- Mitkä ovat mitat?
- Kolmiulotteinen tila
- Neljäs ulottuvuus ja aika
- Hyperkuution koordinaatit
- Hyperkuution avaaminen
- Viitteet
Hyperkuution on kuution ulottuvuus n. Nelidimensioisen hyperkuution erityistapausta kutsutaan tesseraktiksi. Hyperkuutio tai n-kuutio koostuu suorista segmenteistä, jotka kaikki ovat samanpituisia ja jotka ovat kohtisuorassa kärkinsä.
Ihmiset havaitsevat kolmiulotteisen tilan: leveyden, korkeuden ja syvyyden, mutta meille ei ole mahdollista visualisoida hyperkuutiota, jonka ulottuvuus on suurempi kuin 3.
Kuva 1. 0-kuutio on piste, jos tämä piste ulottuu suuntaan, jonka päässä etäisyys a muodostaa 1-kuution, jos tuo 1-kuutio ulottuu etäisyyden a kohtisuorassa suunnassa, meillä on 2-kuutio (alkaen sivut x – a), jos 2-kuutio ulottuu etäisyyteen a kohtisuorassa suunnassa, meillä on 3-kuutio. Lähde: F. Zapata.
Voimme korkeintaan tehdä projisioita siitä kolmiulotteisessa tilassa edustamaan sitä samalla tavalla kuin kuinka projisoimme kuution tasolle edustamaan sitä.
Mitat 0: ssa ainoa luku on piste, joten 0-kuutio on piste. 1-kuutio on suora segmentti, joka muodostuu siirtämällä pistettä yhteen suuntaan etäisyydellä a.
2-kuutio on puolestaan neliö. Se rakennetaan siirtämällä 1-kuutio (pituuden segmentti a) y-suuntaan, joka on kohtisuora x-suuntaan, etäisyyteen a.
3-kuutio on yleinen kuutio. Se on rakennettu neliöstä siirtämällä sitä kolmanteen suuntaan (z), joka on kohtisuorassa x- ja y-suuntiin, etäisyys a.
Kuva 2. 4-kuutio (tesserakti) on 3-kuution jatke ortogonaalisessa suunnassa kolmeen tavanomaiseen aluesuuntaan. Lähde: F. Zapata.
4-kuutio on tesseraktiikka, joka on rakennettu 3-kuutiosta, joka liikuttaa sitä kohtisuoraan, etäisyydellä a kohti neljättä ulottuvuutta (tai neljättä suuntaa), jota emme voi havaita.
Tesseraktilla on kaikki oikeat kulmat, siinä on 16 huippua ja kaikilla sen reunoilla (yhteensä 18) on sama pituus a.
Jos mitan n mukaisen n-kuution tai hyperkuution reunojen pituus on 1, niin se on yksikköhyperkuutio, jonka pisin diagonaali on √n.
Kuvio 3. N-kuutio saadaan (n-1) -kuutiosta, joka jatkaa sitä ortogonaalisesti seuraavassa ulottuvuudessa. Lähde: wikimedia commons.
Mitkä ovat mitat?
Mitat ovat vapauden asteita tai mahdollisia suunnoja, joihin esine voi liikkua.
Mitat 0 ei ole mahdollista kääntää ja ainoa mahdollinen geometrinen kohde on piste.
Mitta euklidisessa avaruudessa esitetään suunnatulla viivalla tai akselilla, joka määrittelee sen ulottuvuuden, kutsutaan X-akseliksi. Kahden pisteen A ja B välinen etäisyys on euklidinen etäisyys:
d = √.
Kahdessa ulottuvuudessa tilaa edustaa kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraan suuntautuvaa viivaa, joita kutsutaan X-akseliksi ja Y-akseliksi.
Minkä tahansa pisteen sijainti tässä kaksiulotteisessa tilassa annetaan sen Cartesian-koordinaattien parilla (x, y), ja etäisyys minkä tahansa kahden pisteen A ja B välillä on:
d = √
Koska se on tila, jossa Euclidin geometria täyttyy.
Kolmiulotteinen tila
Kolmiulotteinen tila on tila, jossa liikumme. Sillä on kolme suuntaa: leveys, korkeus ja syvyys.
Tyhjässä tilassa kohtisuorat kulmat antavat nämä kolme suuntaa ja jokaiselle voidaan yhdistää akseli: X, Y, Z.
Tämä tila on myös euklidinen ja kahden pisteen A ja B välinen etäisyys lasketaan seuraavasti:
d = √
Ihmiset eivät voi havaita enempää kuin kolmea alueellista (tai euklidista) ulottuvuutta.
Tiukasti matemaattisesta näkökulmasta on kuitenkin mahdollista määritellä n-ulotteinen euklidinen avaruus.
Tässä tilassa pisteellä on koordinaatit: (x1, x2, x3,….., xn) ja kahden pisteen välinen etäisyys on:
d = √.
Neljäs ulottuvuus ja aika
Itse asiassa suhteellisuusteoriassa aikaa käsitellään yhtenä dimensiona ja siihen liitetään koordinaatti.
Mutta on selvennettävä, että tämä ajankohtaan liittyvä koordinaatti on kuvitteellinen luku. Siksi kahden pisteen tai tapahtuman erottelu avaruusajassa ei ole euklidinen, vaan noudattaa pikemminkin Lorentzin metriikkaa.
Nelidimensioinen hyperkuutio (tesseraktii) ei asu avaruus-ajassa, se kuuluu nelidimensioiseen Euklidisen hyper avaruuden alueeseen.
Kuva 4. Kolmiulotteisen hyperkuution 3D-projektio yksinkertaisella pyörimisellä tason ympäri, joka jakaa kuvan edestä vasemmalle, taakse oikealle ja ylhäältä alas. Lähde: Wikimedia Commons.
Hyperkuution koordinaatit
Alkuperään keskittyneen n-kuution kärkien koordinaatit saadaan tekemällä seuraavan lausekkeen kaikki mahdolliset permutaatiot:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Missä a on reunan pituus.
-A -reunan n-kuution tilavuus on: (a / 2) n (2 n) = a n.
- Pisin diagonaali on etäisyys vastakkaisten kärkien välillä.
-Seuraavat ovat neliön vastakkaisia huippuja: (-1, -1) ja (+1, +1).
-Ja kuutiossa: (-1, -1, -1) ja (+1, +1, +1).
-N -kuution pisin diagonaali on:
d = √ = √ = 2√n
Tässä tapauksessa sivun oletetaan olevan a = 2. N-kuution sivulle mihin tahansa se tulee olemaan:
d = a√n.
- Tesseraktissa on jokainen sen 16 kärjestä kytketty neljään reunaan. Seuraava kuva näyttää kuinka tiput on kytketty esitteeseen.
Kuva 5. Nelitulotteisen hyperkuution 16 kärkeä ja niiden kytkentätapa esitetään. Lähde: Wikimedia Commons.
Hyperkuution avaaminen
Säännöllinen geometrinen hahmo, esimerkiksi polyhedron, voidaan avata useiksi pienemmän ulottuvuuden kuvioiksi.
2-kuution (neliön) tapauksessa se voidaan jakaa neljään segmenttiin, eli neljään 1-kuutioon.
Samoin 3-kuutio voidaan taittaa kuuteen 2-kuutioon.
Kuva 6. n-kuutio voidaan taittaa useisiin (n-1) -kuutioihin. Lähde: Wikimedia Commons.
4-kuutio (tesserakti) voidaan taittaa kahdeksaan 3-kuutioon.
Seuraava animaatio näyttää teakraktin avautumisen.
Kuva 7. 4-ulotteinen hyperkuutio voidaan avata kahdeksaksi kolmiulotteiseksi kuutioksi. Lähde: Wikimedia Commons.
Kuva 8. Kolmiulotteinen projektio nelisuuntaisesta hyperkuutiosta, joka suorittaa kaksinkertaisen pyörimisen kahden ortogonaalisen tason ympäri. Lähde: Wikimedia Commons.
Viitteet
- Tieteellinen kulttuuri. Hypercube, visualisoimalla neljäs ulottuvuus. Palautettu osoitteesta: culturac Scientifica.com
- Epsilonit. Nelidimensioinen hyperkuutio tai tesserakti. Palautettu osoitteesta: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Menetelmä esineen saamiseksi hyperkuution (4D) kehittämisestä. Palautettu osoitteesta: researchgate.net
- Wikikirjasto. Matematiikka, Polyhedra, Hypercubes. Palautettu osoitteesta: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com