TASAKYLKINEN TRAPETSI: OMINAISUUDET, SUHTEET JA KAAVAT, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Tasakylkinen puolisuunnikas sanoen nelikulmion, jossa kaksi sivut ovat yhdensuuntaiset toisiinsa nähden ja lisäksi, kaksi kulmat vieressä yksi niistä yhdensuuntaisia sivuja on sama toimenpide.

Kuviossa 1 on nelikulmainen ABCD, jossa sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset. Lisäksi kulmilla ∠DAB ja ∠ADC rinnakkaispuolen AD vieressä on sama mitta α.

Kuva 1. Tasakalvojen trapetsiumi. Lähde: F. Zapata.

Joten tämä nelikulmainen, tai nelipuolinen monikulmio, on käytännössä tasakylkinen trapezoidi.

Trapetsoidissa rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan emäksiksi ja ei-rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan sivuiksi. Toinen tärkeä ominaisuus on korkeus, joka on etäisyys, joka erottaa yhdensuuntaiset sivut.

Tasapesiisen trapetsoidin lisäksi on myös muita trapezoidityyppejä:

-T-rapetsoidiopeni, jolla on kaikki kulmat ja sivut.

-Suorakulmainen rapezoid, jonka toisella puolella on oikein vierekkäiset kulmat.

Trapetsimuotoinen muoto on yleinen suunnittelun, arkkitehtuurin, elektroniikan, laskennan ja monilla muilla aloilla, kuten myöhemmin havaitaan. Siksi on tärkeää tutustua sen ominaisuuksiin.

ominaisuudet

Yksinoikeudella tasakylkisiin trapezoideihin

Jos trapetsoidi on tasavertainen, sillä on seuraavat ominaisuudet:

1.- Sivuilla on sama mittaus.

2.- Jalustan vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

3.- Vastakkaiset kulmat ovat täydentäviä.

4.- Diagonalien pituus on sama, kahden vastakkaisiin kärkipisteisiin liittyvän segmentin ollessa samat.

5.- Jalkojen ja diagonaalien väliin muodostettu kulma ovat kaikki samat.

6.- Sen ympärysmitta on rajoitettu.

Ja päinvastoin, jos trapetsoidi täyttää jonkin edellä mainituista ominaisuuksista, niin se on tasakylkinen trapezoidi.

Jos tasakulmaisen puolisuunnassa yksi kulmista on oikea (90º), niin myös kaikki muut kulmat ovat oikein, muodostaen suorakulmion. Toisin sanoen suorakulmio on erityistapaus tasakylkisen puolisuunnikkaan muodossa.

Kuva 2. Popcorn-säilytysastia ja koulupöydät ovat samansuuntaisen puolisuunnikkaan muotoisia. Lähde: Pxfuel (vas.) / McDowell Craig Flickrin kautta. (Oikealla)

Kaikille trapetsi

Seuraavat ominaisuusjoukot koskevat kaikkia trapezoideja:

7.- Trapezoidin mediaani, eli segmentti, joka yhdistää ei-rinnakkaisten puoliensa keskipisteet, on yhdensuuntainen minkä tahansa kannan kanssa.

8. - Mediaanin pituus on yhtä suuri kuin sen emästen puoliväli (summa jaettuna 2: llä).

9.- Trapezoidin mediaani leikkaa diagonaalit keskipisteessä.

10.- Trapetsoidin diagonaalit leikkaavat pisteessä, joka jakaa ne kahteen osaan suhteessa emästen osiin.

11.- Trapetsoidin diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa plus sen emästen kaksinkertainen tulo.

12.- Segmentin, joka yhdistää diagonaalien keskipisteet, pituus on yhtä suuri kuin emästen puoliero.

13.- Sivujen vierekkäiset kulmat ovat ylimääräisiä.

14.- Trapetsoidilla on merkitty kehä vain silloin, kun sen emästen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa.

15.- Jos puolisuunnikkaalla on merkitty kehä, kulmat, joiden kärki on mainitun kehän keskellä, ja sivut, jotka kulkevat saman sivun päiden läpi, ovat suorakulmaisia.

Suhteet ja kaavat

Seuraavaan joukkoon suhteita ja kaavoja viitataan kuvioon 3, jossa yhtäläisten puolisuunnikkaan lisäksi on esitetty myös jo mainitut tärkeät segmentit, kuten diagonaalit, korkeus ja mediaani.

Kuva 3. Mediaani, diagonaalit, korkeus ja ympyränmuotoinen ympyrä yhdensuuntaisen trapetsoidissa. Lähde: F. Zapata.

Tasakylkisen trapezumin ainutlaatuiset suhteet

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA ja ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º ja ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C ja D kuuluvat piirrettyyn ympyrään.

Suhteet mihin tahansa trapetsiin

1. Jos AK = KB ja DL = LC ⇒ KL - AD ja KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 ja DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC ja DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º ja ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Jos AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R kuin yhtä kaukana AD: stä, BC: stä, AB: stä ja DC: stä

15.- Jos ∃ R on yhtä kaukana AD: stä, BC: stä, AB: stä ja DC: stä, niin:

RABRA = ∡DRC = 90º

Suhteet yhdensuuntaisten trapeziumien kanssa, joiden ympärysmitta on merkitty

Jos tasakirkaisessa puolisuunnassa, emästen summa on yhtä suuri kuin kahdesti sivusuuntainen, niin kirjoitettu kehä on olemassa.

Kuva 4. Trapezoidi, jonka ympärysmitta on merkitty. Lähde: F. Zapata.

Seuraavat ominaisuudet pätevät, kun tasakalkojen trapetsoidilla on merkitty kehä (katso kuva 4 yllä):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa: AC ⊥ BD

18.- Korkeus on sama kuin mediaani: HF = KL, ts. H = m.

19.- Korkeuden neliö on yhtä suuri kuin emästen tulo: h ² = BC⋅AD

20.- Näissä erityisolosuhteissa trapetsoidin pinta-ala on yhtä suuri kuin korkeuden neliö tai tukien tulo: Alue = h ² = BC⋅AD.

Kaavat toisen puolen määrittämiseksi, toisten ja kulman tuntemiseksi

Tietäessä alusta, sivusuunta ja kulma, toinen pohja voidaan määrittää:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Jos tukien pituus ja kulma on annettu tiedossa, niin molempien sivujen pituudet ovat:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Yhden puolen määrittäminen, toisten tunteminen ja vino

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Missä d ₁ on diagonaalien pituus.

Pohja korkeudelta, alueelta ja muulta pohjalta

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Tunnetut sivusuunnat, alue ja kulma

c = (2A) /

Tunnettu sivuttaismediaani, pinta-ala ja kulma

c = A / (m sin α)

Tunnettu korkeus sivuilla

h = √

Tunnettu korkeuskulma ja kaksi sivua

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Tunnetut vinot kaikki sivut tai kaksi sivua ja kulma

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Tasakylkisen kolmion kehä

P = a + b + 2c

Tasakylkisen trapezumin alue

Alueen laskemiseen on olemassa useita kaavoja tunnetuista tiedoista riippuen. Seuraava on tunnetuin pohjasta ja korkeudesta riippuen:

A = h⋅ (a + b) / 2

Ja voit käyttää myös näitä muita:

-Jos sivut tunnetaan

A = √

-Kun sinulla on kaksi puolta ja kulma

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Jos merkityn ympyrän säde ja kulma tunnetaan

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kun emäkset ja kulma tunnetaan

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Jos trapetsoidi voidaan merkitä kehälle

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Tietä diagonaalit ja kulma, jonka ne muodostavat keskenään

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Kun sinulla on sivusuuntainen, mediaani ja kulma

A = mc.sen α = mc.sen β

Ympyrätyn ympyrän säde

Vain tasakalkoisilla trapezoideilla on ympärysmitta. Jos suurempi pohja a, sivusuuntainen c ja diagonaali d _{1 tunnetaan}, niin puolisuunnikkaan neljän kärjen läpi kulkevan ympyrän säde R on:

R = a⋅cdd ₁ / 4√

Jossa p = (a + c + d ₁) / 2

Esimerkkejä tasavertaisten trapetsoidien käytöstä

Tasakylkinen trapezoidi esiintyy suunnittelun alalla, kuten kuvasta 2 nähdään. Ja tässä on joitain lisäesimerkkejä:

Arkkitehtuurissa ja rakentamisessa

Muinaiset inkat tunsivat peräkkäin peräpeilin ja käyttivät sitä rakennuselementtinä tässä ikkunassa Cuzcossa, Perussa:

Kuvio 5. Coricancha, Cuzco, puolisuunnikkaan ikkuna. Lähde: Wikimedia Commons.

Ja tässä trapetsoidi esiintyy jälleen ns. Trapetsoidussa levyssä, materiaalissa, jota käytetään usein rakentamisessa:

Kuva 6. Trapetsimuotoinen metallilevy suojaa tilapäisesti rakennuksen ikkunoita. Lähde: Wikimedia Commons.

Suunnittelussa

Olemme jo nähneet, että tasavertaiset trapetsoidit ilmestyvät jokapäiväisissä esineissä, kuten tämän suklaapatukan kaltaisissa elintarvikkeissa:

Kuva 7. Suklaapatukka, jonka kasvot ovat samansuuntaisen puolisuunnikkaan muotoisia. Lähde: Pxfuel.

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Tasavälisen trapezoidin pohja on suurempi kuin 9 cm, pohja alle 3 cm ja sen diagonaalit 8 cm. Laskea:

a) Side

b) Korkeus

c) kehä

d) Alue

Kuva 8. Harjoitteluohjelma 1. Lähde: F. Zapata

Ratkaisu

Korkeus CP = h on piirretty, missä korkeuden jalka määrittelee segmentit:

PD = x = (ab) / 2 v

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Pythagoran lauseen käyttäminen oikeanpuoleiseen kolmioon DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Ja myös oikeanpuoleiseen kolmioon APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Lopuksi vähennetään jäsenkohtaiset jäsenet, toinen yhtälö ensimmäisestä ja yksinkertaistetaan:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Ratkaisu b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Ratkaisu c

Kehys = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2,6,083 = 24,166 cm

Ratkaisu d

Pinta-ala = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Harjoitus 2

On yhtäsuuntaista trapetsiä, jonka suurempi pohja on kaksi kertaa pienempi ja jonka pienempi pohja on yhtä suuri kuin korkeus, joka on 6 cm. Päättää:

a) Sivun pituus

b) kehä

c) Pinta-ala

d) Kulmat

Kuva 8. Harjoitteluohjelma 2. Lähde: F. Zapata

Ratkaisu

Tiedot: a = 12, b = a / 2 = 6 ja h = b = 6

Jatkamme seuraavaa: Piirrämme korkeuden h ja sovellamme Pythagoran lauseen hypoteenuksen kolmioon «c» ja jaloihin h ja x:

c ² = h ² + xc ²

Sitten sinun on laskettava korkeuden arvo tiedoista (h = b) ja jalan x: stä:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Korvaamalla meillä olevat aiemmat ilmaisut:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Nyt numeeriset arvot otetaan käyttöön ja sitä yksinkertaistetaan:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Saada:

c = 3√5 = 6,71 cm

Ratkaisu b

Kehys P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Ratkaisu c

Pinta-ala alustojen korkeuden ja pituuden funktiona on:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Ratkaisu d

Kulma α, jonka sivusuuntainen muodostaa suuremman kannan kanssa, saadaan trigonometrialla:

Tan (a) = h / x = 6/3 = 2

a = ArcTan (2) = 63,44º

Toinen kulma, joka muodostaa sivusuunnassa pienemmän kannan kanssa, on β, joka täydentää α: ta:

p = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Viitteet

1. EA 2003. Geometrian elementit: harjoituksilla ja kompassin geometrialla. Medellinin yliopisto.
2. Campos, F. 2014. Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Löydä polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Yleistettyjä monikulmioita. Birkhäuser.
5. Iger. Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
6. Jr. geometria. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ja Hornsby. 2006. Matematiikka: päättely ja sovellukset. 10th. Painos. Pearson koulutus.
8. Patiño, M. 2006. Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
9. Wikipedia. Trapetsi. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com