Vapaa vektorit ovat niitä, jotka ovat täysin määritelty sen suuruus, suunta ja mielessä, ilman että on tarpeen ja osoittaa pisteen sovellus tai tiettyä alkuperää.
Koska äärettömiä vektoreita voidaan piirtää tällä tavalla, vapaa vektori ei ole yksi kokonaisuus, vaan joukko rinnakkaisia ja identtisiä vektoreita, jotka ovat riippumattomia siitä, missä ne ovat.
Kuva 1. Erilaisia vapaita vektoreita. Lähde: itse tehty.
Oletetaan, että meillä on useita voimakkuuden 3 vektoreita, jotka on suunnattu pystysuoraan ylöspäin tai suuruusluokkaa 5 ja kalteva oikealle, kuten kuvassa 1.
Kumpaakaan näistä vektoreista ei käytetä spesifisesti missään vaiheessa. Sitten mikä tahansa sininen tai vihreä vektori edustaa vastaavaa ryhmää, koska niiden ominaisuudet - moduuli, suunta ja aisti - eivät muutu ollenkaan, kun ne siirretään toiseen paikkaan tasossa.
Vapaa vektori merkitään painetussa tekstissä yleensä lihavoituna, pienillä kirjaimilla, esimerkiksi v. Tai pienillä kirjaimilla ja nuolella yläpuolella, jos se on käsin kirjoitettua tekstiä .
Vapaiden vektorien etuna on, että niitä voidaan siirtää tason tai avaruuden läpi ja ylläpitää ominaisuuksiaan, koska kaikki joukon edustajat ovat yhtä päteviä.
Siksi fysiikassa ja mekaniikassa niitä käytetään usein. Esimerkiksi kääntävän kiinteän aineen lineaarisen nopeuden osoittamiseksi ei ole tarpeen valita tietty piste objektista. Joten nopeusvektori käyttäytyy kuin vapaa vektori.
Toinen esimerkki vapaasta vektorista on voimaparit. Pari koostuu kahdesta samansuuruisesta ja suunnassa olevasta voimasta, mutta vastakkaisista voimista, jotka on kohdistettu kiinteään kohtaan eri kohtiin. Parin seurauksena ei ole esineen liikuttaminen, vaan pyöriminen tuotetun momentin ansiosta.
Kuvio 2 esittää paria ohjauspyörään kohdistettuja voimia. Voimien F 1 ja F 2 kautta syntyy vääntömomentti, joka pyörii vauhtipyörää sen keskipisteen ympäri ja myötäpäivään.
Kuva 2. Pari ohjauspyörään kohdistuvaa voimaa antaa sen kääntyä myötäpäivään. Lähde: Bielasko.
Voit tehdä joitain muutoksia vääntömomenttiin ja saada silti saman pyörivän vaikutuksen, esimerkiksi lisäämällä voimaa, mutta vähentämällä niiden välistä etäisyyttä. Tai ylläpitää voimaa ja etäisyyttä, mutta kohdista vääntömomentti toiseen ohjauspyörän pistepariin, ts. Kierrä vääntömomenttia keskellä.
Parin tai yksinkertaisesti parin momentti on vektori, jonka moduuli on Fd ja joka on suunnattu kohtisuoraan vauhtipyörän tasoon nähden. Tavanomaisesti esitetyssä esimerkissä myötäpäivään tapahtuvalla pyörimisellä on negatiivinen suunta.
Ominaisuudet ja ominaisuudet
Toisin kuin vapaa vektori v, vektorit AB ja CD ovat kiinteitä (katso kuva 3), koska niillä on määritetty lähtö- ja saapumiskohta. Mutta koska ne ovat joukkuevälyttäviä toistensa suhteen, ja vektori v puolestaan, ne edustavat vapaata vektoria v.
Kuva 3. Vapaat vektorit, joukkuelinssivektorit ja kiinteät vektorit. Lähde: itse tehty.
Vapaiden vektorien pääominaisuudet ovat seuraavat:
- Jokainen vektori AB (katso kuva 2) edustaa, kuten sanotaan, vapaata vektoria v.
-Moduli, suunta ja aisti ovat samat missä tahansa vapaan vektorin edustajassa. Kuviossa 2 vektorit AB ja CD esittävät vapaata vektoria v ja ovat joukkue-linssi.
- Jos piste P on avaruudessa, on aina mahdollista löytää edustaja vapaalle vektorille v, jonka alkuperä on P: ssä ja tämä edustaja on ainutlaatuinen. Tämä on vapaiden vektoreiden tärkein ominaisuus ja tekee niistä niin monipuolisia.
-A null vapaa vektori on merkitty 0 ja on asetettu kaikkien vektoreiden, joista puuttuu suuruus, suunta ja merkityksessä.
-Jos vektori AB edustaa vapaata vektoria v, niin vektori BA edustaa vapaata vektoria - v.
-Merkintää V 3 käytetään kaikkien avaruudessa olevien vapaiden vektoreiden ryhmän nimeämiseen ja V 2 kaikkien tasossa olevien vapaiden vektoreiden nimeämiseen.
Ratkaistuja harjoituksia
Vapailla vektoreilla voidaan suorittaa seuraavat toimenpiteet:
-Summa
-Vähennyslasku
-Skaalarin monistaminen vektorilla
-Skaalaarinen tuote kahden vektorin välillä.
-Ristituote kahden vektorin välillä
-Vektorien lineaarinen yhdistelmä
Ja enemmän.
-Harjoitus 1
Opiskelija yrittää uida joen rannalla olevasta pisteestä toiseen, joka on suoraan vastapäätä. Tämän saavuttamiseksi se ui suoraan nopeudella 6 km / h kohtisuoraan suuntaan, mutta virran nopeus on 4 km / h, mikä ohjaa sitä.
Laske uimareiden tuloksena syntyvä nopeus ja kuinka paljon hän taipuu virralla.
Ratkaisu
Tuloksena oleva uimurin nopeus on vektorin summa hänen nopeudestaan (suhteessa jokeen, vetää pystysuoraan ylöspäin) ja joen nopeuteen (vedetty vasemmalta oikealle), joka suoritetaan seuraavan kuvan osoittamalla tavalla:
Tuloksena olevan nopeuden suuruus vastaa esitetyn oikean kolmion hypoteenusta, joten:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / h = 7,2 km / h
Suunta voidaan laskea kulmalla suhteessa rantaan nähden kohtisuoraan:
α = arctg (4/6) = 33,7º tai 56,3º rantaan nähden.
Harjoitus 2
Etsi kuvassa näkyvä voimaparin momentti:
Ratkaisu
Hetki lasketaan:
M = r x F
Hetken yksiköt ovat lb-f.ft. Koska pari on näytön tasossa, momentti on suunnattu sitä vastaan kohtisuoraan, joko ulospäin tai sisäänpäin.
Koska esimerkin vääntömomentti pyrkii pyörimään kohdetta, johon se kohdistuu (jota ei ole esitetty kuvassa) myötäpäivään, tämän hetken katsotaan osoittavan näytön sisäpuolta kohti ja negatiivisella merkillä.
Hetken suuruus on M = Fdsen a, missä a on voiman ja vektorin r välinen kulma . Sinun on valittava piste, johon suhteessa hetki lasketaan, mikä on vapaa vektori. Referenssijärjestelmän alkuperä valitaan, siksi r siirtyy O: sta kunkin voiman kohdistuspisteeseen.
M 1 = M 2 = -Fdsen60 ° = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. jalka
Nettohetki on M 1: n ja M 2: n summa: -17329,5 lb-f. jalka.
Viitteet
- Beardon, T. 2011. Johdanto vektoreihin. Palautettu osoitteesta: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Sarja: Fysiikka tieteiden ja tekniikan aloille. Osa 1. Kinematics 31-68.
- Fyysinen. Moduuli 8: Vektorit. Palautettu osoitteesta: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Staattinen 6. painos. Manner kustantamo. 15-53.
- Vektorin lisäyslaskin. Palautettu: 1728.org
- Vektoreita. Palautettu osoitteesta: en.wikibooks.org