KESKIMÄÄRÄINEN KULMANOPEUS: MÄÄRITELMÄ JA KAAVAT, RATKAISETUT HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Keskimääräinen kulmanopeus pyörimissuunta on määritelty kulman pyöritetään aikayksikköä kohti asemaa vektorin kohtaan, joka kuvaa liikkein. Kattopuhaltimen siivet (kuten kuvassa 1 esitetyt) seuraavat ympyräliikettä ja niiden keskimääräinen kulmanpyörimisnopeus lasketaan ottamalla jako kääntyneen kulman ja kulman kulkuajan välillä.

Säännöt, joita kiertoliike seuraa, ovat jonkin verran samanlaisia ​​kuin translaation liikettä koskevat tutut. Kuljetut etäisyydet voidaan mitata myös metreinä, mutta kulmasuureet ovat kuitenkin erityisen merkityksellisiä, koska ne helpottavat suuresti liikkeen kuvaamista.

Kuva 1. Tuulettimen siipien kulmanopeus on. Lähde: Pixabay

Kreikkalaisia ​​kirjaimia käytetään yleensä kulmimääriin ja latinalaisia ​​kirjaimia vastaaviin lineaarisiin suuruuksiin.

Määritelmä ja kaavat

Kuviossa 2 esitetään pisteen liike pyöreällä polulla c. Pisteen sijainti P vastaa hetkeä t ja sitä hetkeä vastaava kulma-asema on ϕ.

Hetkestä t kuluu ajanjakso Δt. Tuona ajanjaksona pisteen uusi sijainti on P 'ja kulma-asema on kasvanut kulmalla A.

Kuva 2. Pisteen ympyräliike. Lähde: itse tehty

Keskimääräinen kulmanopeus ω on kulunut kulma aikayksikköä kohti, niin että osamäärä Δϕ / Δt edustaa keskimääräistä kulmanopeutta ajan t ja t + Δt välillä:

Koska kulma mitataan radiaaneina ja aika sekunneissa, keskimääräisen kulmanopeuden yksikkö on rad / s. Jos haluamme laskea kulmanopeuden juuri hetkessä t, meidän on laskettava suhde Δϕ / Δt kun Δt ➡0.

Tasainen kierto

Pyörimisliike on tasainen, jos millä tahansa havaitulla hetkellä kuljettu kulma on sama samalla ajanjaksolla. Jos kierto on tasainen, kulmanopeus on joka hetki sama kuin keskimääräinen kulmanopeus.

Yhdenmukaisessa pyörimisliikkeessä sitä aikaa, jolloin yksi täydellinen kierros tapahtuu, kutsutaan ajanjaksona ja sitä merkitään T.

Lisäksi, kun täydellinen käännös tehdään, kuljettu kulma on 2π, joten tasaisessa pyörimisessä kulmanopeus ω liittyy ajanjaksoon T seuraavalla kaavalla:

Yhdenmukaisen pyörimisnopeuden f on määritelty jakokerroksen kierrosten lukumäärän ja niiden läpi käymiseen käytetyn ajan välillä, ts. Jos N käännöstä tehdään ajanjaksolla Δt, taajuus on:

f = N / At

Koska yksi käännös (N = 1) kulkee ajassa T (ajanjakso), saadaan seuraava suhde:

f = 1 / T

Toisin sanoen tasaisessa pyörimisessä kulmanopeus on suhteessa taajuuteen suhteessa:

ω = 2π ・ f

Kulmanopeuden ja lineaarisen nopeuden välinen suhde

Lineaarinen nopeus v on jaettu ajomatkan ja sen kuljettamiseen käytetyn ajan välinen suhde. Kuviossa 2 kuljettu matka on kaarin pituus Δs.

Kaari Δs on verrannollinen kulmaan Δϕ ja säteen r kanssa, seuraavan suhteen täyttyessä:

Δs = r ・ Δϕ

Edellyttäen, että Δϕ mitataan radiaaneina.

Jos jaamme edellisen lausekkeen ajanjaksolla Δt, saadaan:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Ensimmäisen elimen osamäärä on lineaarinen nopeus ja toisen elimen osamäärä on keskimääräinen kulmanopeus:

v = r ・ ω

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Kuvassa 1 esitettyjen kattotuuletinterien kärjet liikkuvat nopeudella 5 m / s ja siipien säde on 40 cm.

Laske näiden tietojen avulla: i) pyörän keskimääräinen kulmanopeus, ii) pyörän kierrosten lukumäärä yhdessä sekunnissa, iii) ajanjakso sekunneissa.

Ratkaisu

i) Lineaarinen nopeus on v = 5 m / s.

Säde on r = 0,40 m.

Lineaarisen nopeuden ja kulmanopeuden välisestä suhteesta ratkaisemme jälkimmäisen:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 käännöstä / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 käännöstä / s) = 0,5 s kutakin käännöstä kohden.

-Harjoitus 2

Leluvaunu liikkuu pyöreällä radalla, jonka säde on 2m. 0: n sekunnissa sen kulma-asema on 0 rad, mutta ajan kuluttua t: n kulma-asema on

φ (t) = 2 ・ t.

Näiden tietojen kanssa

i) Laske kulman keskimääräinen nopeus seuraavilla aikaväleillä;; ja lopulta raukeaa.

ii) Perustuu osan i) tuloksiin. Mitä voidaan sanoa liikkeestä?

iii) Määritä keskimääräinen lineaarinen nopeus samassa ajanjaksossa osasta i)

iv) Etsi kulmanopeus ja lineaarinen nopeus mille tahansa hetkelle.

Ratkaisu

i) Keskimääräinen kulmanopeus saadaan seuraavalla kaavalla:

Jatkamme laskettua kulmaa ja kuluneen ajan kulumista kullakin aikavälillä.

Intervalli 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad

AT = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Aϕ / At = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalli 2: Δϕ = ϕ (1,0 s) - ϕ (0,5 s) = 2 (rad / s) * 1,0 s - 2 (rad / s) * 0,5 s = 1,0 rad

AT = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Aϕ / At = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalli 3: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (1,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 1,0 s = 1,0 rad

AT = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Aϕ / At = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalli 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad

AT = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Aϕ / At = 3,0rad / 1,5s = 2,0 rad / s

ii) Kun otetaan huomioon aikaisemmat tulokset, joissa keskimääräinen kulmanopeus laskettiin eri aikaväleillä, saaden aina saman tuloksen, näyttää siltä, ​​että se on tasainen ympyräliike. Nämä tulokset eivät ole kuitenkaan vakuuttavia.

Tapa päätelmän varmistamiseen on laskea keskimääräinen kulmanopeus mielivaltaiselle ajalle: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

Tämä tarkoittaa, että leluvaunujen keskimääräinen kulmanopeus on 2 rad / s millä tahansa tarkastelujaksolla. Mutta voit mennä pidemmälle, kun lasket hetkellisen kulmanopeuden:

Tämä tulkitaan siten, että leluautolla on jatkuvasti kulmanopeus vakiona = 2 rad / s.

Viitteet

1. Giancoli, D. Fysiikka. Periaatteet sovellusten kanssa. 6. painos. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fysiikka: Katso maailmaa. 6 ^ta Editointi lyhennetty. Cengagen oppiminen. 117.
3. Resnick, R. (1999). Fyysinen. Osa 1. Kolmas painos espanjaksi. Meksiko. Compañía Toimituksellinen Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysiikka tiedettä ja tekniikkaa varten. Nide 1. 7.. Painos. Meksiko. Cengagen oppimiseditoijat. 32-55.
5. Wikipedia. Kulmanopeus. Palautettu osoitteesta: wikipedia.com