SCALENE-TRAPETSOIDI: OMINAISUUDET, KAAVAT JA YHTÄLÖT, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Scalenus puolisuunnikas on monikulmio, jossa on neljä sivua, joista kaksi on rinnakkain toisiinsa, ja johon kuuluu neljä sisäkulmat eri toimenpiteitä.

Nelikulmainen ABCD on esitetty alla, missä sivut AB ja DC ovat yhdensuuntaiset. Tämä riittää, että se on trapezoidi, mutta myös sisäkulmat α, β, γ ja δ ovat kaikki erilaisia, joten trapetsi on skaleeni.

Kuva 1. Neliskulmainen ABCD on trapetsoidi olosuhteista 1 ja skaleeni olosuhteista 2. Lähde: F. Zapata.

Scale-trapetsin elementit

Tässä ovat tyypillisimmät elementit:

-Pohjat ja sivut: Trapetsoidin yhdensuuntaiset sivut ovat sen kantoja ja kaksi ei-yhdensuuntaista puolta ovat sivuja.

Mittakaavassa trapetsoidissa pohjat ovat eripituisia ja myös sivuttaisia. Mitoitetulla trapetsoidilla voi kuitenkin olla sivupituus, joka on yhtä suuri kuin pohja.

-Median: on segmentti, joka yhdistää sivupisteiden keskipisteet.

-Diagonaalit: puolisuunnikkaan diagonaali on segmentti, joka yhdistää kaksi vastakkaista kärkeä. Trapetsiolla, kuten kaikilla nelikulmioilla, on kaksi diagonaalia. Skaalan trapetsoidissa ne ovat eripituisia.

Muut trapetsoidit

Mittakaavan trapetsoidin lisäksi on olemassa myös muita erityisiä trapezoideja: oikea trapezoidi ja tasakylkinen trapezoidi.

Trapetsoidi on suorakulmio, kun yksi sen kulmista on oikea, kun taas tasakirkasen puolisuunnikkaan sivuilla on yhtä pitkä pituus.

Trapetsimuotoisella muodolla on lukuisia sovelluksia suunnittelu- ja teollisuustasolla, kuten lentokoneiden siipien kokoonpanossa, jokapäiväisten esineiden, kuten pöydien, tuolien selkäosan, pakkausten, kukkarojen, tekstiilikuvien ja muun muodon muodossa.

Kuva 2. Trapetsimuotoinen muoto on yleinen lentokoneiden siipikokoonpanossa. Lähde: Wikimedia Commons.

ominaisuudet

Skaalan trapetsoidin ominaisuudet on lueteltu alla, joista monet ulottuvat muun tyyppisiin trapetsoideihin. Seuraavaksi, kun puhutaan "puolisuunnikkaasta", ominaisuutta sovelletaan mihin tahansa tyyppiin, mukaan lukien skaleeni.

1. Trapezoidin mediaani, toisin sanoen segmentti, joka liittyy sen ei-rinnakkaisten puolien keskipisteisiin, on yhdensuuntainen minkä tahansa kannan kanssa.

2.- Trapezoidin mediaanilla on pituus, joka on sen emästen puoliväli ja leikaa sen diagonaalit keskipisteessä.

3.- Trapetsoidin diagonaalit leikkaavat pisteessä, joka jakaa ne kahteen osaan, jotka ovat verrannollisia emästen osiin.

4.- Trapetsoidin diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa plus sen emästen kaksinkertainen summa.

5.- Segmentin, joka yhdistää diagonaalien keskipisteet, pituus on yhtä suuri kuin emästen puoliero.

6.- Sivukulmien vieressä olevat kulmat ovat ylimääräisiä.

7.- Mittakaavassa trapetsoidissa sen diagonaalien pituudet ovat erilaisia.

8. Trapetsoidilla on merkitty kehä vain, jos sen emästen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.

9.- Jos puolisuunnikkaalla on piirretty kehä, kulma kärjen kanssa, joka on mainitun kehän keskellä ja puolilla, jotka kulkevat puolisuunnikkaan puolisuunnassa, on suora.

10.- Mittakaavassa trapetsoidilla ei ole ympyränmuotoista kehää, ainoa trapetsityyppi, joka tekee, on tasakalkoinen.

Kaavat ja yhtälöt

Seuraaviin mittakaavan trapetsoidien suhteisiin viitataan seuraavassa kuvassa.

1.- Jos AE = ED ja BF = FC → EF - AB ja EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, joka on: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 ja AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) samalla tavalla CJ / JA = (c / a).

Kuva 3. Mittakaavan trapetsian mediaani ja diagonaalit. Lähde: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

vastaavasti:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Tarkoittaen:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ ja p + y = 180⁰

8.- Jos α ≠ β ≠ γ ≠ δ, niin d1 ≠ d2.

9.- Kuvio 4 esittää mittakaavan trapetsoidia, jolla on merkitty kehä, tässä tapauksessa on totta, että:

a + c = d + b

10.- Mittakaavassa trapetsoidissa ABCD, jonka ympärysmitta on merkitty O-keskukselle, pätee myös seuraava:

AOD = ∡BOC = 90⁰

Kuva 4. Jos puolisuunnikkaassa on varmennettu, että sen emästen summa on yhtä suuri kuin sivuttaisten summa, niin siihen on merkitty kehä. Lähde: F. Zapata.

Korkeus

Trapetsoidin korkeus määritellään segmentiksi, joka kulkee tukikohdan kohdalta kohtisuorassa vastakkaiselle pohjalle (tai sen jatkeelle).

Kaikilla puolisuunnikkaan korkeuksilla on sama mittaus h, joten sanakorkeus viittaa suurimmaksi osaksi sen mittaukseen. Lyhyesti sanottuna, korkeus on etäisyys tai etäisyys emästen välillä.

Korkeus h voidaan määrittää tietämällä yhden sivun ja yhden sivun vieressä olevien kulmien pituus:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediaani

Trapezoidin mediaanin mitta m on emästen puolisumma:

m = (a + b) / 2

diagonals

d ₁ = √

d ₂ = √

Se voidaan myös laskea, jos tiedetään vain trapetsoidin sivujen pituus:

d ₁ = √

d ₂ = √

kehä

Kehä on muodon kokonaispituus, toisin sanoen kaikkien sen sivujen summa:

P = a + b + c + d

alue

Trapetsoidin pinta-ala on sen pohjien puoliväli kerrottuna sen korkeudella:

A = h ∙ (a + b) / 2

Se voidaan myös laskea, jos mediaani m tunnetaan ja korkeus h:

A = m ∙ h

Jos tiedetään vain puolisuunnikkaan puolisuunnat, pinta-ala voidaan määrittää käyttämällä Heronin kaavaa trapetsoidille:

A = ∙ √

Missä s on puoliperimetri: s = (a + b + c + d) / 2.

Muut mittasuhteen trapetsiumin suhteet

Mediaanin leikkaus diagonaalien kanssa ja suunta, joka kulkee diagonaalien leikkauksen läpi, synnyttää muita suhteita.

Kuva 5. Muut mittakaavan trapezumin suhteet. Lähde: F. Zapata.

-Suhteet median EF: lle

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- Suhteet segmenteille, jotka ovat rinnakkaisia ​​pohjien KL kanssa ja kulkevat diagonaalien leikkauspisteen J kautta

Jos KL - AB - DC, jossa J ∈ KL, niin KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Mittakaavan trapetsin rakenne viivaimella ja kompassilla

Pituuksien a ja c perusteella, kun a> cy pituuksien b ja d sivuilla, joissa b> d, jatketaan seuraavilla vaiheilla (katso kuva 6):

1.- Säännöllä piirretään suurimman AB-segmentti.

2.- Aseasta ja merkitse AB pisteeseen P siten, että AP = c.

3.- Kun kompassi on keskellä P ja säde d, piirretään kaari.

4.- B-pisteeseen tehdään keskipiste sädeellä b, joka piirtää kaaren, joka katkaisee edellisessä vaiheessa piirretyn kaaren. Kutsumme Q: ta leikkauspisteeksi.

Kuva 6. Mittakaavan trapezoidin rakenne sen sivujen suhteen. Lähde: F. Zapata.

5.- Kun keskitys on pisteessä A, piirrä sädekaari d.

6.- Kun keskipiste on Q, piirrä sädekaari c, joka katkaisee edellisessä vaiheessa piirretyn kaaren. Rajapistettä kutsutaan R.

7.- Segmentit BQ, QR ja RA piirretään viivaimen avulla.

8.- Nelikulmainen ABQR on mittakaavan trapezoidi, koska APQR on suuntakaavio, joka takaa, että AB - QR.

esimerkki

Seuraavat pituudet ilmoitetaan senttimereinä: 7, 3, 4 ja 6.

a) Selvitä, onko heidän kanssaan mahdollista rakentaa mittakaavainen trapetsi, joka piirtää ympyrän.

b) Etsi mainitun puolisuunnikkaan kehä, pinta-ala, diagonaalien pituus ja korkeus sekä merkityn ympyrän säde.

- Ratkaisu

Käyttämällä pohjina 7 ja 3 segmenttejä ja sivuina pituuksia 4 ja 6, voidaan rakentaa mittakaavan trapezoidi käyttämällä edellisessä osassa kuvattua menettelytapaa.

On vielä tarkistaa, onko siinä merkitty kehä, mutta muista omaisuus (9):

Näemme sen tehokkaasti:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Silloin merkityn kehän olemassaoloedellytys täyttyy.

- Ratkaisu b

kehä

Kehä P saadaan lisäämällä sivut. Koska emäksiä on jopa 10 ja sivuttaisiakin, kehä on:

P = 20 cm

alue

Alue, jolla tunnetaan vain sen sivut, määritetään suhteella:

A = ∙ √

Missä s on puoliperimetri:

s = (a + b + c + d) / 2.

Meidän tapauksessamme puolilämpömittari kannattaa s = 10 cm. Kun vastaavat arvot on korvattu:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Jäännökset:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Korkeus

Korkeus h liittyy alueeseen A seuraavalla lausekkeella:

A = (a + c) ∙ h / 2, josta korkeus voidaan saada aikaan raivaamalla:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Merkitty ympyrän säde

Merkityn ympyrän säde on yhtä suuri kuin puoli korkeutta:

r = h / 2 = 1,984 cm

diagonals

Lopuksi löydämme diagonaalien pituuden:

d ₁ = √

d ₂ = √

Korvaa meillä olevat arvot oikein:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Että on: d ₁ = 4,69 cm ja d ₂ = 8,49 cm

Kuva 7. Scalene-trapetsoidi, joka täyttää piirretyn kehän olemassaoloedellytykset. Lähde: F. Zapata.

Harjoitus ratkaistu

Määritä trapetsoidun sisäkulmat emäksillä AB = a = 7, CD = c = 3 ja sivukulmilla BC = b = 6, DA = d = 4.

Ratkaisu

Kosinuslause voidaan soveltaa kulmien määrittämiseen. Esimerkiksi kulma ∠A = α määritetään kolmiosta ABD, kun AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 ja DA = d = 4.

Tähän kolmioon sovellettu kosinuslause näyttää tältä:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), eli:

72 = 49 + 16 - 56 ° C (a).

Ratkaisuna saadaan kulman α kosinus:

Cos (a) = -1/8

Toisin sanoen, a = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Muut kulmat saadaan samalla tavalla, niiden arvot ovat:

p = 41,41⁰; y = 138,59⁰ ja lopuksi 8 = 82,82⁰.

Viitteet

1. CEA (2003). Geometriaelementit: harjoituksilla ja kompassigeometrialla. Medellinin yliopisto.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Tutustu monikulmioihin. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Yleistyneet monikulmiot. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
6. Jr. geometria. (2014). Polygoneja. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ja Hornsby. (2006). Matematiikka: päättely ja sovellukset (kymmenes painos). Pearson koulutus.
8. Patiño, M. (2006). Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
9. Wikipedia. Trapetsi. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com