ELLIPSOID: OMINAISUUDET JA ESIMERKIT - ARTE

Ellipsoidin on pinnan tila, joka kuuluu ryhmään Quadric pintojen ja joiden yleinen yhtälö on muotoa:

Se on ellipsin kolmiulotteinen vastine, jolle on ominaista ellipsi- ja pyöreät jäljet joissain erityistapauksissa. Jäljet ovat käyrät, jotka saadaan leikkaamalla ellipsoidi tason kanssa.

Kuva 1. Kolme erilaista ellipsoidia: ylhäällä pallo, jossa kolme puoliakselia ovat yhtä suuret, alareunassa vasemmalla pallo, kahdella yhtä suurella puoliakselilla ja erilaisella, ja lopulta oikealla alhaalla, kolmiakselinen pallo, kolmella eri akselilla pituus. Lähde: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Ellipsoidin lisäksi on vielä viisi kvadraattia: yhden arkin ja kahden arkin hyperboloidi, kahdentyyppiset paraboloidit (hyperbolinen ja elliptinen) ja elliptinen kartio. Sen jäljet ovat myös kartiomaisia.

Ellipsoidi voidaan ilmaista myös vakioyhtälöllä suorakaarisissa koordinaateissa. Alkuperään (0,0,0) keskitetty ja tällä tavalla ilmaistu ellipsoidi muistuttaa ellipsiä, mutta siinä on lisätermi:

A, b ja c arvot ovat reaalilukuja, jotka ovat suurempia kuin 0 ja edustavat ellipsoidin kolmea puoliakselia.

Ellipsoidiominaisuudet

- Vakioyhtälö

Pisteessä (h, k, m) olevan keskipisteen ellipsin vakioyhtälö suorakulmaisessa koordinaatissa on:

- ellipsoidin parametriset yhtälöt

Pallomaisissa koordinaateissa ellipsoidi voidaan kuvata seuraavasti:

x = synti θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Ellipsoidin puoliakselit pysyvät a, b ja c, kun taas parametrit ovat seuraavan kuvan kulmat θ ja φ:

Kuva 2. Pallomainen koordinaattijärjestelmä. Ellipsoidi voidaan parametroida käyttämällä näytettyjä kulmia theta ja phi parametreina. Lähde: Wikimedia Commons. Andeggs / Julkinen.

- ellipsoidin jäljet

Avaruudessa olevan pinnan yleinen yhtälö on F (x, y, z) = 0 ja pinnan jäljet ovat käyrät:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Ellipsoidin tapauksessa sellaiset käyrät ovat ellipsejä ja joskus ympyröitä.

- Äänenvoimakkuus

Ellipsoidin tilavuus V saadaan (4/3) π-suhteella sen kolmen puoliakselin tuloksesta:

V = (4/3) π. ABC

Ellipsoidin erityistapaukset

-Ellipsoidista tulee pallo, kun kaikki puoliakselit ovat samankokoisia: a = b = c ≠ 0. Tämä on järkevää, koska ellipsoidi on kuin pallo, joka on venytetty eri tavalla kutakin pitkin akselilla.

- Sferoidi on ellipsoidi, jossa kaksi puoliakselista on identtisiä ja kolmas on erilainen, esimerkiksi se voi olla a = b ≠ c.

Sfääriä kutsutaan myös vallankumouksen ellipsoidiksi, koska se voidaan generoida kiertämällä ellipsejä akselin ympäri.

Jos pyörimisakseli osuu pääakseliin, palloalusta on ulottunut, mutta jos se sattuu sivuakselin kanssa, se on rengas:

Kuva 3. Tyhjennä vasemmanpuoleinen pallokehä ja oikealla. Lähde: Wikimedia Commons.

Pallosydän litistymisen mitta (elliptisyys) saadaan kahden puoliakselin välisellä pituuserolla, joka ilmaistaan murto-muodossa, ts. Se on yksikön tasoittuminen, joka saadaan:

f = (a - b) / a

Tässä yhtälössä a edustaa puoliajosuuntaista akselia ja b puolivähemmän akselia, muista, että kolmas akseli on yhtä näistä spheroidissa. F: n arvo on välillä 0 - 1 ja spheroidin kohdalla sen on oltava suurempi kuin 0 (jos se olisi 0, meillä olisi yksinkertaisesti pallo).

Viite ellipsoidi

Planeetat ja yleensä tähdet eivät ole yleensä täydellisiä palloja, koska niiden akselien ympäri kiertoliike tasoittaa vartaloa napojen kohdalla ja kohoaa sen päiväntasaajan kohdalla.

Siksi maapallo osoittautuu kaltaiseksi pallomaiseksi, vaikkakaan ei niin liioiteltuksi kuin edellisessä kuvassa, ja kaasu jättiläinen Saturnus on puolestaan matalampi aurinkojärjestelmän planeetoista.

Joten realistisempi tapa edustaa planeettoja on olettaa, että ne ovat kuin kierroksen pallo- tai ellipsoidi, jonka puoliajosuuntainen akseli on päiväntasaajan säde ja puolivähemmän akseli polaarinen säde.

Maapallolla tehdyt huolelliset mittaukset ovat mahdollistaneet rakentaa Maan vertail ellipsoidin tarkimpana tapana työskennellä sen matemaattisesti.

Tähteillä on myös kiertoliikkeitä, jotka antavat heille enemmän tai vähemmän litteät muodot. Nopea tähti Achernar, yötaivaan kahdeksas kirkkain tähti, eteläisessä tähdistössä Eridanus on huomattavasti elliptinen useimpiin nähden. Se on 144 valovuoden päässä meistä.

Toisessa ääripäässä muutama vuosi sitten tutkijat löysivät pallomaisimman esineen, joka koskaan löytynyt: Tähti Kepler 11145123, 5000 valovuoden päässä, kaksinkertainen aurinkoomme kanssa ja ero vain 3 km: n puoliakselien välillä. Odotetusti se myös pyörii hitaammin.

Mitä tulee maahan, se ei ole täydellinen pallokemia, myös sen karkean pinnan ja paikallisten painovoimavaihtelujen vuoksi. Tästä syystä on saatavana useampia kuin yksi referenssisferoidi, ja jokaisesta kohdasta valitaan paikalliselle maantieteelle sopivin.

Satelliittien apu on korvaamatonta luomalla entistä tarkempia maapallon muodon malleja, niiden ansiosta esimerkiksi tiedetään, että etelänapa on lähempänä päiväntasaajaa kuin pohjoisnapa.

Kuva 4. Haumea, trans-Neptunian kääpiöplaneetta on ellipsoidinen. Lähde: Wikimedia Commons.

Numeerinen esimerkki

Maan pyörimisnopeuden vuoksi syntyy keskipakoisvoima, joka antaa sille pallon sijaan pitkänomaisen ellipsoidin muodon. Maapallon päiväntasaajan säteen tiedetään olevan 3963 mailia ja napainen säde on 3942 mailia.

Löydä päiväntasaajan jäljen yhtälö, tämän ellipsoidin ja sen tasaisuuden mitta. Vertaa myös Saturnuksen elliptisyyteen seuraaviin tietoihin:

-Saturnin päiväntasaajan säde: 60 268 km

-Paturnuksen napainen säde: 54,364 km

Ratkaisu

Tarvitaan koordinaattijärjestelmä, jonka oletamme keskittyvän alkuperään (maan keskusta). Oletetaan pystysuora z-akseli ja päiväntasaajaa vastaava jälki on xy-tasolla, joka vastaa z = 0-tasoa.

Päiväntasaajan puoliakselit a ja b ovat yhtä suuret, joten a = b = 3963 mailia, kun taas c = 3942 mailia. Tämä on erityistapaus: spheroid, jonka keskipiste on pisteessä (0,0,0), kuten yllä mainittiin.

Päiväntasaajan jälki on ympyrä, jonka säde on R = 3963 mailia ja jonka keskipiste on lähtöpisteessä. Se lasketaan tekemällä z = 0 vakioyhtälöön:

Ja maanpäällisen ellipsoidin vakioyhtälö on:

f _Maa = (a - b) / a = (3963-3942) mailia / 3963 mailia = 0,0053

f _Saturnus = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Huomaa, että elliptisyys f on mitaton määrä.

Viitteet

ArcGIS for Desktop. Pallot ja pallot. Palautettu osoitteesta desktop.arcgis.com.
BBC World. Maailmankaikkeudessa koskaan havaitun pallomaisimman esineen mysteeri. Palautettu osoitteesta: bbc.com.
Larson, R. Calculus ja analyyttinen geometria. Kuudes painos. Osa 2 - McGraw Hill.
Wikipedia. Ellipsoidin. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Sferoidista. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org.

ELLIPSOID: OMINAISUUDET JA ESIMERKIT - ARTE - 2025