LISÄKULMAT: MITÄ NE OVAT, LASKENTA, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Kaksi tai useampia ovat ylimääräisiä kulmia, jos niiden mittojen summa vastaa suoran kulman mittaa. Suoran kulman, jota kutsutaan myös tasokulmaksi, mitta asteina on 180º ja radiaaneissa se on π.

Esimerkiksi havaitsemme, että kolmion kolme sisäkulmaa ovat toisiaan täydentäviä, koska niiden mittojen summa on 180º. Kuvassa 1 on esitetty kolme kulmaa. Ylläolevasta seuraa, että α ja β ovat toisiaan täydentäviä, koska ne ovat vierekkäin ja niiden summa täydentää suoraa kulmaa.

Kuvio 1: a ja p ovat täydentäviä. α ja γ ovat toisiaan täydentäviä. Lähde: F. Zapata.

Samassa kuvassa on myös kulmat α ja γ, jotka ovat myös toisiaan täydentäviä, koska niiden mittojen summa on yhtä suuri kuin tason kulman, toisin sanoen 180 asteen, mitta. Ei voida sanoa, että kulmat β ja γ ovat toisiaan täydentäviä, koska koska molemmat kulmat ovat tylpät, niiden mitat ovat yli 90º ja siksi niiden summa ylittää 180º.

Lähde: lifeder.com

Sen sijaan voidaan todeta, että kulman β mitta on yhtä suuri kuin kulman γ mitta, koska jos β täydentää α: ta ja γ täydentää α: ta, niin β = γ = 135º.

esimerkit

Seuraavissa esimerkeissä pyydetään löytämään tuntemattomat kulmat, jotka on merkitty kuviossa 2 olevilla kysymysmerkeillä. Ne vaihtelevat yksinkertaisimmista esimerkeistä joihinkin yksityiskohtaisempiin, jotka lukijan tulisi olla varovaisempi.

Kuva 2. Useita kehitettyjä esimerkkejä lisäkulmista. Lähde: F. Zapata.

Esimerkki A

Kuvassa meillä on, että vierekkäiset kulmat α ja 35º lisäävät tason kulmaan. Toisin sanoen α + 35º = 180º, ja siksi on totta, että: α = 180º - 35º = 145º.

Esimerkki B

Koska β täydentää kulmaa 50º, seuraa, että β = 180º - 50º = 130º.

Esimerkki C

Kuviosta 2C voidaan havaita seuraava summa: γ + 90º + 15º = 180º. Eli γ täydentää kulmaa 105º = 90º + 15º. Sitten päätellään, että:

γ = 180º - 105º = 75º

Esimerkki D

Koska X on täydennys 72 asteeseen, seuraa, että X = 180º - 72º = 108º. Lisäksi Y on lisä X: llä, joten Y = 180º - 108º = 72º.

Ja lopuksi Z on täydennys 72º: lla, joten Z = 180º - 72º = 108º.

Esimerkki E

Kulmat δ ja 2δ ovat täydentäviä, joten δ + 2δ = 180º. Mikä tarkoittaa, että 3δ = 180º, ja tämä puolestaan ​​antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa: δ = 180º / 3 = 60º.

Esimerkki F

Jos kutsumme kulmaan 100º - 50º U, niin U täydentää molempia, koska on havaittu, että niiden summa täydentää tasokulman.

Heti seuraa, että U = 150º. Koska U on kärjen vastakkaisella suunnalla W, niin W = U = 150º.

Harjoitukset

Jäljempänä ehdotetaan kolmea harjoitusta, joissa kaikissa kulmien A ja B arvo on löydettävä asteina, jotta kuvassa 3 esitetyt suhteet täyttyisivät. Niiden kaikkien ratkaisemisessa käytetään ylimääräisten kulmien käsitettä.

Kuva 3. Kuva tehtävien I, II ja III ratkaisemiseksi lisäkulmista. Kaikki kulmat ovat asteina. Lähde: F. Zapata.

- Harjoitus I

Määritä kuvan 3 kulmien A ja B arvot osasta I).

Ratkaisu

A ja B ovat toisiaan täydentäviä, joista A + B = 180 astetta, sitten A: n ja B: n lauseke korvataan x: n funktiona, kuten kuvassa näkyy:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Saadaan ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö. Tämän ratkaisemiseksi ehdot on ryhmitelty alla:

6 x + 60 = 180

Jakamalla molemmat jäsenet 6: lla, meillä on:

x + 10 = 30

Ja lopuksi ratkaistuaan, seuraa, että x on 20º arvoinen.

Nyt meidän on kytkettävä x-arvo arvoon löytääksesi pyydetyt kulmat. Siksi kulma A on: A = 20 +15 = 35º.

Ja puolestaan ​​kulma B on B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Harjoitus II

Löydä kulmien A ja B arvot kuvan 3 osasta II).

Ratkaisu

Koska A ja B ovat ylimääräisiä kulmia, A + B = 180 astetta. Korvaamalla kuvan 3 osassa II annettu lauseke A: lle ja B: lle x: n funktiona, meillä on:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Jälleen saadaan ensimmäisen asteen yhtälö, jolle termit on mukavasti ryhmitelty:

6 x + 60 = 180

Jakamalla molemmat jäsenet 6: lla, meillä on:

x + 10 = 30

Mistä seuraa, että x on 20º arvoinen.

Toisin sanoen, kulma A = -2 * 20 + 90 = 50º. Vaikka kulma B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Harjoitus III

Määritä kuvan 3 kulmien A ja B arvot osasta III) (vihreänä).

Ratkaisu

Koska A ja B ovat ylimääräisiä kulmia, A + B = 180 astetta. Meidän on korvattava A: n ja B: n lauseke x: n funktiona kuvassa 3, josta meillä on:

(5x20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Jakamalla molemmat jäsenet 12: lla x: n arvon ratkaisemiseksi, meillä on:

x + 5 = 15

Lopuksi todetaan, että x: n arvo on 10 astetta.

Nyt jatkamme korvaamista kulman A löytämiseksi: A = 5 * 10 -20 = 30º. Ja kulmassa B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Lisäkulmat kahdessa rinnakkaissuunnassa, joita leikkauspiste leikkaa

Kuva 4. Kulmat kahden rinnakkaissuunnan välillä, jotka leikkaavat sekantti. Lähde: F. Zapata.

Kaksi rinnakkaisviivaa, jotka leikkaavat sekantin, on yleinen geometrinen rakenne joissakin ongelmissa. Tällaisten viivojen väliin muodostuu 8 kulmaa, kuten kuvassa 4 esitetään.

Näistä kahdeksasta kulmasta jotkut parit kulmaa ovat täydentäviä, jotka luetellaan alla:

1. Ulkokulmat A ja B ja ulkoiset kulmat G ja H
2. Sisäkulmat D ja C sekä sisäkulmat E ja F
3. Ulkokulmat A ja G sekä ulkoiset kulmat B ja H
4. Sisäkulmat D ja E sekä sisätilat C ja F

Täydellisyyden vuoksi myös toistensa kulmat on nimetty:

1. Sisäiset varajäsenet: D = F ja C = E
2. Ulkoiset varajäsenet: A = H ja B = G
3. Vastaavat: A = E ja C = H
4. Kärkien A = C ja E = H vastakohdat
5. Vastaavat: B = F ja D = G
6. Vertex-vastakohdat B = D ja F = G

- Harjoitus IV

Viitaten kuvioon 4, joka näyttää kiinnittimen leikkaamien kahden yhdensuuntaisen viivan väliset kulmat, määritetään kaikkien kulmien arvo radiaaneina tietäen, että kulma A = π / 6 radiaania.

Ratkaisu

A ja B ovat täydentäviä ulkoisia kulmia, joten B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Viitteet

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Keski-Amerikan kulttuuri.
2. Matemaattiset lait ja kaavat. Kulmanmittausjärjestelmät. Palautettu osoitteesta: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Lentokonegeometria. Palautettu osoitteesta: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Lisäkulmat. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Kuljetin. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historia, osat, toiminta. Palautettu sivustolta: lifeder.com