EI-TASOISET VEKTORIT: MÄÄRITELMÄ, OLOSUHTEET, HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Ei - samantasoisia vektoreita ovat ne, jotka eivät jaa samassa tasossa. Kaksi vapaata vektoria ja piste määrittelevät yhden tason. Kolmas vektori voi jakaa kyseisen tason, ja jos ei, ne ovat ei-tasomaisia ​​vektoreita.

Muita kuin tasomaisia ​​vektoreita ei voida esittää kaksiulotteisissa tiloissa, kuten liitutaulu tai paperiarkki, koska osa niistä sisältyy kolmanteen ulottuvuuteen. Edustaakseen niitä oikein sinun on käytettävä perspektiiviä.

Kuva 1. Yhden tason ja ei-tasoiset vektorit. (Oma suunnittelu)

Jos tarkastelemme kuvaa 1, kaikki esitetyt esineet ovat tiukasti näytön tasossa, mutta perspektiivimme ansiosta aivomme kykenevät kuvittelemaan siitä tulevan tason (P).

Tällä tasolla (P) ovat vektorit r, s, u, kun taas vektorit v ja w eivät ole tällä tasolla.

Siksi vektorit r, s, u ovat tasomaisia ​​tai samansuuntaisia ​​toisiinsa nähden, koska niillä on sama taso (P). Vektorit v ja w eivät jaa tasoa minkään muun esitetyn vektorin kanssa, joten ne ovat ei-tasomaisia.

Yhdensuuntaiset vektorit ja tason yhtälö

Taso määritetään yksilöllisesti, jos kolmiulotteisessa tilassa on kolme pistettä.

Oletetaan, että nämä kolme pistettä ovat piste A, piste B ja piste C, jotka määrittelevät tason (P). Näillä pisteillä on mahdollista rakentaa kaksi vektoria AB = u ja AC = v, jotka ovat rakenteellisesti samansuuntaisia ​​tason (P) kanssa.

Näiden kahden vektorin ristituote (tai ristituote) johtaa kolmanteen vektoriin, joka on kohtisuora (tai normaali) niihin nähden ja siten kohtisuorassa tasoon (P):

n = u X v => n ⊥ u ja n ⊥ v => n ⊥ (P)

Kaikkien muiden tasoon (P) kuuluvien pisteiden on varmistettava, että vektori AQ on kohtisuorassa vektoriin n nähden; Tämä vastaa sanomalla, että piste tuote (tai piste tuote) ja n kanssa AQ on nolla:

n • AQ = 0 (*)

Edellinen ehto vastaa sanomista, että:

AQ • (u X v) = 0

Tämä yhtälö varmistaa, että piste Q kuuluu tasoon (P).

Tason suorakulmainen yhtälö

Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa suorakaartimuodossa. Tätä varten kirjoitamme pisteiden A, Q ja normaalin vektorin n komponenttien koordinaatit:

Joten AQ: n komponentit ovat:

Edellytys vektorin AQ sisällyttämiselle tasoon (P) on ehto (*), joka on nyt kirjoitettu seuraavasti:

Pistetuotteen laskeminen pysyy:

Jos sitä kehitetään ja järjestetään uudelleen, se pysyy:

Aikaisempi lauseke on tason (P) suorakulmainen yhtälö (P): n normaalin vektorin komponenttien funktiona ja pisteeseen (P) kuuluvan pisteen A koordinaateina.

Edellytykset kolmen vektorin olla ei-tasomaiset

Kuten edellisestä osiosta nähdään, ehto AQ • (u X v) = 0 takaa, että vektori AQ on samansuuntainen u: n ja v: n kanssa.

Jos kutsumme vektoria AQ w, voimme vakuuttaa, että:

w, u ja v ovat samansuuntaisia, jos ja vain jos w • (u X v) = 0.

Ei-samansuuntainen ehto

Jos kolmen vektorin kolmoistuote (tai sekoitettu tuote) eroaa nollasta, niin nämä kolme vektoria ovat ei-tasomaisia.

Jos w • (u X v) ≠ 0, vektorit u, v ja w ovat ei-tasomaisia.

Jos vektorien u, v ja w Cartesian komponentit otetaan käyttöön, ei-samansuuntaisuus voidaan kirjoittaa tällä tavalla:

Kolminkertaisella tuotteella on geometrinen tulkinta ja se edustaa kolmen ei-tasomaisen vektorin tuottaman suuntaissärmiön tilavuutta.

Kuvio 2. Kolme ei-tasomaista vektoria määrittelevät suuntaissärmiön, jonka tilavuus on kolminkertaisen tuotteen moduuli. (Oma suunnittelu)

Syynä on seuraava; Kun kaksi ei-tasomaista vektoria kerrotaan vektorisesti, saadaan vektori, jonka suuruus on niiden muodostaman suuntakuvan pinta-ala.

Sitten kun tämä vektori kerrotaan skalaarisesti kolmannella ei-tasomaisella vektorilla, mitä meillä on, on projektio vektoriin, joka on kohtisuorassa tasoon nähden, jonka kaksi ensimmäistä määrittävät kerrottuna niiden määrittämällä alueella.

Toisin sanoen, meillä on kahden ensimmäisen tuottaman suuntakuvan pinta-ala kerrottuna kolmannen vektorin korkeudella.

Vaihtoehtoinen ehto ei-samansuuntaisuudesta

Jos sinulla on kolme vektoria, eikä yhtäkään niistä voida kirjoittaa lineaarisena yhdistelmänä kahdesta muusta, niin nämä kolme vektoria ovat ei-tasomaisia. Eli kolme vektoria u, v ja w ovat ei-tasomaisia, jos ehto:

α u + β v + γ w = 0

Se on tyytyväinen vain, kun α = 0, β = 0 ja γ = 0.

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Vektoreita on kolme

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ja w = (-1, 2, z)

Huomaa, että vektorin w z-komponenttia ei tunneta.

Etsi arvoalue, jonka z voi ottaa sellaiselta, että kolmella vektorilla taataan, että ne eivät jaa samaa tasoa.

Ratkaisu

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Asetamme tämän lausekkeen arvoon nolla

21 z + 18 = 0

ja ratkaisemme z: lle

z = -18 / 21 = -6/7

Jos muuttujalla z olisi arvo -6/7, kolme vektoria olisivat samansuuntaisia.

Joten z: n arvot, jotka takaavat vektorien olevan ei-tasomaisia, ovat seuraavalla aikavälillä:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Harjoitus 2

Löydä seuraavassa kuvassa esitetyn suuntaissärmiön tilavuus:

Ratkaisu

Kuvassa esitetyn suuntaissärmiön tilavuuden löytämiseksi määritetään kolmen samanaikaisen ei-tasoplaanarisen vektorin Cartesian komponentit koordinaattijärjestelmän lähtöpisteessä. Ensimmäinen on vektori u, joka on 4 m ja samansuuntainen X-akselin kanssa:

u = (4, 0, 0) m

Toinen on vektori v XY-tasossa, jonka koko on 3m ja joka muodostaa 60º X-akselin kanssa:

v = (3 * cos 60 °, 3 * sin 60 °, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Ja kolmas on vektori w, joka on 5 m ja jonka projektio XY-tasossa muodostaa 60 ° X-akselin kanssa, lisäksi w muodostaa 30 ° Z-akselin kanssa.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Kun laskelmat on suoritettu, meillä on: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Viitteet

1. Figueroa, D. Sarja: Fysiikka tieteiden ja tekniikan aloille. Osa 1. Kinematiikka. 31-68.
2. Fyysinen. Moduuli 8: Vektorit. Palautettu osoitteesta: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Staattinen 6. painos. Continental Publishing Company, 28-66.
4. McLean, W. Schaum -sarja. Insinöörien mekaniikka: statiikka ja dynamiikka. 3. painos. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektori. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org