MITKÄ OVAT VINO KOLMIOT? (HARJOITUKSILLA) - MATEMATIIKKA - 2025

Viisto kolmiot ovat ne, kolmiot, jotka eivät ole suorakulmioita. Toisin sanoen, kolmiot ovat sellaiset, että mikään niiden kulmista ei ole suorakulmainen (niiden mitta on 90º).

Koska niillä ei ole suoraa kulmaa, Pythagoran lausetta ei voida soveltaa näihin kolmioihin.

Siksi, jotta tiedät tiedot vinossa kolmiossa, on käytettävä muita kaavoja.

Kaltevan kolmion ratkaisemiseksi tarvittavat kaavat ovat ns. Sini- ja kosinin lait, joita kuvataan myöhemmin.

Näiden lakien lisäksi voidaan aina käyttää sitä tosiasiaa, että kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin 180º.

Kaltevat kolmiat

Kuten alussa todettiin, vino kolmio on sellainen kolmio, että mikään sen kulmista ei mittaa 90º.

Kaltevan kolmion sivujen pituuksien löytämisen ongelmaa, samoin kuin sen kulmien mittojen löytämistä kutsutaan "vinojen kolmioiden ratkaisemiseksi".

Tärkeä tosiasia työskennellessään kolmioiden kanssa on, että kolmion kolmen sisäkulman summa on yhtä suuri kuin 180º. Tämä on yleinen tulos, joten sitä voidaan soveltaa myös vinoihin kolmioihin.

Sinien ja kosinien lait

Annetaan kolmio ABC, jonka sivujen pituus on "a", "b" ja "c":

- Siniaaltolain mukaan a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), missä A, B ja C ovat vastakkaiset kulmat «a», «b» ja «c "Vastaavasti.

- Kosinuksen laissa todetaan, että: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Vastaavasti seuraavia kaavoja voidaan käyttää:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) tai a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Näitä kaavoja käyttämällä voidaan laskea viiston kolmion tiedot.

Harjoitukset

Alla on joitain harjoituksia, joista on löydettävä annettujen kolmiöiden puuttuvat tiedot tiettyjen toimitettujen tietojen perusteella.

Ensimmäinen harjoitus

Annetaan kolmio ABC siten, että A = 45º, B = 60º ja a = 12cm, laske kolmion muut tiedot.

Ratkaisu

Käyttäen sitä, että kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin 180º, meillä on se

C = 180º-45º-60º = 75º.

Kolme kulmaa tunnetaan jo. Sitten lakia käytetään sitten kahden puuttuvan puolen laskemiseen.

Syntyvät yhtälöt ovat 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Ensimmäisestä tasa-arvosta voimme ratkaista «b»: n ja saada sen

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Voimme myös ratkaista «c»: llä ja saada sen

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Toinen harjoitus

Annetaan kolmio ABC siten, että A = 60º, C = 75º ja b = 10cm, laske kolmekolmion muut tiedot.

Ratkaisu

Kuten edellisessä harjoituksessa, B = 180º-60º-75º = 45º. Lisäksi, käyttämällä sinin lakia, meillä on, että a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / syn (75º), josta saadaan, että a = 10 * syn (60º) / syn (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm ja c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Kolmas harjoitus

Annetaan kolmio ABC siten, että a = 10cm, b = 15cm ja C = 80º, laske kolmion muut tiedot.

Ratkaisu

Tässä harjoituksessa tunnetaan vain yksi kulma, joten sitä ei voida aloittaa kuten kahdessa edellisessä harjoituksessa. Sinines-lakia ei voida myöskään soveltaa, koska yhtälöä ei voitu ratkaista.

Siksi jatkamme kosinien lain soveltamista. Juuri niin

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 - 272,905 cm, siten, että c ≈ 16,51 cm. Nyt, kun tiedät 3 puolta, käytetään sinin lakia ja saadaan se

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / syn (80 °).

Siksi B: n ratkaiseminen johtaa syntiin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, mikä tarkoittaa, että B ≈ 63,38º.

Nyt voimme saada, että A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Neljäs harjoitus

Kaltevan kolmion sivut ovat a = 5cm, b = 3cm ja c = 7cm. Löydä kolmion kulmat.

Ratkaisu

Jälleen, siniaaltolakia ei voida soveltaa suoraan, koska mikään yhtälö ei palvele kulmien arvon saamista.

Kosinuslain avulla meillä on, että c² = a² + b² - 2ab cos (C), josta ratkaisemisessa meillä on cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 ja siksi C = 120 °.

Nyt jos voimme soveltaa sinin lakia ja saada siten 5 / sin (A) = 3 / syn (B) = 7 / syn (120º), mistä voimme ratkaista B: n ja saada sin (B) = 3 * syn (120 °) / 7 = 0,371, niin että B = 21,79 °.

Viimeiseksi viimeinen kulma lasketaan käyttämällä seuraavaa: A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Viitteet

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Edistystä.
2. Leake, D. (2006). Kolmio (kuvassa ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson koulutus.
4. Ruiz, Á., Ja Barrantes, H. (2006). Geometriaa. CR-tekniikka.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson koulutus.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria ja analyyttinen geometria. Pearson koulutus.