RATIONAALILUVUT: OMINAISUUDET, ESIMERKIT JA TOIMINNOT - MATEMATIIKKA - 2026

Järkevä numerot ovat numeroita voidaan saada jako kahden kokonaisluvun. Esimerkkejä rationaalisista numeroista ovat: 3/4, 8/5, -16/3 ja ne, jotka esiintyvät seuraavassa kuvassa. Ratsionaalilukussa osamäärä on osoitettu, ja se voidaan tarvittaessa tehdä myöhemmin.

Kuvio edustaa mitä tahansa pyöreää esinettä mukavuuden lisäämiseksi. Jos haluamme jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan, kuten oikealla, meillä on kaksi puolikkaata jäljellä ja jokaisen arvo on 1/2.

Kuva 1. Järkeviä numeroita käytetään jakamaan kokonaisuus useisiin osiin. Lähde: Freesvg.

Jakamalla se neljään yhtä suureen osaan, saamme 4 kappaletta ja jokaisen arvo on 1/4, kuten keskellä olevassa kuvassa. Ja jos se on jaettava 6 yhtä suureen osaan, jokaisen osan arvo olisi 1/6, jonka näemme vasemmalla olevassa kuvassa.

Tietysti voimme myös jakaa sen kahteen epätasa-arvoiseen osaan, esimerkiksi voisimme pitää 3/4 osaa ja säästää 1/4 osaa. Muut jaot ovat myös mahdollisia, kuten 4/6 osaa ja 2/6 osaa. Tärkeää on, että kaikkien osien summa on 1.

Tällä tavoin on selvää, että rationaalisten lukujen avulla voit jakaa, laskea ja jakaa asioita, kuten ruokaa, rahaa, maata ja kaikenlaisia ​​esineitä fraktioina. Ja siten numeroilla suoritettavien toimintojen määrä kasvaa.

Rationaaliluvut voidaan ilmaista myös desimaalimuodossa, kuten seuraavista esimerkeistä voidaan nähdä:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Myöhemmin osoitamme kuinka siirtyä lomakkeesta toiseen esimerkkeinä.

Rationaalilukujen ominaisuudet

Rational-numeroilla, joiden joukkoa merkitsemme kirjaimella Q, on seuraavat ominaisuudet:

-Q sisältää luonnolliset numerot N ja kokonaisluvut Z.

Kun otetaan huomioon, että mikä tahansa luku a voidaan ilmaista osuutena itsensä ja 1: n välillä, on helppo nähdä, että rationaalilukuissa on myös luonnollisia lukuja ja kokonaislukuja.

Siten luonnollinen luku 3 voidaan kirjoittaa murtona ja myös -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Tällä tavoin Q on numeerinen joukko, joka sisältää suuremman määrän numeroita, mikä on erittäin välttämätöntä, koska "pyöreät" numerot eivät riitä kuvaamaan kaikkia mahdollisia tehtäviä.

-Rationaaliset numerot voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa operaation tuloksena rationaaliluku: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Jokaisen rationaalilukuparin välillä voidaan aina löytää toinen rationaaliluku. Itse asiassa kahden rationaalisen numeron välillä on ääretön rationaaliluku.

Esimerkiksi rationaalien 1/4 ja 1/2 välillä ovat rationaalit 3/10, 7/20, 2/5 (ja monet muut), jotka voidaan tarkistaa ilmaisemalla ne desimaalina.

- Jokainen rationaalinen luku voidaan ilmaista seuraavasti: i) kokonaisluku tai ii) rajoitettu (tiukka) tai jaksollinen desimaali: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,166666666 ……

-Sama luku voidaan edustaa äärettömillä ekvivalentteilla murto-osilla ja ne kaikki kuuluvat Q: seen. Katsotaanpa tätä ryhmää:

Ne kaikki edustavat desimaalia 0.428571…

- Kaikista samanarvoisista fraktioista, jotka edustavat samaa lukua, pelkistämätön fraktio, yksinkertaisin kaikista, on kyseisen luvun kaanoninen edustaja. Yllä olevan esimerkin kanoninen edustaja on 3/7.

Kuva 2. - rationaalilukujen joukko Q. Lähde: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Esimerkkejä rationaalisista numeroista

-Operatiiviset fraktiot, joissa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä:

-Eiömättömät fraktiot, joiden osoittaja on suurempi kuin nimittäjä:

-Luonnolliset numerot ja kokonaislukut:

-Ekvivalentit fraktiot:

Rationaalisen luvun desimaalikuva

Kun osoitin jaetaan nimittäjällä, rationaaliluvun desimaalimuoto saadaan. Esimerkiksi:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

6/11 = 0,545454…

Kahdessa ensimmäisessä esimerkissä desimaalien määrä on rajoitettu. Tämä tarkoittaa, että kun jako tehdään, lopullinen 0 saadaan.

Toisaalta seuraavissa kahdessa desimaalien määrä on ääretön ja siksi ellipsit sijoitetaan. Jälkimmäisessä tapauksessa desimaalissa on kuvio. Jakeen 1/9 tapauksessa luku 1 toistetaan määräämättömästi, kun taas 6/11 se on 54.

Kun tämä tapahtuu, desimaalin sanotaan olevan jaksollista, ja sitä merkitään caretilla seuraavasti:

Muuta desimaali murto-osaksi

Jos se on rajoitettu desimaali, pilkku poistetaan yksinkertaisesti ja nimittäjästä tulee yksikkö, jota seuraa niin monta nollaa kuin desimaalin tarkkuudella. Esimerkiksi, jos haluat muuttaa desimaalin 1,26 murto-osaksi, kirjoita se seuraavasti:

1,26 = 126/100

Sitten tuloksena oleva fraktio yksinkertaistetaan maksimiin:

126/100 = 63/50

Jos desimaali on rajoittamaton, jakso tunnistetaan ensin. Sitten seuraa näitä vaiheita tuloksena olevan fraktion löytämiseksi:

-Numeroija on vähennys numeron (ilman pilkkua tai caretia) ja sen osan välillä, jolla ei ole caret-numeroa.

- Nimittäjä on kokonaisluku, jolla on niin monta 9, että ympyrän ympäri on lukuja, ja niin monta 0, kuin desimaalin tarkkuudella on lukuja, jotka eivät ole kehän ympyrän alapuolella.

Seuraavaksi muutetaan desimaaliluku 0.428428428… murto-osaksi.

- Ensin jakso tunnistetaan, joka on toistuva sekvenssi: 428.

-Sen jälkeen numero vähennetään ilman pilkkua tai aksenttiä: 0428 siitä osasta, jolla ei ole ympyränjousta, joka on 0. Se on siis 428 - 0 = 428.

-Nimittäjä on rakennettu tietäen, että kehän ympäri on 3 kuvaa ja kaikki ovat ympyrän ympäri. Siksi nimittäjä on 999.

- Viime kädessä fraktio muodostetaan ja yksinkertaistetaan mahdollisuuksien mukaan:

0,428 = 428/999

Enemmän yksinkertaistamista ei ole mahdollista.

Operaatiot järkevillä numeroilla

- Lisää ja vähennä

Fragmentit, joissa on sama nimittäjä

Kun fraktioilla on sama nimittäjä, niiden lisääminen ja / tai vähentäminen on erittäin helppoa, koska osoittimet lisätään yksinkertaisesti algebralla, jättäen samat lisäykset kuin tuloksen nimittäjä. Lopuksi, jos mahdollista, sitä yksinkertaistetaan.

esimerkki

Suorita seuraava algebrallinen lisäys ja yksinkertaista tulosta:

Tuloksena oleva fraktio on jo pelkistämätön.

Jakeet eri nimittäjillä

Tässä tapauksessa lisäykset korvataan vastaavilla fraktioilla, joilla on sama nimittäjä, ja sitten noudatetaan jo kuvattua menettelyä.

esimerkki

Lisää algebrallisesti seuraavat rationaaliluvut yksinkertaistamalla tulosta:

Vaiheet ovat:

-Määritä nimittäjien 5, 8 ja 3 vähiten yleinen monikerta (lcm):

lcm (5,8,3) = 120

Tämä on tuloksena olevan murto-osan nimittäjä yksinkertaistamatta.

-Kullekin fraktiolle: jaa LCM nimittäjällä ja kerro osoittajalla. Tämän operaation tulos asetetaan vastaavalla merkinnällä murtolukijaan. Tällä tavalla saadaan alkuperäistä vastaava fraktio, mutta nimittäjänä LCM.

Esimerkiksi ensimmäistä fraktiota varten osoitin on rakennettu seuraavasti: (120/5) x 4 = 96 ja saamme:

Jatka samalla tavalla muille fraktioille:

Lopuksi ekvivalentit fraktiot korvataan unohtamatta niiden merkkiä ja lasketaan laskurien algebrallinen summa:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Kertominen ja jakaminen

Kertominen ja jakaminen tapahtuu seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Kuva 3. Säännöt kertolaskujen kertomiseksi ja jakamiseksi. Lähde: F. Zapata.

Joka tapauksessa on tärkeää muistaa, että kertolasku on kommutatiivinen, mikä tarkoittaa, että tekijöiden järjestys ei muuta tuotetta. Näin ei tapahdu jakamisen yhteydessä, joten osinkojen jakojen jakojen välistä järjestystä on noudatettava huolellisesti.

Esimerkki 1

Suorita seuraavat toimenpiteet ja yksinkertaista tulosta:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4 / 5) ÷ (2/9)

Vastaa

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Vastaus b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Esimerkki 2

Luisalla oli 45 dollaria. Hän vietti siitä kymmenesosan kirjan ostamalla ja 2/5 t-paidasta jäljelle jääneestä. Kuinka paljon rahaa Luisalta on jäljellä? Tulos ilmaistaan ​​pelkistymättömänä fraktiona.

Ratkaisu

Kirja maksoi (1/10) x 45 dollaria = 0,1 x 45 dollaria = 4,5 dollaria

Siksi Luisalla oli:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Rahalla Luisa meni vaatekauppaan ja osti paidan, jonka hinta on:

(2/5) x 40,5 dollaria = 16,2 dollaria

Nyt Luisa on portfoliossa:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Jotta ilmaista se murto-osana, se kirjoitetaan seuraavasti:

24,3 = 243/10

Se on peruuttamatonta.

Viitteet

1. Baldor, A. 1986. Aritmeettinen. Painos ja jakelu Codex.
2. Carena, M. 2019. Matematiikan käsikirja. Litoralin kansallinen yliopisto.
3. Figuera, J. 2000. Matematiikka 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Rationaaliset numerot. Palautettu: Cimanet.uoc.edu.
6. Järkevät numerot. Palautettu osoitteesta: webdelprofesor.ula.ve.