DISKREETTI FOURIER-MUUNNOS: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Diskreetti Fourier-muunnos on numeerinen menetelmä määrittää näytteiden viitataan spektrin taajuudet, jotka muodostavat signaalin. Se tutkii jaksollisia toimintoja suljetuissa parametreissa antaen tuloksena toisen erillisen signaalin.

N-pisteiden diskreetin Fourier-muunnoksen saamiseksi erillisellä signaalilla seuraavan 2 edellytyksen on täytyttävä sekvenssissä x

TDF

Diskreetti Fourier-muunnos voidaan määritellä N-pisteinäytteeksi Fourier-muunnosta.

Diskreetin Fourier-muunnoksen tulkinta

Lähde: Pexels

On 2 näkökulmia, josta saadut tulokset on sekvenssi x _t voidaan tulkita läpi diskreetti Fourier-muunnos.

- Ensimmäinen vastaa spektrikertoimia, jotka tunnetaan jo Fourier-sarjasta. Se on havaittu diskreetti määräajoin signaaleja, näytteet samaan aikaan sekvenssi x _s.

-Toinen käsittelee diskreetin aperiodisen signaalin spektrin näytteillä, jotka vastaavat sekvenssiä x _s.

Diskreetti muunnos on likimääräisyys alkuperäisen analogisen signaalin spektriin. Sen vaihe riippuu näytteenottohetkestä, kun taas sen suuruus riippuu näytteenottovälistä.

ominaisuudet

Rakenteen algebralliset perusteet muodostavat perustelun seuraaville osille.

lineaarisuus

C. S _n → C. F; Jos sekvenssi kerrotaan skalaarilla, myös sen muunnos on.

T _n + V _n = F + F; Summan muunnos on yhtä suuri kuin muunnosten summa.

kaksinaisuus

F → (1 / N) S-k _; Jos diskreetti Fourier-muunnos lasketaan uudelleen lausekkeeseen, joka on jo muunnettu, saadaan sama lauseke, skaalataan N: ksi ja käännetään pystyakselin suhteen.

poimu

Tavoittamalla samanlaisia ​​tavoitteita kuin Laplazin muunnos, funktioiden konvoluutio viittaa tuotteeseen niiden Fourier-muunnosten välillä. Konvoluutio koskee myös erillisiä aikoja ja vastaa monista nykyaikaisista menettelytavoista.

X _n * R _n → F.f; Konvoluution muunnos on yhtä suuri kuin muunnosten tuote.

X _n. R _n → F * F; Tuotteen muunnos on yhtä suuri kuin muunnosten konvoluutio.

siirtymä

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Jos sekvenssi viivästyy m näytteellä, sen vaikutus diskreettiin muunnokseen on (2π / N) km: n määrittämän kulman modifikaatio.

Symmetria

X _t = X * _t = X _t

modulaatio

W ^-nm _N. x ↔ X _t

Tuote

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symmetria

X ↔ X _t = X * _t

konjugaatti

x * ↔ X * _t

Parseval-yhtälö

Perinteisen Fourier-muunnoksen suhteen sillä on useita yhtäläisyyksiä ja eroja. Fourier-muunnos muuntaa sekvenssin yhtenäiseksi viivaksi. Tällä tavalla sanotaan, että Fourier-muuttujan tulos on reaalimuuttujan monimutkainen funktio.

Diskreetti Fourier-muunnos, toisin kuin, vastaanottaa erillisen signaalin ja muuntaa sen toiseksi erilliseksi signaaliksi, ts. Sekvenssiksi.

Mihin diskreetti Fourier-muunnos on?

Ne palvelevat ensisijaisesti yhtälöiden huomattavaa yksinkertaistamista muuttaen johdetut lausekkeet voimaelementeiksi. Erilausekkeiden merkitseminen integroitavissa polynomisissa muodoissa.

Tulosten optimoinnissa, moduloinnissa ja mallinnuksessa se toimii standardoiduna ilmaisuna, sillä se on usein resurssi suunnittelulle useiden sukupolvien jälkeen.

Lähde: pixabay

Historia

Tämän matemaattisen käsitteen esitteli Joseph B. Fourier vuonna 1811 kehittäessään tutkielmaa lämmön leviämisestä. Eri tieteen ja tekniikan aloilla se hyväksyttiin nopeasti.

Se otettiin käyttöön päätyökaluna osajohdannaisten yhtälöiden tutkimisessa, jopa vertaamalla sitä olemassa olevaan työsuhteeseen Laplace-muunnoksen ja tavallisten differentiaaliyhtälöiden välillä.

Jokaisen toiminnon, jota voidaan käyttää Fourier-muunnoksella, tulee olla nolla määritellyn parametrin ulkopuolella.

Diskreetti Fourier-muunnos ja sen käänteinen

Diskreetti muunnos saadaan lausekkeella:

Annettuaan erillinen sekvenssi X

Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteinen arvo määritetään lausekkeella:

Käänteinen voimanotto

Kun diskreetti muunnos on saavutettu, se sallii sekvenssin määrittämisen aika-alueella X.

Siivekäs

Diskreettiä Fourier-muunnosta vastaava parametrisointiprosessi on ikkunassa. Jotta muunnos toimisi, meidän on rajoitettava sekvenssiä ajassa. Monissa tapauksissa kyseisillä signaaleilla ei ole näitä rajoituksia.

Sarja, joka ei täytä diskreettiin muunnokseen sovellettavia kokikriteerejä, voidaan kertoa "ikkuna" -toiminnolla V, joka määrittelee sekvenssin käyttäytymisen ohjatussa parametrissa.

X. V

Spektrin leveys riippuu ikkunan leveydestä. Kun ikkunan leveys kasvaa, laskettu muunnos on kapeampi.

Sovellukset

Perusratkaisun laskeminen

Diskreetti Fourier-muunnos on tehokas työkalu erillisten sekvenssien tutkimiseen.

Diskreetti Fourier-muunnos muuntaa jatkuvan muuttuvan funktion diskreetiksi muuttujamuunnokseksi.

Lämpöyhtälön Cauchy-ongelma edustaa diskreetin Fourier-muunnoksen usein soveltamiskenttää . Missä syntyy lämmön tai Dirichlet-ytimen ydintoiminto, joka koskee määritellyn parametrin näytteenottoarvoja.

Signaaliteoria

Yleinen syy erillisen Fourier-muunnoksen soveltamiseen tässä haarassa johtuu pääasiassa signaalin ominaishajoamisesta helpommin hoidettavien signaalien äärettömänä superpositiona.

Se voi olla ääni- tai sähkömagneettinen aalto, diskreetti Fourier-muunnos ilmaisee sen yksinkertaisten aaltojen superpositiona. Tämä esitys on melko yleinen sähkötekniikassa.

Fourier-sarja

Ne ovat sarjoja, jotka on määritelty kosiniinien ja siniinien avulla. Niiden avulla voidaan helpottaa työskentelyä yleisten jaksollisten toimintojen kanssa. Sovellettaessa ne ovat osa tekniikoita tavallisten ja osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Fourier-sarjat ovat jopa yleisempiä kuin Taylor-sarjat, koska ne kehittävät jaksottaisia ​​epäjatkuvia toimintoja, joissa ei ole Taylor-sarjan esitystä.

Muut Fourier-sarjan muodot

Jotta voimme ymmärtää Fourier-muunnoksen analyyttisesti, on tärkeää tarkastella muita tapoja, joilla Fourier-sarjat löytyvät, kunnes voimme määritellä Fourier-sarjan sen monimutkaisessa merkinnässä.

-Julkisarja sarjassa 2L: n funktiona:

Väli otetaan huomioon, mikä tarjoaa etuja, kun hyödynnetään toimintojen symmetrisiä ominaisuuksia.

Jos f on parillinen, Fourier-sarja muodostetaan kosinitesarjaksi.

Jos f on pariton, Fourier-sarja muodostetaan siniaalisarjaksi.

- Fourier-sarjan monimutkainen merkintä

Jos meillä on funktio f (t), joka täyttää kaikki Fourier-sarjan vaatimukset, on mahdollista merkitä se aikavälillä monimutkaisella merkinnällä:

esimerkit

Perusratkaisun laskennan osalta esitetään seuraavat esimerkit:

Toisaalta seuraavat ovat esimerkkejä diskreetin Fourier-muunnoksen soveltamisesta signaaliteorian kenttään:

-Järjestelmän tunnistusongelmat. Perustettu f ja g

-Ongelma lähtösignaalin johdonmukaisuuden kanssa

-Ongelmat signaalin suodatuksella

Harjoitukset

Harjoitus 1

Laske diskreetti Fourier-muunnos seuraavalle sekvenssille.

Voit määrittää x: n voimanottoakselin seuraavasti:

X _t = {4, -j2, 0, j2}, kun k = 0, 1, 2, 3

Harjoitus 2

Haluamme määrittää spektrisignaalin, jonka määrittelee lauseke x (t) = e ^-t digitaalisen algoritmin avulla. Jos suurin taajuutta pyytävä kerroin on f _m = 1 Hz. Yliaalto vastaa f = 0,3 Hz. Virhe on rajoitettu alle 5%: iin. Laskea f _{: n}, D ja N.

Ottaa huomioon lauseen f _s = 2f _m = 2 Hz

Taajuusresoluutioksi valitaan ₀ = 0,1 Hz, josta saadaan D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz on taajuus, joka vastaa indeksiä k = 3, missä N = 3 × 8 = 24 näytettä. Ilmaisee, että f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Koska tavoitteena on saada mahdollisimman pieni arvo N: lle, seuraavia arvoja voidaan pitää ratkaisuna:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Viitteet

1. Diskreetin Fourier-muunnoksen hallitseminen yhdessä, kahdessa tai useammassa mitassa: sudenkuopat ja esineet. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. heinäkuuta. 2013
2. DFT: Omistajan käsikirja erilliselle Fourier-muunnokselle. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. tammikuuta. tuhatyhdeksänsataayhdeksänkymmentäviisi
3. Digitaalinen signaalinkäsittely: teoria ja käytäntö. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Muunnokset ja nopeat algoritmit signaalin analysointiin ja esittämiseen. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. joulukuuta. 2012
5. Diskreetti ja jatkuva Fourier-muunnos: analyysi, sovellukset ja nopeat algoritmit. Eleanor Chu. CRC Press, 19. maaliskuuta. 2008