OSITTAINEN MURTO: TAPAUKSET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Osamurtokehitelmä ovat jakeet muodostettu polynomi, jossa nimittäjä voi olla lineaarinen tai toisen asteen polynomi, ja lisäksi, se voidaan nostaa jonkin verran tehoa. Joskus, kun meillä on rationaalisia funktioita, on erittäin hyödyllistä kirjoittaa tämä funktio osittain tai yksinkertaisesti murto-osina.

Tämä johtuu siitä, että tällä tavoin voimme manipuloida näitä toimintoja paremmin, etenkin tapauksissa, joissa mainitun sovelluksen integrointi on tarpeen. Rationaalinen funktio on yksinkertaisesti kahden polynomin välinen osamäärä, ja ne voivat olla oikeat tai väärin.

Jos osoittajan polynomin aste on pienempi kuin nimittäjä, sitä kutsutaan rationaaliseksi oikeaksi funktioksi; muuten se tunnetaan virheellisenä rationaalisena funktiona.

Määritelmä

Kun meillä on väärä rationaalifunktio, voimme jakaa osoittajan polynomin nimittäjän polynomilla ja kirjoittaa siten murto-osan p (x) / q (x), noudattaen jakoalgoritmia t (x) + s (x) / q (x), missä t (x) on polynomi ja s (x) / q (x) on oikea rationaalifunktio.

Osaosuus on mikä tahansa polynomien oikea funktio, joiden nimittäjä on muodossa (ax + b) ⁿ tai (ax ² + bx + c) ⁿ, jos polynomisella akselilla ² + bx + c ei ole todellisia juuria ja n on luku luonnollinen.

Jotta rationaalinen funktio voidaan kirjoittaa uudelleen osaosuuksina, ensin tehtävä tekijä nimittäjä q (x) lineaaristen ja / tai neliömäisten tekijöiden tuloksena. Kun tämä on tehty, osaosuudet määritetään, jotka riippuvat näiden tekijöiden luonteesta.

tapaukset

Tarkastelemme useita tapauksia erikseen.

Tapaus 1

Kertoimet q (x) ovat kaikki lineaarisia eikä yksikään toistu. Tarkoittaen:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Ei lineaarista kerrointa ole identtinen toisen kanssa. Kun tämä tapaus tapahtuu, kirjoitamme:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Missä A ₁, A ₂,…, A _s ovat löydettävät vakiot.

esimerkki

Haluamme hajottaa rationaalisen funktion yksinkertaisiksi murtoiksi:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Jatkamme nimittäjän keräämistä, toisin sanoen:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Sitten:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Sovellettaessa vähiten yleistä monikertaa voidaan saada seuraavaa:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Haluamme saada vakioiden A, B ja C arvot, jotka saadaan korvaamalla juuret, jotka kumoavat kaikki termit. Korvaamalla 0 x: lla meillä on:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Korvaa - 1 x: lla, meillä on:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Korvaa - 2 x: lla meillä on:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Tällä tavalla saadaan arvot A = –1/2, B = 2 ja C = –3/2.

On myös toinen menetelmä A: n, B: n ja C: n arvojen saamiseksi. Jos yhtälön oikealla puolella x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x yhdistämme termit, meillä on:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Koska tämä on polynomien tasa-arvo, meillä on, että vasemmalla puolella olevien kertoimien on oltava samat kuin oikealla puolella. Tuloksena on seuraava yhtälöjärjestelmä:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ratkaisemalla tämä yhtälöjärjestelmä, saadaan tulokset A = –1/2, B = 2 ja C = -3/2.

Lopuksi korvaamalla saadut arvot saamme seuraavan:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Tapaus 2

Kertoimet q (x) ovat kaikki lineaarisia ja jotkut toistuvat. Oletetaan, että (ax + b) on tekijä, joka toistaa "s" kertaa; sitten tälle kertoimelle vastaa «osien» osittaisten murtojen summa.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Missä A _s, A _s-1,…, A ₁ ovat määritettävät vakiot. Seuraavalla esimerkillä osoitamme kuinka nämä vakiot määritetään.

esimerkki

Hajoaa osittaisiksi fraktioiksi:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Me kirjoitamme rationaalisen funktion osittaisten murtojen summana seuraavasti:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2)).

Sitten:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Korvaten 2 x: lla, meillä on seuraava:

7 = 4C, eli C = 7/4.

Korvaamalla 0 x: lla meillä on:

- 1 = –8A tai A = 1/8.

Korvaamalla nämä arvot edellisessä yhtälössä ja kehittämällä saamme seuraavan:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Yhtälökerroimet saadaan seuraava yhtälöjärjestelmä:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Järjestelmän ratkaisemiseksi meillä on:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Tätä varten meidän on:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Tapaus 3

Kertoimet q (x) ovat lineaarisia kvadraattisia, ilman toistuvia kvadraattisia kertoimia. Tässä tapauksessa neliömäinen kerroin (ax ² + bx + c) vastaa osaosuutta (Ax + B) / (ax ² + bx + c), missä vakiot A ja B määritetään.

Seuraava esimerkki näyttää kuinka edetä tässä tapauksessa

esimerkki

Hajoaa yksinkertaisiksi fraktioiksi a (x + 1) / (x ³ - 1).

Ensin siirrymme nimittäjään, joka antaa meille tuloksena:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Voimme havaita, että (x ² + x + 1) on pelkistämätön neliöllinen polynomi; ts. sillä ei ole todellisia juuria. Sen hajoaminen osittaisiksi fraktioiksi on seuraava:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Tästä saadaan seuraava yhtälö:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Polynomien tasa-arvoa käyttämällä saadaan seuraava järjestelmä:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Tästä järjestelmästä meillä on, että A = 2/3, B = - 2/3 ja C = 1/3. Korvaavana meillä on, että:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x + 1).

Tapaus 4

Lopuksi tapaus 4 on tapaus, jossa q (x) -kertoimet ovat lineaarisia ja neliömäisiä, joissa jotkut lineaarisista kvadraattisista tekijöistä toistuvat.

Tässä tapauksessa, jos (ax ² + bx + c) on neliöllinen kerroin, joka toistaa "s" kertaa, niin tekijää (ax ² + bx + c) vastaava osaosuus on:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (akseli ² + bx + c) ^s

Missä A _s, A _s-1,…, A ja B _s, B _s-1,…, B ovat määritettävät vakiot.

esimerkki

Haluamme hajottaa seuraavan rationaalisen funktion osaosuuksiksi:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Koska x ² - 4x + 5 on pelkistämätön neliökerroin, sen hajoaminen osittaisiksi murtoiksi annetaan:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Yksinkertaistamalla ja kehittämällä, meillä on:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Yllä olevan perusteella meillä on seuraava yhtälöjärjestelmä:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Järjestelmää ratkaistaessa meillä on jäljellä:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ja E = - 3/5.

Korvaamalla saadut arvot meillä on:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Sovellukset

Integroitu laskenta

Osaosia käytetään ensisijaisesti integraalin laskennan tutkimiseen. Tässä on joitain esimerkkejä integraalien suorittamisesta käyttämällä osittaisjakeita.

Esimerkki 1

Haluamme laskea integraalin seuraavista:

Voimme nähdä, että nimittäjä q (x) = (t + 2) ² (t + 1) koostuu lineaarisista kertoimista, joissa yksi näistä toistetaan; Siksi olemme tapauksessa 2.

Meidän täytyy:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Me kirjoitamme yhtälön uudelleen ja meillä on:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Jos t = - 1, meillä on:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jos t = - 2, se antaa meille:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Sitten, jos t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Korvaa A: n ja C: n arvot:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Yllä olevan perusteella meillä on, että B = - 1.

Me kirjoitamme integraalin uudelleen seuraavasti:

Jatkamme sen ratkaisemista korvausmenetelmällä:

Tämä on tulos:

Esimerkki 2

Ratkaise seuraava integraali:

Tässä tapauksessa voimme kertoa aq (x) = x ² - 4, kun q (x) = (x - 2) (x + 2). Olemme selvästi tapauksessa 1. Siksi:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Se voidaan ilmaista myös seuraavasti:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jos x = - 2, meillä on:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ja jos x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Siten meille jää ratkaisemaan annettu integraali vastaa ratkaisemista:

Tämä antaa meille seurauksena:

Esimerkki 3

Ratkaise integraali:

Meillä on q (x) = 9x ⁴ + x ², joka voidaan laskea q (x) = x ² (9x ² + 1).

Tällä kertaa meillä on toistuva lineaarikerroin ja toissijainen kerroin; eli olemme tapauksessa 3.

Meidän täytyy:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Ryhmittelemällä ja käyttämällä yhtä suuria polynomeja, meillä on:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Tästä yhtälöjärjestelmästä meillä on:

D = - 9 ja C = 0

Tällä tavalla meillä on:

Ratkaisemalla yllä mainitut, meillä on:

Massatoiminnan laki

Kiinnostava sovellus integroituun laskentaan käytettyihin osittaisiin fraktioihin löytyy kemiasta, tarkemmin sanottuna massavaikutuksesta.

Oletetaan, että meillä on kaksi ainetta, A ja B, jotka yhdistyvät ja muodostavat aineen C, niin että C: n määrän johdannainen suhteessa aikaan on verrannollinen A: n ja B: n määrien tuloon tietyllä hetkellä.

Voimme ilmaista joukkotoimien lain seuraavasti:

Tässä lausekkeessa α on A: ta vastaava grammojen alkuperäinen lukumäärä ja β - B: tä vastaava grammojen alkuperäinen määrä.

Lisäksi r ja s edustavat vastaavasti A: n ja B: n grammien lukumäärää, jotka yhdistyvät muodostaen r + s: n grammaa C: tä. Puolestaan ​​x edustaa aineen C gramman lukumäärää ajankohtana t, ja K on suhteellisuusvakio. Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Seuraavat muutokset:

Meillä on, että yhtälöstä tulee:

Tästä lausekkeesta voimme saada:

Jos jos ifb, integrointiin voidaan käyttää osittaisia ​​murto-osia.

esimerkki

Otetaan esimerkiksi aine C, joka syntyy yhdistämällä aine A ja B siten, että massalaki täyttyy, kun a ja b arvot ovat vastaavasti 8 ja 6. Anna yhtälö, joka antaa meille C gramman arvon ajan funktiona.

Korvaavat annetun joukkolain arvot, meillä on:

Kun erotamme muuttujia, meillä on:

Täällä 1 / (8 - x) (6 - x) voidaan kirjoittaa osaosien summana seuraavasti:

Siten 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jos korvaamme x: lla 6, meillä on B = 1/2; ja korvaamalla x x: lla, meillä on A = - 1/2.

Integroituminen osittaisilla murto-osilla meillä on:

Tämä antaa meille seurauksena:

Differentiaaliyhtälöt: logistinen yhtälö

Toinen sovellus, joka voidaan antaa osittaisille murto-osille, on logistisessa differentiaaliyhtälössä. Yksinkertaisten mallien mukaan väestön kasvuvauhti on verrannollinen sen kokoon; tarkoittaen:

Tämä tapaus on ihanteellinen ja sitä pidetään realistisena, kunnes tapahtuu, että järjestelmässä käytettävissä olevat resurssit ovat riittämättömät väestön tukemiseksi.

Näissä tilanteissa järkevin asia on ajatella, että on olemassa maksimikapasiteetti, jota kutsumme L: ksi, että järjestelmä pystyy ylläpitämään ja että kasvunopeus on verrannollinen väestön kokoon kerrottuna käytettävissä olevalla koosta. Tämä argumentti johtaa seuraavaan erotusyhtälöön:

Tätä lauseketta kutsutaan logistiseksi differentiaaliyhtälöksi. Se on erotettava differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista osittaisen jakeen integraatiomenetelmällä.

esimerkki

Esimerkki olisi harkita populaatiota, joka kasvaa seuraavan logistisen differentiaaliyhtälön mukaan y '= 0.0004y (1000 - y), jonka alkuperäiset tiedot ovat 400. Haluamme tietää populaation koon hetkellä t = 2, missä t mitataan vuosissa.

Jos kirjoitamme y 'Leibnizin merkinnällä funktiona, joka riippuu t: stä, meillä on:

Vasemmalla puolella oleva integraali voidaan ratkaista käyttämällä osittaisen jakeen integraatiomenetelmää:

Voimme kirjoittaa viimeisen tasa-arvon uudelleen seuraavasti:

- Korvaamalla y = 0 meillä on, että A on yhtä suuri kuin 1/1000.

- Korvaamalla y = 1000 meillä on, että B on yhtä suuri kuin 1/1000.

Näillä arvoilla integraali on seuraava:

Ratkaisu on:

Alkutietojen käyttäminen:

Kun selvitys ja meillä on:

Sitten meillä on arvo t = 2:

Yhteenvetona voidaan todeta, että kahden vuoden kuluttua väkiluku on noin 597,37.

Viitteet

1. A, RA (2012). Matematiikka 1. Universidad de los Andes. Julkaisutoimikunta.
2. Cortez, I., ja Sanchez, C. (toinen). 801 Erotetut integraalit. Tachiran kansallinen kokeellinen yliopisto.
3. Leithold, L. (1992). Laskenta analyyttisellä geometrialla. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Laskeminen. Meksiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (toinen). Integroitu laskenta. Hypotenuusa.