisyysmallit. Palautettu: ugr.es.
7. Wikipedia. Jatkuva muuttuja. Palautettu osoitteesta wikipedia.com
8. Wikipedia. Tilastomuuttuja. Palautettu osoitteesta wikipedia.com.