MATEMAATTINEN ODOTUS: KAAVA, OMINAISUUDET, ESIMERKIT, HARJOITUS - DUDAS - 2025

Matemaattinen odotusarvo tai odotusarvo satunnaismuuttujan X, on merkitty E (X) ja on määritelty summana tuotteen todennäköisyyden välillä satunnainen tapahtuman arvon ja mainittu tapahtuma.

Matemaattisessa muodossa se ilmaistaan ​​seuraavasti:

Kuva 1. Matemaattisia odotuksia käytetään laajasti osakemarkkinoilla ja vakuutuksissa. Lähde: Pixabay.

Missä x _i on tapahtuman arvo ja P (x _i) sen tapahtuman todennäköisyys. Liittäminen ulottuu kaikkiin arvoihin, jotka X myöntää. Ja jos nämä ovat äärellisiä, ilmoitettu summa lähenee arvoon E (X), mutta jos summa ei konvergoitu, muuttujalla ei yksinkertaisesti ole odotettua arvoa.

Kun se on jatkuva muuttuja x, muuttujalla voi olla äärettömiä arvoja ja integraalit korvaavat yhteenvedot:

Tässä f (x) edustaa todennäköisyystiheysfunktiota.

Matemaattinen odotus (joka on painotettu keskiarvo) ei yleensä ole yhtä suuri kuin aritmeettinen keskiarvo tai keskiarvo, paitsi jos kyseessä on erilliset jakaumat, joissa jokainen tapahtuma on yhtä todennäköinen. Sitten, ja vasta sitten:

Missä n on mahdollisten arvojen lukumäärä.

Konsepti on erittäin hyödyllinen rahoitusmarkkinoilla ja vakuutusyhtiöissä, joilla varmuutta usein puuttuu, mutta todennäköisyyksiä on.

Matemaattisten odotusten ominaisuudet

Matemaattisten odotusten tärkeimmistä ominaisuuksista seuraavat seuraavat:

- Merkki: Jos X on positiivinen, niin E (X) on myös positiivinen.

- Vakion odotettu arvo: todellisen vakion k odotettu arvo on vakio.

- Lineaarisuus summassa: satunnaismuuttujan, joka on puolestaan ​​kahden muuttujan X ja Y summa, odotusten summa.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Kertominen vakiona: jos satunnaismuuttuja on muodossa kX, missä k on vakio (reaaliluku), se tulee ulos odotetun arvon ulkopuolella.

- Tuotteen odotettu arvo ja muuttujien välinen riippumattomuus: Jos satunnaismuuttuja on satunnaismuuttujien X ja Y tulos, jotka ovat riippumattomia, niin tuotteen odotettu arvo on odotettujen arvojen tulos.

Yleensä, jos Y = g (X):

- Järjestys odotetussa arvossa: jos X ≤ Y, niin:

Koska jokaisella niistä on odotetut arvot.

Vedonlyönnin matemaattinen odotus

Kun kuuluisa tähtitieteilijä Christian Huygens (1629-1695) ei tarkkaillut taivasta, hän omistautui muun muassa tutkimaan todennäköisyyttä uhkapeleissä. Se oli hän, joka esitteli matemaattisen toivon käsitteen hänen 1656-teoksessaan, jonka aiheena on uhkapelien perustelu.

Kuva 2. Christiaan Huygens (1629-1625) oli loistava ja monipuolinen tutkija, jolle olemme velkaa odotetun arvon käsitteen.

Huygens havaitsi, että vedot voidaan luokitella kolmella tavalla odotetun arvon perusteella:

-Pelit etuna: E (X)> 0

- Reilu vedot: E (X) = 0

-Peli epäedullisessa asemassa: E (X) <0

Ongelmana on, että uhkapelissä matemaattinen odotus ei ole aina helppo laskea. Ja kun pystyt, tulos on joskus pettymys niille, jotka ihmettelevät vedonlyöntiä vai eivät.

Yritetään yksinkertainen veto: päät tai hännät ja häviäjä maksaa 1 dollarin kahvin. Mikä on tämän vedon odotettu arvo?

No, pään vierittämisen todennäköisyys on ½, sama kuin hännä. Satunnaismuuttuja on voittaa 1 dollari tai menettää 1 dollari, voittoa merkitään + merkillä ja tappiota merkillä -.

Järjestämme tiedot taulukkoon:

Kerrotaan sarakkeiden arvot: 1. ½ = ½ ja (-1). ½ = -½ ja lopuksi tulokset lisätään. Summa on 0 ja se on reilu peli, jossa osallistujien ei odoteta voittavan eikä häviävän.

Ranskan ruletti ja arpajaiset ovat haittapelejä, joissa suurin osa vedonlyöjistä häviää. Myöhemmin ratkaistujen harjoitusten osiossa on hieman monimutkaisempi veto.

esimerkit

Tässä on muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä, joissa matemaattisen odotuksen käsite on intuitiivinen ja selventää käsitettä:

Esimerkki 1

Aloitamme kiertämällä rehellisen kuoleman. Mikä on käynnistyksen odotettu arvo? No, jos muotti on rehellinen ja siinä on 6 päätä, todennäköisyys, että jokin arvo (X = 1, 2, 3… 6) laskee, on 1/6, kuten tämä:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Kuva 3. Rehellisen muotin rullassa odotettu arvo ei ole mahdollinen arvo. Lähde: Pixabay.

Odotettu arvo on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin keskiarvo, koska jokaisella kasvolla on sama todennäköisyys tulla ulos. Mutta E (X) ei ole mahdollinen arvo, koska yksikään pää ei ole arvoinen 3,5. Tämä on täysin mahdollista joissain jakaumissa, vaikka tulos ei tässä tapauksessa auta panostajia.

Katsotaanpa toista esimerkkiä, jossa heitetään kaksi kolikkoa.

Esimerkki 2

Kaksi rehellistä kolikkoa heitetään ilmaan ja määrittelemme satunnaismuuttujan X rullattujen päiden lukumääräksi. Seuraavat tapahtumat voivat tapahtua:

-Päätä ei tule: 0 päätä, joka on yhtä kuin 2 pyrstöä.

-Se tulee ulos 1 pää ja 1 leima tai hännät.

- Kaksi kasvoja tulee ulos.

Olkoon C pää ja T sinetti, näitä tapahtumia kuvaava näytetila on seuraava:

S _m = {tiiviste; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Tapahtumien todennäköisyydet ovat:

P (X = 0) = P (T), P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C).P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C), P (C) = ½. ½ = ¼

Taulukko on rakennettu seuraavilla arvoilla:

Alussa annetun määritelmän mukaan matemaattinen odotus lasketaan seuraavasti:

Korvaavat arvot:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Tulosta tulkitaan seuraavasti: jos henkilöllä on tarpeeksi aikaa tehdä suuri määrä kokeita heittämällä kaksi kolikkoa, hänen odotetaan saavan pään jokaisessa heitossa.

Tiedämme kuitenkin, että julkaisut, joissa on 2 tarraa, ovat täysin mahdollisia.

Harjoitus ratkaistu

Kahden rehellisen kolikon heittämisessä tehdään seuraava veto: jos 2 päätä tulee ulos, voitat 3 dollaria, jos yksi pää tulee ulos, voitat yhden dollarin, mutta jos kaksi leimaa tulee ulos, sinun on maksettava 5 dollaria. Laske vedon odotettu voitto.

Kuva 4. Panoksesta riippuen matemaattinen odotus muuttuu, kun heitetään kaksi rehellistä kolikkoa. Lähde: Pixabay.

Ratkaisu

Satunnaismuuttuja X on arvot, jotka rahat ottavat panoksen ja todennäköisyydet laskettiin edellisessä esimerkissä, joten panostaulukko on:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Koska odotettu arvo on 0, tämä on reilu peli, joten vedonlyöjän ei odoteta voittavan eikä häviävän. Panosmäärät voidaan kuitenkin muuttaa, jotta vedosta tehdään tasoituspeli tai tasoituspeli.

Viitteet

1. Brase, C. 2009. Ymmärrettävät tilastot. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Johdanto satunnaismuuttujan odotetun arvon tai matemaattisen odotuksen käsitteeseen. Palautettu: personal.us.es.
3. Tilastot LibreTexts. Erillisten satunnaismuuttujien odotettu arvo. Palautettu osoitteesta: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Alkuperäiset tilastot. 11th. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Tieteen ja tekniikan todennäköisyys ja tilastot. 8. päivä. Painos. Pearson koulutus.