AVARUUDESSA OLEVAT VEKTORIT: MITEN KUVAAJA, SOVELLUKSET, HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Avaruudessa oleva vektori on kaikki, jota edustaa koordinaattijärjestelmä, jonka antavat x, y ja z. Suurimman osan ajasta xy-taso on vaakatason pinta ja z-akseli edustaa korkeutta (tai syvyyttä).

Kuviossa 1 esitetyt Cartesian koordinaattiakselit jakavat tilan 8 alueeksi, joita kutsutaan oktanteiksi, samalla tavalla kuin x - y-akselit jakavat tason neljään kvadrandiin. Meillä on sitten 1. oktantti, 2. oktantti ja niin edelleen.

Kuva 1. Vektori avaruudessa. Lähde: itse tehty.

Kuvio 1 sisältää vektorin v esityksen avaruudessa. Jotkin näkökulmat vaaditaan kolmen ulottuvuuden illuusion luomiseksi näytön tasolle, joka saadaan aikaan piirtämällä vinossa näkymässä.

3D-vektorin kuvaajaksi sinun on käytettävä katkoviivoja, jotka määrittävät ruudukossa x: n pinnan projisoinnin koordinaatit tai v: n "varjon". Tämä projektio alkaa O: sta ja päättyy vihreään kohtaan.

Siellä saavuttuaan sinun on jatkettava pystysuuntaa pitkin tarvittavaa korkeutta (tai syvyyttä) z-arvon mukaan, kunnes saavut P.: een. Vektori piirretään O: sta ja päättyy pisteeseen P, joka on esimerkissä 1. oktantti.

Sovellukset

Avaruusvektoreita käytetään laajalti mekaniikassa ja muissa fysiikan ja tekniikan aloilla, koska meitä ympäröivät rakenteet vaativat geometriaa kolmiulotteisesti.

Avaruudessa olevia sijaintivektoreita käytetään kohteiden sijoittamiseen suhteessa OR-alkuperään kutsuttuun vertailupisteeseen, joten ne ovat myös välttämättömiä työkaluja navigoinnissa, mutta se ei ole kaikki.

Joukot, jotka vaikuttavat rakenteisiin, kuten pulteihin, kiinnikkeisiin, kaapeleihin, tukijärjestelmiin ja muihin, ovat luonteeltaan vektoreita ja suunnattuja avaruuteen. Sen vaikutuksen tuntemiseksi on välttämätöntä tietää sen osoite (ja myös sen soveltamiskohta).

Ja usein voiman suunta tiedetään tietämällä kaksi avaruuspistettä, jotka kuuluvat sen toimintalinjaan. Tällä tavalla voima on:

F = F u

Missä F on voiman suuruus tai suuruus ja u on yksikkövektori (moduuli 1), joka on suunnattu toimintaviivaa F pitkin.

Merkinnät ja 3D-vektoriesitykset

Ennen kuin jatkamme joidenkin esimerkkien ratkaisemista, tarkastelemme lyhyesti 3D-vektointia.

Kuvion 1 esimerkissä vektorilla v, jonka lähtöpiste on samanlainen kuin alkuperä O ja jonka pää on piste P, on positiiviset xyz-koordinaatit, kun taas y-koordinaatti on negatiivinen. Nämä koordinaatit ovat: x ₁, y ₁, z ₁, jotka ovat tarkalleen P: n koordinaatteja.

Joten jos meillä on alkuperään kytketty vektori, eli jonka lähtöpiste vastaa O: ta, on erittäin helppo osoittaa sen koordinaatit, jotka ovat ääripisteen tai P: n koordinaatit. Pisteen ja vektorin erottamiseksi käytämme viimeiset lihavoidut kirjaimet ja hakasulkeet, kuten tämä:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Vaikka piste P on merkitty sulkuilla:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Eräässä toisessa esityksessä käytetään yksikkövektoreita i, j ja k, jotka määrittelevät vastaavasti avaruuden kolme suuntaa x-, y- ja z-akseleilla.

Nämä vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja muodostavat ortonormaalisen perustan (katso kuva 2). Tämä tarkoittaa, että 3D-vektori voidaan kirjoittaa niihin:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Vektorin kulmat ja ohjauskosiinit

Kuvio 2 esittää myös ohjaaja kulmat y ₁, γ ₂ ja γ ₃, että vektori v tekee vastaavasti x, y ja z-akseleita. Kun nämä kulmat ja vektorin suuruus tunnetaan, se määritetään täysin. Lisäksi ohjainkulmien kosinukset kohtaavat seuraavan suhteen:

(cos γ ₁) ² + (cos γ ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

Kuva 2. Yksikkövektorit i, j ja k määrittävät avaruuden 3 edullista suuntaa. Lähde: itse tehty.

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Kuviossa 2 kulmien y ₁, γ ₂ ja γ ₃, että vektori v on kerroin 50 muodostaa kanssa koordinaattiakselit ovat vastaavasti: 75.0º, 60.0º ja 34.3º. Etsi tämän vektorin Cartesian komponentit ja edusta sitä yksikkövektoreina i, j ja k.

Ratkaisu

Vektorin v projektio x-akselille on v _x = 50. cos 75º = 12,941. Samalla tavalla v: n projektio y-akselilla on v _y = 50 cos 60 ° = 25 ja lopulta z-akselilla on v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Nyt v voidaan ilmaista:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Harjoitus 2

Löydä kunkin kaapelin jännitykset, jotka pitävät kauhaa kuvassa, joka on tasapainossa, jos sen paino on 30 N.

Kuva 3. Rasituksen kaavio harjoituksesta 2.

Ratkaisu

Kauhassa vapaan rungon kaavio osoittaa, että T _D (vihreä) siirtää painon W (keltainen), joten T _D = W = 30 N.

Solmussa, vektori T _D on suunnattu pystysuoraan alaspäin, sitten:

T _D = 30 (- k) N.

Voit määrittää jäljellä olevat jännitteet seuraavasti:

Vaihe 1: Etsi kaikkien pisteiden koordinaatit

A = (4.5,0,3) (A on seinämän tasossa xz)

B = (1,5,0,0) (B on x-akselilla)

C = (0, 2,5, 3) (C on seinämän tasossa ja z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D on vaakatasossa xy)

Vaihe 2: Löydä vektorit kumpaankin suuntaan vähentämällä lopun ja alkukoordinaatit

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; yksi; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Vaihe 3: Laske moduulit ja yksikkövektorit

Yksikkövektori saadaan lausekkeella: u = r / r, jolloin r (lihavoitu) on vektori ja r (ei lihavoitu) on mainitun vektorin moduuli.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; yksi; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -yksi; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Vaihe 4: Kaikki jännitykset ilmaistaan ​​vektoreina

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -yksi; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Vaihe 5: Aseta staattinen tasapainotila ja ratkaise yhtälöjärjestelmä

Viimeiseksi staattisen tasapainon ehto kohdistetaan kauhaan siten, että kaikkien solmuun kuuluvien voimien vektorisumma on nolla:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Koska jännitykset ovat avaruudessa, se johtaa kolmen yhtälön järjestelmään kutakin jännityksen komponenttia (x, y ja z).

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC + 0 T _DB - 30 = 0

Liuos on: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Viitteet

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Sarja: Fysiikka tieteiden ja tekniikan aloille. Osa 1. Kinematics 31-68.
3. Fyysinen. Moduuli 8: Vektorit. Palautettu osoitteesta: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Staattinen 6. painos. Manner kustantamo. 15-53.
5. Vektorin lisäyslaskin. Palautettu: 1728.org