HETKELLINEN NOPEUS: MÄÄRITELMÄ, KAAVA, LASKENTA JA HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Hetkellinen nopeus on määritetty hetkellinen muutos aikasiirtymä. Se on konsepti, joka lisää suurta tarkkuutta liikkeen tutkimiseen. Ja se on edistysaskel suhteessa keskimääräiseen nopeuteen, jonka tiedot ovat hyvin yleisiä.

Hetkellisen nopeuden saamiseksi tarkastellaan mahdollisimman pientä aikaväliä. Differentiaalilaskenta on täydellinen työkalu ilmaista tämä ajatus matemaattisesti.

Hetkellinen nopeus näyttää matkaviestimen nopeuden matkan jokaisessa pisteessä. Lähde: Pixabay.

Lähtökohta on keskimääräinen nopeus:

Tämä raja tunnetaan johdannaisena. Erotuslaskentamerkinnässä meillä on:

Niin kauan kuin liike on rajoitettu suoraan linjaan, vektorimerkinnästä voidaan luopua.

Hetkellisen nopeuden laskeminen: geometrinen tulkinta

Seuraava kuva esittää johdannaiskonseptin geometristä tulkintaa: se on tangenttilinjan kaltevuus käyrään x (t) vs. t kussakin pisteessä.

Hetkellinen nopeus P: llä on numeerisesti yhtä suuri kuin tangenttilinjan kaltevuus käyrään x vs. t kohdassa P. Lähde: Lähde: す じ に く シ チ ュ ー.

Voit kuvitella, kuinka saadaan raja, jos pisteeseen Q lähestytään vähitellen pisteeseen P. Tulee aika, jolloin molemmat pisteet ovat niin lähellä, että et voi erottaa toisistaan.

Heitä yhdistävä viiva siirtyy sitten kiinnittymästä (viiva, joka leikkaa kahdessa pisteessä) tangenttiin (viiva, joka koskettaa käyrää vain yhdessä pisteessä). Siksi liikkuvan hiukkasen hetkellisen nopeuden löytämiseksi meillä pitäisi olla:

• Kaavio hiukkasen sijainnista ajan funktiona. Löydettäessä tangenttilinjan kulma käyrään kullakin ajanhetkellä, meillä on hetkellinen nopeus hiukkasen kaikissa kohdissa.

Oi:

• Hiukkasen x (t) sijaintifunktio, joka on johdettu nopeusfunktion v (t) saamiseksi, sitten tämä funktio arvioidaan sopivana ajankohtana t. Sijaintitoiminnon oletetaan olevan erotettavissa.

Joitakin erityistapauksia hetkellisen nopeuden laskemisessa

- Tangenttilinjan kaltevuus käyrään pisteessä P on 0. Nollakaltevuus tarkoittaa, että matkapuhelin pysähtyy ja sen nopeus on tietysti 0.

- Tangenttilinjan kaltevuus käyrään pisteessä P on suurempi kuin 0. Nopeus on positiivinen. Yllä olevassa kaaviossa se tarkoittaa, että matkapuhelin on siirtymässä O: sta.

- Tangenttilinjan kaltevuus käyrään pisteessä P on pienempi kuin 0. Nopeus olisi negatiivinen. Yllä olevassa kaaviossa ei ole sellaisia ​​pisteitä, mutta tässä tapauksessa hiukkanen lähestyy O.

- Tangenttilinjan kaltevuus käyrään nähden on vakio P: ssä ja kaikissa muissa pisteissä. Tässä tapauksessa kuvaaja on suora ja matkaviestimellä on tasainen suoraviivainen MRU (sen nopeus on vakio).

Yleensä funktio v (t) on myös ajan funktio, jolla voi puolestaan ​​olla johdannainen. Entä jos ei olisi mahdollista löytää funktion x (t) ja v (t) johdannaisia?

X (t): n tapauksessa voi olla, että kaltevuus - hetkellinen nopeus - muuttuu merkiksi äkillisesti. Tai että se siirtyisi nollasta toiseen arvoon heti.

Jos näin on, kuvaaja x (t) esittäisi pisteitä tai kulmia äkillisten muutosten paikoissa. Hyvin erilainen kuin edellisessä kuvassa esitetty tapaus, jossa käyrä x (t) on sileä käyrä, ilman pisteitä, kulmia, epäjatkuvuuksia tai äkillisiä muutoksia.

Totuus on, että oikeiden matkapuhelinten kohdalla sileät käyrät kuvaavat parhaiten kohteen käyttäytymistä.

Liike on yleensä melko monimutkaista. Matkapuhelimet voidaan pysäyttää hetkeksi, kiihdyttää lepotilasta nopeuden saavuttamiseksi ja siirtyä pois lähtöpisteestä, ylläpitää nopeutta jonkin aikaa, jarruttaa sitten pysähtyä uudelleen ja niin edelleen.

Jälleen kerran he voivat aloittaa uudelleen ja jatkaa samaan suuntaan. Joko käytä peruutus- ja paluuta. Tätä kutsutaan vaihtelevaksi liikkeeksi yhdessä ulottuvuudessa.

Tässä on joitain esimerkkejä hetkellisen nopeuden laskemisesta selventää annettujen määritelmien käyttöä:

Ratkaistu hetkellisen nopeuden harjoituksia

Harjoitus 1

Hiukkanen liikkuu suoraa linjaa seuraavan liikelain mukaan:

Kaikki yksiköt ovat kansainvälisessä järjestelmässä. Löytö:

a) Hiukkasen sijainti t = 3 sekuntia.

b) Keskimääräinen nopeus välillä t = 0 s ja t = 3 s.

c) Keskimääräinen nopeus välillä t = 0 s ja t = 3 s.

d) Hiukkasen hetkellinen nopeus edellisestä kysymyksestä, t = 1 s.

vastaukset

a) Hiukkasen sijainnin löytämiseksi arvioidaan liikelaki (sijaintifunktio) arvossa t = 3:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Ei ole ongelmaa, että kanta on negatiivinen. Merkki (-) osoittaa, että hiukkanen on alkuperästä O vasemmalla.

b) Keskimääräistä nopeutta laskettaessa vaaditaan hiukkasen lopullinen ja lähtöasento ilmoitetuina ajankohtina: x (3) ja x (0). Paikka t = 3 on x (3) ja se tunnetaan edellisestä tuloksesta. Paikka t = 0 sekuntia on x (0) = -10 m.

Koska lopullinen sijainti on sama kuin alkuasento, päätellään heti, että keskimääräinen nopeus on 0.

c) Keskimääräinen nopeus on kuljetun matkan ja kuluneen ajan välinen suhde. Nyt etäisyys on siirtymän moduuli tai suuruus, siis:

etäisyys = -x2 - x1- = - 10 - (-10) - m = 20 m

Huomaa, että ajettu matka on aina positiivinen.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Täältä on löydettävä ensimmäinen johdannainen paikasta ajan suhteen. Sitten se arvioidaan t = 1 sekunti.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Harjoitus 2

Alla on kaavio matkaviestimen sijainnista ajan funktiona. Laske hetkellinen nopeus t = 2 sekunnissa.

Kaavio matkaviestimen sijainnista ajan kanssa. Lähde: itse tehty.

Vastaa

Piirrä tangenttiviiva käyrään t = 2 sekuntia ja löydä sitten sen kaltevuus ottamalla kaksi viivan pistettä.

Laskeaksesi hetkellisen nopeuden osoitetussa pisteessä, vetää tangenttiviiva siihen pisteeseen ja löytää sen kaltevuus. Lähde: itse tehty.

Tässä esimerkissä otamme kaksi helposti näkyvää pistettä, joiden koordinaatit ovat (2 s, 10 m) ja leikkaus pystyakselilla (0 s, 7 m):

Viitteet

1. Giancoli, D. Fysiikka. Periaatteet sovellusten kanssa. 6. ^th Edition. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fyysinen. Osa 1. Kolmas painos espanjaksi. Meksiko. Compañía Toimituksellinen Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysiikka tiedettä ja tekniikkaa varten. Nide ^{1,7 ma}. Painos. Meksiko. Cengagen oppimiseditoijat. 23-25.