KONJUGAATTI BINOMIOMAALI: KUINKA SE RATKAISTA, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2025

Konjugaatti binomisen toisen binomi- on sellainen, jossa ne ovat vain eriytetty merkki toimintaa. Binomialli, kuten nimensä viittaa, on algebrallinen rakenne, joka koostuu kahdesta termistä.

Joitakin esimerkkejä binomimaaleista ovat: (a + b), (3m - n) ja (5x - y). Ja niiden vastaavat konjugoidut binomit ovat: (a - b), (-3m - n) ja (5x + y). Kuten heti voidaan nähdä, ero on merkissä.

Kuva 1. Binomiaali ja sen konjugoitu binoomi. Heillä on samat termit, mutta merkit eroavat toisistaan. Lähde: F. Zapata.

Konjugoidulla kerralla tuotettu binomi johtaa merkittävään tuotteeseen, jota käytetään laajalti algebralla ja tieteessä. Kertomuksen tuloksena on neliöiden vähentäminen alkuperäisen binomiaalin ehdoista.

Esimerkiksi (x - y) on binomi ja sen konjugaatti on (x + y). Joten kahden binomiaalin tulos on erosten neliöiden ero:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kuinka ratkaista konjugaatin binomi?

Konjugoitujen binomien ilmoitettu sääntö on seuraava:

Sovellusesimerkkinä aloitamme demonstroimalla edellisen tuloksen, joka voidaan tehdä käyttämällä tuotteen jakautuvaa ominaisuutta algebrallisen summan suhteen.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - vv

Yllä oleva kertolasku saatiin seuraavilla vaiheilla:

- Ensimmäisen binomiaalin ensimmäinen termi kerrotaan toisen ensimmäisen termillä

- Sitten ensimmäinen ensimmäisestä, toisen toiseksi

- Sitten toinen ensimmäisestä ensimmäisen toisen jälkeen

- Viimeiseksi toinen ensimmäisestä toisen jälkeen toinen.

Nyt tehdään pieni muutos kommutatiivisella ominaisuudella: yx = xy. Se näyttää tältä:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - vv

Koska on olemassa kaksi yhtäläistä termiä, mutta vastakkaisesta merkistä (korostettu värillä ja alleviivattu), ne peruutetaan ja sitä yksinkertaistetaan:

(x - y) (x + y) = xx - vv

Lopuksi sovelletaan, että luvun kertominen itsessään on yhtä suuri kuin sen nostaminen neliölle siten, että xx = x ² ja myös yy = y ².

Tällä tavalla osoitetaan, mitä edellisessä osassa oli todettu, että summan ja sen eron tulo on neliöiden erotus:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kuva 2. Summa, jonka erotus on neliöiden ero. Lähde: F. Zapata.

esimerkit

- Eri lausekkeiden konjugoidut binomiaalit

Esimerkki 1

Etsi konjugaatti kohdasta (y ² - 3y).

Vastaus: (v ² + 3 v)

Esimerkki 2

Saada tuotteen (y ² - 3y) tuote ja sen konjugaatti.

Vastaus: (y ² - 3 v) (y ² + 3 v) = (y ²) ² - (3 v) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9 v ²

Esimerkki 3

Kehitä tuote (1 + 2a). (2a -1).

Vastaus: edellinen lauseke vastaa (2a + 1). (2a -1), eli se vastaa binomiaalin ja sen konjugaatin tuotetta.

Tiedetään, että binomiaalin tuote konjugoidulla binomiallaan on yhtä suuri kuin binomiaalin ehtojen neliöiden erotus:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Esimerkki 4

Kirjoita tuote (x + y + z) (x - y - z) neliöerona.

Vastaus: Voimme rinnastaa yllä olevat trinomiaalit konjugaatin binomimuotoon hyödyntämällä huolellisesti sulkuja ja hakasulkeita:

(x + y + z) (x - y - z) =

Tällä tavoin neliöeroja voidaan käyttää:

(x + y + z) (x - y - z) =. = X ² - (y + z) ²

Esimerkki 5

Laske tuote (m ² - m -1) (M ² + m -1) neliöerona.

Vastaus: edellinen lauseke on kahden trinoman tulos. Se on ensin kirjoitettava uudelleen kahden konjugoidun binomin tuotteeksi:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ^{2 -} 1 + m) =.

Käytämme sitä tosiasiaa, että binomiaalin tuote konjugaattinsa perusteella on sen termien neliöllinen ero, kuten on selitetty:

. = (m ² -1) ² - m ²

Harjoitukset

Kuten aina, aloitat yksinkertaisimmilla harjoituksilla ja lisäät sitten monimutkaisuuden tasoa.

- Harjoitus 1

Kirjoita (9 - ²) tuotteena.

Ratkaisu

Ensin kirjoitamme lausekkeen neliöerona, jotta voimme soveltaa sitä, mitä aiemmin selitettiin. Täten:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Seuraavaksi kerroimme, joka vastaa tämän neliöeron kirjoittamista tuotteena, kuten lausunnossa vaaditaan:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Harjoitus 2

Kerroin 16x ² - 9y ⁴.

Ratkaisu

Lausekkeen faktorointi tarkoittaa sen kirjoittamista tuotteeksi. Tässä tapauksessa on välttämätöntä kirjoittaa lauseke aiemmin uudelleen, jotta saadaan neliöero.

Tätä ei ole vaikea tehdä, koska tarkasti tarkasteltuna kaikki tekijät ovat täydelliset neliöt. Esimerkiksi 16 on neliön 4, 9 on neliö 3, ja ⁴ on neliön y ² ja x ² on x neliöön:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Sitten sovelletaan sitä, mitä jo tiedämme aikaisemmin: että neliöero on konjugoitujen binomiaalien tulos:

(4x) ^2- (3 ja ²) ² = (4x - 3 ja ²). (4x + 3 ja ²)

- Harjoitus 3

Kirjoita (a - b) binomiaalien tuotteeksi

Ratkaisu

Yllä oleva ero tulisi kirjoittaa neliöeroina

(√a) ² - (√b) ²

Sitten sovelletaan, että neliöiden ero on konjugoitujen binomiaalien tuote

(√a - √b) (√a + √b)

- Harjoitus 4

Yksi konjugoidun binomiaalin käyttökohteista on algebrallisten lausekkeiden rationalisointi. Tämä toimenpide koostuu fraktiomuotoisen lausekkeen nimittäjän juurten poistamisesta, mikä monissa tapauksissa helpottaa toimenpiteitä. Seuraavan lausekkeen rationalisoimiseksi pyydetään konjugoitua binomiaalia:

√ (2-x) /

Ratkaisu

Ensimmäinen asia on tunnistaa nimittäjän konjugaatin binomi:

Nyt kerrotaan alkuperäisen lausekkeen numeroija ja nimittäjä konjugaatin binomilla:

√ (2-x) / {.}

Edellisen lausekkeen nimittäjässä tunnistamme erotuksen tuloksen summalla, joka jo tiedämme vastaa binomiaalien neliöiden eroa:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Nimittäjän yksinkertaistaminen on:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nyt käsittelemme laskuria, jota varten sovellamme tuotteen jakeluomaisuutta summaan nähden:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Edellisessä lausekkeessa tunnustamme binomin (2-x) tuloksen sen konjugaatista, joka on huomattava tuote, joka on yhtä suuri kuin neliöiden erotus. Tällä tavalla saadaan lopulta järkeistetty ja yksinkertaistettu lauseke:

/ (1 - x)

- Harjoitus 5

Kehitetään seuraava tuote käyttämällä konjugaatin binomin ominaisuuksia:

Ratkaisu

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

Huomaavainen lukija on huomannut yleisen tekijän, joka on korostettu värillä.

Viitteet

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Toimituksellinen Cultural Venezolana SA
2. González J. Konjugoidut binomiharjoitukset. Palautettu osoitteesta: Academia.edu.
3. Matematiikan opettaja Alex. Huomattavia tuotteita. Palautettu osoitteesta youtube.com.
4. Math2me. Konjugoidut binomit / merkittävät tuotteet. Palautettu osoitteesta youtube.com.
5. Konjugoidut binomituotteet. Palautettu: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugoidut binomit. Palautettu osoitteesta: youtube.com.