OHJAAJAVEKTORI: LINJAN YHTÄLÖ, RATKAISTU TEHTÄVÄ - FYYSINEN - 2026

Ohjaajavektorin ymmärretään olevan sellainen, joka määrittää viivan suunnan joko tasossa tai avaruudessa. Siksi viivan kanssa yhdensuuntaista vektoria voidaan pitää sen ohjaavana vektorina.

Tämä on mahdollista euklidisen geometrian aksiooman ansiosta, jonka mukaan kaksi pistettä määrittelevät viivan. Sitten näiden kahden pisteen muodostama suuntautunut segmentti määrittelee myös mainitun viivan ohjausvektorin.

Kuva 1. Suoran johtajavektori. (Oma suunnittelu)

Kun viivalle (L) kuuluva piste P ja johdolle on annettu sen vektorin ohjainvektori u, linja määritetään täysin.

Lineaarin ja ohjausvektorin yhtälö

Kuva 2. Lineaarin ja ohjausvektorin yhtälö. (Oma suunnittelu)

Kun pisteelle P annetaan koordinaatit P: (Xo, I) ja juovan (L) vektori u- ohjaajalle, koordinaattien Q: n (X, Y) jokaisen pisteen Q on täytettävä, että vektorin PQ on yhdensuuntainen u: n kanssa. Tämä viimeinen ehto taataan, jos PQ on verrannollinen u: hon:

PQ = t⋅ u

yllä olevassa lausekkeessa t on parametri, joka kuuluu reaalilukuihin.

Jos PQ: n ja u: n Cartesian komponentit kirjoitetaan, yllä oleva yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Jos vektorin tasa-arvon komponentit tasataan, saadaan seuraava yhtälöpari:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrinen yhtälö

Lineaariin (L) kuuluvan pisteen X ja Y-koordinaatit, joka kulkee koordinaattipisteen (Xo, Yo) läpi ja on yhdensuuntainen ohjausvektorin u = (a, b) kanssa, määritetään osoittamalla todelliset arvot muuttujan parametrille t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Esimerkki 1

Osoittaaksemme vektorina viivan parametrisen yhtälön merkityksen havainnollistamiseksi

u = (a, b) = (2, -1)

ja viivan tunnettuna pisteenä piste

P = (Xo, I) = (1,5).

Lineaarin parametrinen yhtälö on:

{X = 1 + 2t; Y = 5 - 1 t; -∞

Tämän yhtälön merkityksen havainnollistamiseksi esitetään kuva 3, jossa parametri t muuttaa arvoa ja koordinaattien piste Q (X, Y) ottaa eri paikat linjalla.

Kuva 3. PQ = t u. (Oma suunnittelu)

Rivi vektorimuodossa

Kun viivalla on piste P ja sen ohjausvektori u, viivan yhtälö voidaan kirjoittaa vektorimuodossa:

OQ = OP + λ⋅ u

Yllä olevassa yhtälössä Q on mikä tahansa piste, mutta kuuluu linjaan ja λ on reaaliluku.

Suoran vektoriyhtälö on sovellettavissa mihin tahansa lukumäärään dimensioita, jopa hyperviiva voidaan määritellä.

Kolmiulotteisessa tapauksessa ohjausvektorille u = (a, b, c) ja pisteelle P = (Xo, Yo, Zo) linjaan kuuluvan geneerisen pisteen Q = (X, Y, Z) koordinaatit ovat:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Esimerkki 2

Mieti uudelleen sitä viivaa, jolla on ohjausvektori

u = (a, b) = (2, -1)

ja viivan tunnettuna pisteenä piste

P = (Xo, I) = (1,5).

Mainitun viivan vektoriyhtälö on:

(X, Y) = (1,5) + X (2, -1)

Jatkuva muoto linjaa ja ohjaajavektoria

Parametrimuodosta, tyhjentämällä ja yhtälömällä parametri λ, meillä on:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Tämä on viivan yhtälön symmetrinen muoto. Huomaa, että a, b ja c ovat ohjausvektorin komponentteja.

Esimerkki 3

Mieti viivaa, jolla on ohjausvektori

u = (a, b) = (2, -1)

ja viivan tunnettuna pisteenä piste

P = (Xo, I) = (1,5). Löydä sen symmetrinen muoto.

Linjan symmetrinen tai jatkuva muoto on:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Lineaarin yhtälön yleinen muoto

XY-tason viivan yleinen muoto tunnetaan yhtälönä, jolla on seuraava rakenne:

A⋅X + B⋅Y = C

Symmetrisen muodon lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen yleiseksi muotoksi:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

verrattuna linjan yleiseen muotoon se on:

A = b, B = -a ja C = b⋅Xo-a⋅Yo

Esimerkki 3

Etsi sen rivin yleinen muoto, jonka ohjausvektori on u = (2, -1)

ja joka kulkee pisteen P = (1, 5) kautta.

Yleisen muodon löytämiseksi voimme käyttää annettuja kaavoja, mutta vaihtoehtoinen polku valitaan.

Aloitamme etsimällä ohjausvektorin u kaksoisvektori w, joka määritellään vektoriksi, joka saadaan vaihtamalla u: n komponentit ja kertomalla sekunti -1: llä:

w = (-1, -2)

kaksoisvektori w vastaa johtajavektorin v 90 °: n kiertoa myötäpäivään.

Kerrotaan asteikolla w (X, Y) ja (Xo, Yo) ja asetetaan yhtä suuret:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2 ~ 5 = -11

jäljellä lopulta:

X + 2Y = 11

Viivan yhtälön vakiomuoto

Se tunnetaan linjan vakiomuotona XY-tasossa, jolla on seuraava rakenne:

Y = m⋅X + d

missä m edustaa kaltevuutta ja d leikkausta Y-akselin kanssa.

Koska suuntavektori u = (a, b), kaltevuus m on b / a.

Yd saadaan korvaamalla X ja Y tunnetulle pisteelle Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Lyhyesti sanottuna, m = b / a ja d = I - (b / a) Xo

Huomaa, että kaltevuus m on ohjausvektorin y-komponentin ja sen x-komponentin välinen osamäärä.

Esimerkki 4

Etsi rivin vakiomuoto, jonka ohjausvektori on u = (2, -1)

ja joka kulkee pisteen P = (1, 5) kautta.

m = -½ ja d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Etsi viivan (L) ohjausvektori, joka on tason (Π) leikkauspiste: X - Y + Z = 3 ja taso (Ω): 2X + Y = 1.

Kirjoita sitten viivan (L) yhtälön jatkuva muoto.

Ratkaisu

Tason (Ω) yhtälöstä Y: Y = 1 -2X

Sitten korvaamme tason yhtälössä (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 - 3X + Z = 4 - Z = 4 - 3X

Sitten parametroimme X: n, valitsemme parametroinnin X = λ

Tämä tarkoittaa, että juovalla on vektoriyhtälö, jonka antaa:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

joka voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

jolla on selvää, että vektori u = (1, -2, -3) on linjan (L) ohjaajavektori.

Linjan jatkuva muoto (L) on:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Harjoitus 2

Annetaan taso 5X + a Y + 4Z = 5

ja linja, jonka yhtälö on X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Määritä arvo sellaiselle, että taso ja viiva ovat yhdensuuntaiset.

Ratkaisu 2

Vektori n = (5, a, 4) on vektori, joka on normaali tasolle.

Vektori u = (1, 3, -2) on linjan ohjaava vektori.

Jos viiva on yhdensuuntainen tason kanssa, niin n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Viitteet

1. Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Precalculus-matematiikka. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineaarialgebra. Pearson koulutus.
3. Leal, JM, ja Viloria, NG (2005). Koneanalyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: Toimituksellinen Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektoreita. Palautettu osoitteesta books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson koulutus.
6. Prenowitz, W. 2012. Geometrian peruskäsitteet. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson koulutus.