- Kuinka saada normaali vektori tasolle?
- Normaali vektori vektorituotteesta
- esimerkki
- Ratkaisu
- Vektorituotteen laskeminen
- Tason yhtälö
- Viitteet
Normaali vektori on sellainen, joka määrittää kohtisuorassa suunnassa noin geometrinen yksikön harkitaan, joka voi olla käyrä, kone tai pinta, esimerkiksi.
Se on erittäin hyödyllinen käsite liikkuvan hiukkasen tai jonkin pinnan asemoinnissa avaruudessa. Seuraavassa kaaviossa on mahdollista nähdä, mikä on mielivaltaisen käyrän C normaali vektori:
Kuva 1. Käyrä C, jossa vektori on normaali pisteen P käyrälle. Lähde: Svjo
Tarkastellaan pistettä P käyrässä C. Piste voi edustaa liikkuvaa hiukkasta, joka liikkuu C: n muotoista polkua pitkin.Käyrän tangenttiviiva pisteessä P on piirretty punaisella.
Huomaa, että vektori T on tangentti C: lle kussakin pisteessä, kun taas vektori N on kohtisuorassa T: n kanssa ja osoittaa kuvitteellisen ympyrän keskipisteeseen, jonka kaari on segmentti C: stä. Vektorit on merkitty lihavoidulla tekstillä painetussa tekstissä erottaa ne muista kuin vektori-määristä.
Vektori T osoittaa aina, missä hiukkanen liikkuu, siksi se ilmaisee hiukkasen nopeutta. Toisaalta vektori N osoittaa aina hiukkasen pyörimissuuntaan, tällä tavoin se osoittaa käyrän C koveraisuuden.
Kuinka saada normaali vektori tasolle?
Normaali vektori ei ole välttämättä yksikkövektori, ts. Vektori, jonka moduuli on 1, mutta jos niin, sitä kutsutaan normaaliksi yksikkövektoriksi.
Kuva 2. Vasemmalla taso P ja kaksi vektoria, jotka ovat normaaleja mainitulle tasolle nähden. Oikealla yksikkövektorit kolmessa suunnassa, jotka määräävät tilan. Lähde: Wikimedia Commons. Katso kirjoittajan sivu
Monissa sovelluksissa on välttämätöntä tuntea vektori normaalitasoon kuin käyrään. Tämä vektori paljastaa mainitun tason suunnan avaruudessa. Tarkastellaan esimerkiksi kuvan tasoa P (keltainen):
Tällä tasolla on kaksi normaalia vektoria: n 1 ja n 2. Yhden tai toisen käyttö riippuu tilanteesta, jossa mainittu taso löytyy. Normaalivektorin saaminen tasolle on hyvin yksinkertaista, jos tason yhtälö tunnetaan:
Tässä vektori N ilmaistaan kohtisuoraan yksikkövektoriin i, j ja k, jotka on suunnattu xyz-tilaa määrittävän kolmen suunnan suuntaan, katso kuva 2 oikealla.
Normaali vektori vektorituotteesta
Hyvin yksinkertainen menetelmä normaalin vektorin löytämiseksi hyödyntää vektorituotteen ominaisuuksia kahden vektorin välillä.
Kuten tiedetään, kolme eri pistettä, jotka eivät ole suoraviivaisia toistensa kanssa, määrittävät tason P. Nyt on mahdollista saada kaksi vektoria u ja v, jotka kuuluvat mainittuun tasoon, jolla on nämä kolme pistettä.
Kun vektorit on saatu, vektorituote u x v on operaatio, jonka tuloksena on puolestaan vektori, jolla on ominaisuus olla kohtisuorassa u: n ja v: n määrittämään tasoon nähden.
Tämä vektori tunnetaan nimellä N ja siitä on mahdollista määrittää tason yhtälö edellisessä osassa esitetyn yhtälön avulla:
N = u x v
Seuraava kuva kuvaa kuvattua menettelyä:
Kuva 3. Kaikilla vektoreilla ja niiden vektorituotteella tai ristillä määritetään tason taso, joka sisältää kaksi vektoria. Lähde: Wikimedia Commons. Koneella luettavaa kirjailijaa ei toimitettu. M.Romero Schmidtke oletti (tekijänoikeusvaatimusten perusteella).
esimerkki
Etsi pisteiden A (2,1,3) määrittämän tason yhtälö; B (0,1,1); C (4.2.1).
Ratkaisu
Tämä tehtävä kuvaa yllä kuvattua menettelytapaa. Kun niillä on 3 pistettä, yksi niistä valitaan kahden vektorin, joka kuuluu näiden pisteiden määrittelemään tasoon, yhteiseksi lähtökohdaksi. Esimerkiksi piste A asetetaan lähteeksi ja vektorit AB ja AC rakennetaan.
Vektori AB on vektori, jonka lähtökohta on piste A ja jonka loppupiste on piste B. Vektorin AB koordinaatit määritetään vähentämällä vastaavasti B: n koordinaatit A: n koordinaateista:
Etsimme samalla tavalla vektorin AC löytämiseen:
Vektorituotteen laskeminen
On olemassa useita menetelmiä ristiintuotteen löytämiseksi kahden vektorin välillä. Tässä esimerkissä käytetään muistelmaproseduuria, joka käyttää seuraavaa kuvaa vektorituotteiden löytämiseen yksikkövektorien i, j ja k välillä:
Kuva 4. Kaavio yksikkövektorien välisen vektorituotteen määrittämiseksi. Lähde: itse tehty.
Aluksi on hyvä muistaa, että rinnakkaisvektorien väliset vektorituotteet ovat tyhjiä, siksi:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Ja koska vektorituote on toinen vektori, joka on kohtisuora osallistuviin vektoreihin, siirtyen punaisen nuolen suuntaan, joka meillä on:
Jos sinun on liikuttava nuolen suuntaan vastakkaiseen suuntaan, lisää merkki (-):
Kaikkiaan on mahdollista valmistaa 9 vektorituotetta yksikkövektoreilla i, j ja k, joista 3 on nolla.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Tason yhtälö
Vektori N on määritetty aiemmin lasketulla vektorituotteella:
N = 2i -8 j- 2 k
Siksi a = 2, b = -8, c = -2, tavoiteltava taso on:
D: n arvo on vielä määritettävä. Tämä on helppoa, jos minkä tahansa käytettävissä olevan pisteen A, B tai C arvot korvataan tason yhtälössä. Esimerkiksi C:
x = 4; y = 2; z = 1
Jäännökset:
Lyhyesti sanottuna haettu kartta on:
Utelias lukija voi ihmetellä, olisiko sama tulos saatu, jos AB x AC: n tekemisen sijaan olisi valittu tekemään AC x AB. Vastaus on kyllä, näiden kolmen pisteen määrittämä taso on ainutlaatuinen ja siinä on kaksi normaalia vektoria, kuten kuvassa 2 esitetään.
Mitä tulee vektorien lähtöpisteeksi valittuun pisteeseen, minkään muun valinnasta ei ole mitään ongelmaa.
Viitteet
- Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Osa 1. Kinematiikka. Toimittanut Douglas Figueroa (USB). 31 - 62.
- Normaalin löytäminen tasolle. Palautettu osoitteesta: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Laskenta ja analyyttinen geometria. Mc Graw Hill. 616-647.
- R: n linjat ja lentokoneet. Palautettu: math.harvard.edu.
- Normaali vektori. Palautettu osoitteesta mathworld.wolfram.com.