PERÄKKÄISET JOHDANNAISET (HARJOITUSTEN RATKAISTUA) - MATEMATIIKKA - 2025

Peräkkäiset johdannaiset ovat ne, jotka on johdettu yhden toiminnon, kun toinen derivaatta. Peräkkäisten johdannaisten laskentaprosessi on seuraava: meillä on funktio f, jonka voimme johtaa ja saada siten johdannaistoiminto f '. Voimme johtaa tämän f: n johdannaisen uudelleen saadaan (f ')'.

Tätä uutta funktiota kutsutaan toiseksi johdannaiseksi; kaikki toisesta lasketut johdannaiset ovat peräkkäisiä; Näillä, joita kutsutaan myös korkeammaksi järjestykseksi, on hyviä sovelluksia, kuten tietojen antaminen funktion kuvaajan kuvaajasta, toisen johdannaisen testi suhteellisten ääripäiden suhteen ja äärettömien sarjojen määrittäminen.

Määritelmä

Leibnizin notaation avulla meillä on, että funktion "y" johdannainen suhteessa "x" on dy / dx. Jotta ilmaistaan ​​"y" -johdannainen käyttämällä Leibnizin merkintää, kirjoitamme seuraavasti:

Yleensä voimme ilmaista peräkkäisiä johdannaisia ​​seuraavasti Leibnizin merkinnällä, jossa n edustaa johdannaisen järjestystä.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat seuraavat:

Joitakin esimerkkejä, joissa voimme nähdä erilaisia ​​merkintöjä, ovat:

Esimerkki 1

Hanki kaikki funktion f johdannaiset, jotka määritetään:

Käyttämällä tavanomaisia ​​johdannaistekniikoita, meillä on, että f: n johdannainen on:

Toistamalla prosessi voimme saada toisen johdannaisen, kolmannen johdannaisen ja niin edelleen.

Huomaa, että neljäs johdannainen on nolla ja nollan johdannainen on nolla, joten meillä on:

Esimerkki 2

Laske seuraavan funktion neljäs johdannainen:

Johdettu annettu toiminto, jonka tuloksena meillä on:

Nopeus ja kiihtyvyys

Yksi johdannaisen löytämiseen johtaneista motivaatioista oli hetkellisen nopeuden määritelmän etsiminen. Muodollinen määritelmä on seuraava:

Olkoon y = f (t) funktio, jonka kuvaaja kuvaa hiukkasen kulkua ajankohtana t, sitten sen nopeus hetkellä t saadaan:

Kun hiukkasen nopeus on saatu, voimme laskea hetkellisen kiihtyvyyden, joka määritetään seuraavasti:

Hiukkasen hetkellinen kiihtyvyys, jonka polun antaa y = f (t), on:

Esimerkki 1

Hiukkanen liikkuu linjaa pitkin sijaintitoiminnon mukaan:

Missä "y" mitataan metreinä ja "t" sekunneissa.

- Millä hetkellä sen nopeus on 0?

- Millä hetkellä sen kiihtyvyys on 0?

Johdettaessa sijaintifunktiota «ja» meillä on, että sen nopeus ja kiihtyvyys annetaan vastaavasti:

Ensimmäiseen kysymykseen vastaamiseksi riittää, kun määritetään, milloin funktiosta v tulee nolla; Tämä on:

Jatkamme seuraavaa kysymystä analogisella tavalla:

Esimerkki 2

Hiukkanen liikkuu linjaa pitkin seuraavan liikeyhtälön mukaan:

Määritä "t, y" ja "v", kun a = 0.

Tietäen, että nopeuden ja kiihtyvyyden antaa

Etenemme saada ja saada:

Tekemällä = 0, meillä on:

Mistä voimme päätellä, että t: n arvo a: lle on nolla on t = 1.

Sitten arvioitaessa sijaintifunktiota ja nopeusfunktiota t = 1, meillä on:

Sovellukset

Selkeä johdannainen

Peräkkäisiä johdannaisia ​​voidaan saada myös implisiittisellä johdannaisella.

esimerkki

Koska seuraava ellipsi löytyy "y":

Johdettu implisiittisesti suhteessa x: een, meillä on:

Sitten implisiittisesti uudelleen johtaminen suhteessa x: ään antaa meille:

Viimeinkin meillä on:

Suhteelliset äärimmäisyydet

Toinen käyttö, jonka voimme antaa toisen kertaluvun johdannaisille, on funktion suhteellisten ääripäiden laskemisessa.

Ensimmäisen johdannaisen kriteeri paikallisille ääripäille kertoo meille, että jos meillä on jatkuva funktio f aikavälillä (a, b) ja on c, joka kuuluu mainittuun intervalliin siten, että f 'katoaa c: ssä (ts. C on kriittinen kohta), voi tapahtua yksi kolmesta tapauksesta:

- Jos f´ (x)> 0 jokaiselle (a, c) kuuluvalle x: lle ja f´ (x) <0 x: lle, joka kuuluu (c, b), f (c) on paikallinen maksimiarvo.

- Jos f´ (x) <0 jokaiselle (a, c) kuuluvalle x: lle ja f´ (x)> 0 x: lle, joka kuuluu (c, b), f (c) on paikallinen minimi.

- Jos f´ (x): lla on sama merkki kohdissa (a, c) ja (c, b), se tarkoittaa, että f (c) ei ole paikallinen ääri.

Toisen johdannaisen kriteerin avulla voimme tietää, onko funktion kriittinen lukumäärä paikallinen maksimimäärä vai minimi, joutumatta näkemään, mikä funktion merkki on yllä mainituissa väliajoissa.

Toisen poikkeaman kriteeri kertoo meille, että jos f´ (c) = 0 ja f´´ (x) on jatkuva (a, b): ssä, niin tapahtuu, että jos f´ (c)> 0, niin f (c) on paikallinen minimi ja jos f´´ (c) <0, niin f (c) on paikallinen maksimiarvo.

Jos f´´ (c) = 0, emme voi päätellä mitään.

esimerkki

Koska funktio f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², löydä f: n suhteelliset maksimit ja minimit käyttämällä toisen johdannaisen kriteeriä.

Ensin lasketaan f´ (x) ja f´´ (x) ja meillä on:

F'(x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f'' (x) = 12x ² + 8x - 8

Nyt f´ (x) = 0 jos ja vain jos 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ja tämä tapahtuu, kun x = 0, x = 1 tai x = - 2.

Jotta voidaan määrittää, ovatko saadut kriittiset luvut suhteellisia ääripäitä, riittää, kun arvioidaan f´´: lla ja tarkkaillaan siten sen merkkiä.

f´´ (0) = - 8, joten f (0) on paikallinen maksimiarvo.

f´´ (1) = 12, joten f (1) on paikallinen minimi.

f´´ (- 2) = 24, joten f (- 2) on paikallinen minimi.

Taylor-sarja

Olkoon f funktio, joka määritetään seuraavasti:

Tämän funktion konvergenssisäde R> 0, ja sillä on johdannaiset kaikista (-R, R) -järjestyksistä. F: n peräkkäiset johdannaiset antavat meille:

Kun x = 0, voidaan saada arvot c _n funktiona niiden johdannaiset seuraavasti:

Jos otamme funktiona f = 0 (eli f ^ 0 = f), voimme kirjoittaa funktion uudelleen seuraavasti:

Tarkastellaan nyt funktiota sarjana voimia x = a:

Jos suoritamme edellisen kanssa analogisen analyysin, voisimme kirjoittaa funktion f seuraavasti:

Nämä sarjat tunnetaan Taylor-sarjoina f: stä a: ksi. Kun a = 0, meillä on tietty tapaus nimeltään Maclaurin-sarja. Tämän tyyppisillä sarjoilla on suuri matemaattinen merkitys etenkin numeerisessa analyysissä, koska niiden ansiosta voimme määritellä tietokoneiden toimintoja, kuten e ^x, sin (x) ja cos (x).

esimerkki

Hanki Maclaurin-sarja e ^{x: lle}.

Huomaa, että jos f (x) = e ^x, niin f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x ja f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, niin sen Maclaurin-sarja on:

Viitteet

1. Frank Ayres, J., ja Mendelson, E. (nd). Laskelma 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Laskenta analyyttisellä geometrialla. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Laskeminen. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferentiaalinen lasku. Hypotenuusa.
5. Saenz, J. (toinen). Integroitu laskenta. Hypotenuusa.