VEKTORI: OMINAISUUDET JA OMINAISUUDET, ELEMENTIT, TYYPIT, ESIMERKIT - TIEDE - 2026

Vektorit ovat matemaattisia yksiköitä, jotka ovat yleisesti liitetty mittausyksikön -positiva- suuruus ja suunta hyvin. Tällaiset ominaisuudet ovat erittäin sopivia kuvaamaan fyysisiä suuruuksia, kuten nopeus, voima, kiihtyvyys ja monet muut.

Vektoreilla on mahdollista suorittaa toimintoja, kuten summaus, vähennys ja tulokset. Jakoa ei ole määritelty vektoreille, ja kuten tuotteelle, on olemassa kolme luokkaa, joita kuvaamme myöhemmin: pistetuote tai piste, vektorituote tai risti ja skalaarituote vektorilla.

Kuva 1. Vektorin elementit. Lähde: Wikimedia Commons.

Vektorin täydelliseksi kuvaamiseksi on ilmoitettava kaikki sen ominaisuudet. Suuruus tai moduuli on numeerinen arvo, jota seuraa yksikkö, kun taas suunta ja aisti määritetään koordinaattijärjestelmän avulla.

Katsotaanpa esimerkkiä: Oletetaan, että lentokone lentää kaupungista toiseen nopeudella 850 km / h koillissuuntaan. Tässä on meillä täysin määritelty vektori, koska suuruusluokkaa on saatavana: 850 km / h, kun taas suunta ja aisti ovat NE.

Vektorit esitetään yleensä graafisesti suuntautuneilla linjasegmenteillä, joiden pituus on verrannollinen suuruuteen.

Suunnan ja aistin määrittämiseksi tarvitaan vertailulinja, joka on yleensä vaaka-akseli, vaikka vertailukohtana voidaan pitää myös pohjoista, kuten tilanne on tason nopeudella:

Kuva 2. Nopeusvektori. Lähde: F. Zapata.

Kuvio näyttää tason nopeusvektorin, jota merkitään v: llä lihavoituna, erottamaan se skalaarimäärästä, joka vaatii vain numeerisen arvon ja jonkin yksikön määrittämisen.

Vektorin osat

Kuten olemme sanoneet, vektorin elementit ovat:

-Magnitudi tai moduuli, jota joskus kutsutaan myös vektorin absoluuttiseksi arvoksi tai normiksi.

-Osoite

-Sense

Kuvion 2 esimerkissä v- moduuli on 850 km / h. Moduulia merkitään v ilman lihavointia tai as - v -, jossa pylväät edustavat absoluuttista arvoa.

Suunta v määritetään suhteessa pohjoiseen. Tässä tapauksessa se on 45 ° itään pohjoiseen (45 ° NE). Lopuksi nuolen kärki ilmoittaa v: n merkityksestä.

Tässä esimerkissä vektorin alkuperä on piirretty samaan aikaan koordinaattijärjestelmän alkukohdan O kanssa, tämä tunnetaan linkitetynä vektorina. Toisaalta, jos vektorin alkuperä ei ole sama kuin vertailujärjestelmän, sen sanotaan olevan vapaa vektori.

On huomattava, että vektorin täsmälliseksi määrittelemiseksi nämä kolme elementtiä on otettava huomioon, muuten vektorin kuvaus olisi epätäydellinen.

Vektorin suorakulmaiset komponentit

Kuva 3. Vektorin suorakulmaiset komponentit tasossa. Lähde: Wikimedia Commons. uranther

Kuvassa on takana oleva esimerkkivektori v, joka on xy-tasolla.

On helppo nähdä, että x-y- ja y-koordinaattiakselien projektiot v määrittävät oikean kolmion. Nämä ulkonemat ovat v _{y ja} v _x ja niitä kutsutaan v: n suorakulmaisiksi komponenteiksi.

Yksi tapa merkitä v: tä sen suorakaiteen muotoisilla komponenteilla on seuraava: v =x, v _ja >. Näitä hakasulkeita käytetään sulujen sijasta korostamaan tosiasiaa, että kyseessä on vektori eikä piste, koska tässä tapauksessa käytettäisiin suluja.

Jos vektori on kolmiulotteisessa tilassa, tarvitaan vielä yksi komponentti, jotta:

v =x, v _y, v _z >

Tietäen suorakaiteen muotoiset osat suuruus vektori lasketaan, vastaa löytää hypotenuusa suorakulmaisen kolmion, jonka haarat ovat v _x ja v _{ja ,.} Pythagoran lauseen avulla seuraa, että:

Vektorin polaarimuoto

Kun vektorin - v - suuruus ja kulma θ, jonka se tekee vertailuakselin kanssa, yleensä vaaka-akselin kanssa, tiedetään, vektori määritetään myös. Sitten vektorin sanotaan ekspressoituvan polaarisessa muodossa.

Suorakulmaiset komponentit lasketaan tässä tapauksessa helposti:

Edellä esitetyn mukaan tason nopeusvektorin v suorakulmaiset komponentit olisivat:

Tyypit

Vektoreita on useita tyyppejä. On olemassa nopeuden, sijainnin, siirtymän, voiman, sähkökentän, vauhdin ja monien muiden vektorit. Kuten jo totesimme, fysiikassa on suuri määrä vektorimääriä.

Niistä vektoreista, joilla on tiettyjä ominaisuuksia, voidaan mainita seuraavan tyyppiset vektorit:

-Null: nämä ovat vektoreita, joiden suuruus on 0 ja joita merkitään nolla. Muista, että lihavoitu kirjain symboloi vektorin kolmea perusominaisuutta, kun taas normaali kirjain edustaa vain moduulia.

Esimerkiksi staattisessa tasapainossa olevassa vartalossa voimien summan on oltava nollavektori.

- Vapaat ja linkitetyt: Vapaita vektoreita ovat ne, joiden lähtö- ja saapumispisteet ovat mitkä tahansa pisteparit tasossa tai avaruudessa, toisin kuin linkitetyt vektorit, joiden alkuperä on sama kuin niiden kuvaamiseen käytetyn referenssijärjestelmän.

Parin voiman tuottama pari tai hetki on hyvä esimerkki vapaasta vektorista, koska pari ei koske mitään tiettyä kohtaa.

- Equipolentes: ne ovat kaksi vapaata vektoria, joilla on identtiset ominaisuudet. Siksi heillä on sama suuruus, suunta ja järki.

- Kopitaso tai taso: vektorit, jotka kuuluvat samaan tasoon.

- Vastakkaiset: vektorit, joilla on sama suuruus ja suunta, mutta vastakkaiset suunnat. Vektoria v vastapäätä oleva vektori on vektori - v ja molempien summa on nollavektori: v + (- v) = 0.

- Samanaikaiset: vektorit, joiden toimintalinjat kulkevat kaikki saman pisteen kautta.

- Liukusäätimet: ovat vektoreita, joiden sovelluspiste voi liukua tiettyä viivaa pitkin.

- Kolineaariset: vektorit, jotka sijaitsevat samalla rivillä.

- Yhtenäinen: vektorit, joiden moduuli on 1.

Ortogonaaliset yksikkövektorit

Fysiikassa on erittäin hyödyllinen vektori, jota kutsutaan ortogonaaliseksi yksikkövektoriksi. Ortogonaalisessa yksikkövektorissa on moduuli, joka on yhtä suuri kuin 1, ja yksiköt voivat olla mitä tahansa, esimerkiksi nopeuden, asennon, voiman tai muut yksiköt.

On joukko erityisiä vektoreita, jotka auttavat edustamaan muita vektoreita helposti ja suorittamaan operaatioita niiden kanssa: ne ovat ortogonaalisia yksikkövektoreita i, j ja k, yksikköä ja kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Kahdessa ulottuvuudessa nämä vektorit on suunnattu sekä x-akselin että y-akselin positiivista suuntaa pitkin. Ja kolmeen ulottuvuuteen lisätään yksikkövektori positiivisen z-akselin suuntaan. Niitä edustavat seuraavat:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektoria voidaan edustaa yksikkövektoreilla i, j ja k seuraavasti:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Esimerkiksi aikaisempien esimerkkien nopeusvektori v voidaan kirjoittaa seuraavasti:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponentti k: ssa ei ole välttämätön, koska tämä vektori on tasossa.

Vektori lisäys

Vektorien summa esiintyy hyvin usein eri tilanteissa, esimerkiksi kun haluat löytää tuloksena olevan voiman esineelle, johon eri voimat vaikuttavat. Aluksi oletetaan, että meillä on tasossa kaksi vapaata vektoria u ja v, kuten seuraavassa vasemmassa kuvassa esitetään:

Kuva 4. Kahden vektorin graafinen summa. Lähde: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Se siirretään välittömästi varovasti vektoriin v muuttamatta sen suuruutta, suuntaa tai aistia, niin että sen alkuperä on samanlainen kuin u: n loppu.

Vektorisummaa kutsutaan w: ksi ja se piirretään u: sta, joka päättyy v: hen, oikean kuvan mukaan. On tärkeätä huomata, että vektorin w suuruus ei välttämättä ole v: n ja u: n magnitudien summa.

Jos mietit sitä huolellisesti, ainoa aika, jolloin tuloksena olevan vektorin suuruus on lisäysten magnitudien summa, on silloin, kun molemmat lisäykset ovat samaan suuntaan ja samalla tavalla.

Ja mitä tapahtuu, jos vektorit eivät ole vapaita? Niiden lisääminen on myös erittäin helppoa. Tapa tehdä se on lisäämällä komponentti komponenttiin tai analyyttinen menetelmä.

Tarkastellaan esimerkkejä seuraavan kuvan vektoreista. Ensimmäinen asia on ilmaista ne jollain aikaisemmin selostetusta Cartesian-tavasta:

Kuva 5. Kahden kytketyn vektorin summa. Lähde: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Saadaan summavektorin w x-komponentti lisäämällä vastaavat v: n ja u: n x-komponentit: w _x = 5 + 2 = 7. Ja w _y: n saamiseksi noudatetaan analogista menettelytapaa: w _y = 1 + 3. Täten:

u = <7,4>

Vektorin lisäyksen ominaisuudet

-Kahden tai useamman vektorin summa johtaa toiseen vektoriin.

-Se on kommutatiivinen, lisäysten järjestys ei muuta summaa siten, että:

u + v = v + u

- Vektorien summan neutraali elementti on nollavektori: v + 0 = v

- Kahden vektorin vähennys määritellään vastakkaisuuden summana: v - u = v + (-u)

Vektori-esimerkkejä

Kuten olemme sanoneet, fysiikassa on lukuisia vektorimääriä. Tunnetuimpia ovat:

-asentoon

-Displacement

- Keskimääräinen nopeus ja hetkellinen nopeus

-Acceleration

-Pakottaa

- Liikkeen määrä

-Vääntömomentti tai momentti

-Impulssi

-Sähkökenttä

-Magneettikenttä

- Magneettinen hetki

Toisaalta, ne eivät ole vektoreita, vaan skaalareita:

-Sää

-Massa

-Lämpötila

-Volume

-Tiheys

-Mekaaninen työ

-Energia

-Kuuma

-Power

-Jännite

-Sähkövirta

Muut vektorien väliset operaatiot

Vektoreiden lisäämisen ja vähentämisen lisäksi vektoreiden välillä on kolme muuta erittäin tärkeää operaatiota, koska ne aiheuttavat erittäin tärkeitä uusia fyysisiä määriä:

-Tuote skalaarista vektorilla.

-Pistetuote tai pistetuote vektorien välillä

- Ja kahden vektorin välinen risti- tai vektorituote.

Tuote skalaari ja vektori

Mieti Newtonin toista lakia, jonka mukaan voima F ja kiihtyvyys a ovat suhteessa toisiinsa. Suhteellisuusvakio on esineen massa m, siksi:

F = m. että

Mass on skalaari; puolestaan ​​voima ja kiihtyvyys ovat vektoreita. Koska voima saadaan kertomalla massa kiihtyvyydellä, se on skalaarin ja vektorin tuloksen tulos.

Tämän tyyppinen tuote johtaa aina vektoriin. Tässä on toinen esimerkki: liikkeen määrä. Olkoon P impulssivektori, v nopeusvektori ja kuten aina, m on massa:

P = m. v

Pistetuote tai pistetuote vektorien välillä

Olemme asettaneet mekaanisen työn niiden määrien luetteloon, jotka eivät ole vektoreita. Fysiikan työ on kuitenkin tulosta vektoreiden välisestä toiminnasta, jota kutsutaan skalaarituotteeksi, sisätuotteeksi tai pistetuoteksi.

Olkoon vektorit v ja u, määritä niiden välinen piste- tai skalaarituote seuraavasti:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Missä θ on näiden kahden välinen kulma. Esitetystä yhtälöstä seuraa välittömästi, että pistetuotteen tulos on skalaari ja että jos molemmat vektorit ovat kohtisuorassa, niiden pistetuote on 0.

Takaisin mekaanisen työn W, tämä on skalaaritulo välillä voimavektori F ja siirtymän vektorin ℓ.

Kun vektoreita on saatavana niiden komponenttien suhteen, pistetuote on myös erittäin helppo laskea. Jos v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, pistetuote näiden kahden välillä on:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Pistetuote vektorien välillä on kommutatiivinen, siksi:

v ∙ u = u ∙ v

Risti- tai vektorituote vektoreiden välillä

Jos v ja u ovat kaksi esimerkkivektoriamme, määrittelemme vektorituotteen seuraavasti:

v x u = w

Heti seuraa, että ristiintuote johtaa vektoriin, jonka moduuli on määritelty:

Missä θ on vektorien välinen kulma.

Ristituote ei ole kommutatiivinen, joten v x u ≠ u x v. Itse asiassa v x u = - (u x v).

Jos kaksi esimerkkivektoria ilmaistaan ​​yksikkövektoreina, vektorituotteen laskemista helpotetaan:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Ristiintuotteet yksikkövektorien välillä

Saman yksikkövektorin välinen ristituote on nolla, koska niiden välinen kulma on 0º. Mutta eri yksikkövektoreiden välillä kulma niiden välillä on 90º ja sin 90º = 1.

Seuraava kaavio auttaa löytämään nämä tuotteet. Nuolen suuntaan sillä on positiivinen suunta ja vastakkaiseen suuntaan negatiivinen:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Sovellettaessa jakeluominaisuutta, joka on edelleen voimassa vektoreiden välisiin tuotteisiin plus yksikkövektorien ominaisuuksiin, meillä on:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Koska vektorit:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Mitä vektorin w täytyy olla, jotta summa v + u + w on 6 i +8 j -10 k ?

Ratkaisu

Siksi on täytettävä, että:

Vastaus on: w = 9 i +7 j - 18 k

- Harjoitus 2

Mikä on vektorien v ja u välinen kulma tehtävässä 1?

Ratkaisu

Käytämme pistetuotetta. Määritelmästä meillä on:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Korvataan nämä arvot:

Viitteet

1. Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Osa 1. Kinematiikka. Toimittanut Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fysiikka: Periaatteet ja sovellukset. 6th. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fysiikan perusteet. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Yliopistofysiikka modernin fysiikan kanssa. 14th. Toim. Volyymi 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fysiikka tiedettä ja tekniikkaa varten. Nide 1. 7.. Ed. Cengage Learning.