PARALLEPIPED: OMINAISUUDET, TYYPIT, ALUE, TILAVUUS - MATEMATIIKKA - 2025

Suuntaissärmiö on geometrinen runko koostuu kuusi pintaa, tärkein ominaisuus on se, että kaikki sen kasvot ovat suunnikkaita ja myös, että sen vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaisia toisiinsa nähden. Se on tavallinen monihalkaisija jokapäiväisessä elämässämme, koska voimme löytää sen kenkälaatikoista, tiilen muodosta, mikroaaltouunista jne.

Koska ne ovat moniarvoisia, suuntaissärmi sulkee äärellisen tilavuuden ja kaikki sen pinnat ovat tasaiset. Se on osa prismien ryhmää, joka on ne monihuiskeet, joissa kaikki sen kärjet ovat kahdessa rinnakkaisessa tasossa.

Parallelepiped-elementit

Faces

Ne ovat kutakin aluetta, jotka muodostuvat suuntaissymbolien avulla, jotka rajoittavat suuntaissärmiötä. Suuntaissärmiöllä on kuusi pintaa, joissa molemmissa pinnoissa on neljä vierekkäistä pintaa ja yksi vastapäätä. Kukin pinta on myös yhdensuuntainen sen vastakkaisen kanssa.

reunat

Ne ovat kahden kasvon yhteinen puoli. Yhteensä suuntaissärmiöllä on kaksitoista reunaa.

kärki

Se on yhteinen piste kolmella pinnalla, jotka ovat vierekkäin toistensa kanssa kaksi. Suuntaissärmiöllä on kahdeksan huippua.

diagonaalinen

Koska kaksi suuntaissärmiön pintaa toisiaan vastapäätä, voimme piirtää linjaosan, joka menee yhden pinnan kärjestä toisen vastakkaiselle kärkeen.

Tämä segmentti tunnetaan suuntaissärmiön diagonaalina. Jokaisella suuntaissärmiöllä on neljä diagonaalia.

Keskusta

Se on kohta, jossa kaikki diagonaalit leikkaavat.

Parallepipipedin ominaisuudet

Kuten jo mainitsimme, tällä geometrisellä rungolla on kaksitoista reunaa, kuusi pintaa ja kahdeksan huippua.

Suuntaissärmiössä voidaan identifioida kolme sarjaa, jotka muodostavat neljä reunaa, jotka ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Lisäksi mainittujen sarjojen reunoilla on myös ominaisuus, että niillä on sama pituus.

Toinen ominaisuus, joka suuntaissärmiöillä on, on, että ne ovat kuperat, ts. Jos otamme jonkin suuntaissärmiön sisäpuolelle kuuluvat pisteparit, mainitun pisteparin määrittelemä segmentti on myös suuntaissärmiön sisällä.

Lisäksi suuntaissärmiöt, jotka ovat kuperia moniraitaisia, noudattavat Eulerin lauseketta moniarvoisista, mikä antaa meille suhteen pintojen lukumäärän, reunojen lukumäärän ja kärkien lukumäärän välillä. Tämä suhde annetaan seuraavan yhtälön muodossa:

C + V = A + 2

Tämä ominaisuus tunnetaan Euler-ominaisuutena.

Missä C on pintojen lukumäärä, V huippujen lukumäärä ja A reunojen lukumäärä.

Tyypit

Voimme luokitella suuntaissärmiöt niiden kasvojen perusteella seuraaviin tyyppeihin:

Orthohedron

Ne ovat suuntaissärmiöitä, joissa heidän kasvonsa on muodostettu kuudesta suorakulmiosta. Jokainen suorakulmio on kohtisuora niille, joilla on reuna. Ne ovat tavallisimpia päivittäisessä elämässämme, tämä on kenkälaatikoiden ja tiilien tavallinen muoto.

Tavallinen kuutio tai heksaedra

Tämä on erityinen tapaus edellisestä, jossa jokainen pinta on neliö.

Kuutio on myös osa geometrisistä kappaleista, joita kutsutaan platoonisiksi kiinteiksi aineiksi. Platooninen kiinteä aine on kupera monihalkaisija, niin että sen molemmat pinnat ja sisäkulmat ovat yhtä suuret.

romboedrisen

Se on rinnan suuntaissärmi rombien kanssa. Nämä rombit ovat kaikki keskenään samanlaisia, koska niillä on yhteiset reunat.

romboedrisen

Sen kuusi kasvot ovat rhboboideja. Muista, että rhomboidi on monikulmio, jolla on neljä sivua ja neljä kulmaa, jotka ovat yhtä suuret kuin kaksi. Rombot ovat rinnakkaisia, jotka eivät ole neliöitä, suorakulmioita tai rombuja.

Toisaalta kaltevat rinnakkaisputket ovat sellaisia, joissa ainakin yksi korkeus ei ole reunan mukainen. Tähän luokitukseen voidaan sisällyttää rhombohedra ja rhombohedra.

Diagonaalien laskenta

Laskea lävistäjä sellaisen orthohedron voimme käyttää Pythagoraan lausetta R ³.

Muista, että ortoedrolla on ominaisuus, että molemmat sivut ovat kohtisuorassa reunoja vastaaviin sivuihin. Tästä tosiasiasta voidaan päätellä, että jokainen reuna on kohtisuora niille, joilla on kärkipiste.

Ortopeedron diagonaalin pituuden laskemiseksi toimimme seuraavasti:

1. Laskemme yhden pinnan lävistäjän, jonka asetamme pohjaksi. Tätä varten käytämme Pythagoran lausetta. Nimeämme tämä diagonaali d _b.

2. Sitten d _{b: llä} voimme muodostaa uuden oikean kolmion, niin että mainitun kolmion hypotenuusi on diagonaali D, jota etsimme.

3. Käytämme taas Pythagoran lauseen ja olemme, että tämän diagonaalin pituus on:

Toinen tapa laskea diagonaalit graafisemmalla tavalla on lisäämällä vapaita vektoreita.

Muista, että kaksi vapaata vektoria A ja B lisätään asettamalla vektorin B häntä vektorin A kärkeen.

Vektori (A + B) on se, joka alkaa A: n hännästä ja päättyy B: n kärkeen.

Tarkastellaan suuntaissärmiötä, jolle haluamme laskea diagonaalin.

Tunnistamme reunat sopivasti suuntautuneilla vektoreilla.

Sitten lisäämme nämä vektorit ja tuloksena oleva vektori on suuntaissärmiön diagonaali.

alue

Suuntaissärmiön pinta-ala saadaan sen pintojen kunkin alueen summan perusteella.

Jos määrittelemme toisen sivun pohjaksi, A _L + 2A _B = kokonaispinta-ala

Missä A _L on yhtä suuri kuin kaikkien pohjan vierekkäisten puolien pinta-ala, jota kutsutaan sivupinta-alaksi ja A _B on pohjan pinta-ala.

Voimme kirjoittaa tämän kaavan uudelleen sen mukaan, minkä tyyppisellä suuntaissärmiöllä työskentelemme.

Ortoedronin alue

Se annetaan kaavalla

A = 2 (ab + bc + ca).

Esimerkki 1

Kun otetaan huomioon seuraava ortoedroni, jonka sivut ovat a = 6 cm, b = 8 cm ja c = 10 cm, laske suuntaissärmiön pinta-ala ja sen diagonaalin pituus.

Käyttämällä kaavaa ortoedronin alueelle meillä on se

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Huomaa, että koska se on ortoedroni, minkä tahansa sen neljästä diagonaalista on sama.

Käyttämällä Pythagoran lauseen avaruuteen meillä on

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Kuution alue

Koska jokaisella reunalla on sama pituus, meillä on a = b ja a = c. Korvaaminen edellisessä kaavassa, joka meillä on

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Esimerkki 2

Pelikonsolin laatikko on kuution muotoinen. Jos haluamme kääriä tämän laatikon lahjakäärellä, kuinka paljon paperia kuluttaisimme tietäessämme, että kuution reunojen pituus on 45 cm?

Käyttämällä kaavaa kuution pinta-alalle saadaan se

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Romboedronin alue

Koska kaikki heidän kasvot ovat samat, laske vain toisen pinta-ala ja kerro se kuudeksi.

Meillä on, että rommin pinta-ala voidaan laskea diagonaaliensa avulla seuraavalla kaavalla

A _R = (Dd) / 2

Tätä kaavaa käyttämällä seuraa, että romboedronin kokonaispinta-ala on

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Esimerkki 3

Seuraavan romboedronin pinnat muodostuu romusta, jonka diagonaalit ovat D = 7 cm ja d = 4 cm. Alueesi tulee olemaan

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Romboedronin alue

Romboedronin alueen laskemiseksi meidän on laskettava sitä muodostavien rhomboidien pinta-ala. Koska suuntaissärmiöt täyttävät ominaisuuden, että vastakkaisilla puolilla on sama alue, voimme yhdistää sivut kolmeen pariin.

Tällä tavalla meillä on, että alueesi tulee olemaan

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Missä b _i ovat sivuihin liittyvät emäkset ja h _i niiden suhteellinen korkeus vastaa näitä emäksiä.

Esimerkki 4

Tarkastellaan seuraavaa suuntaissärmiötä,

missä puolella A ja puolella A '(sen vastakkaisella puolella) on pohja b = 10 ja korkeus h = 6. Merkityn alueen arvo on

₁ = 2 (10) (6) = 120

B: llä ja B ': llä on b = 4 ja h = 6, joten

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC: llä ja C ': llä on siis b = 10 ja h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Lopuksi romboedronin alue on

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Suuntaissärmiön tilavuus

Kaava, joka antaa meille suuntaissärmiön tilavuuden, on sen yhden pinnan alueen tulo kyseistä pintaa vastaavalla korkeudella.

V = A _C h _C

Suuntaissärmiötyypistä riippuen tätä kaavaa voidaan yksinkertaistaa.

Siten meillä on esimerkiksi, että ortopeedron tilavuus annetaan

V = abc.

Missä a, b ja c edustavat ortoedronin reunojen pituutta.

Ja erityisessä tapauksessa kuutio on

V = a ³

Esimerkki 1

Evästelaatikoille on kolme eri mallia, ja haluat tietää, mihin näistä malleista voit tallentaa enemmän evästeitä, eli kumpi laatikoista on suurin.

Ensimmäinen on kuutio, jonka reunan pituus on a = 10 cm

Sen tilavuus on V = 1000 cm ³

Toisessa on reunat b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Ja sen vuoksi sen tilavuus on V = 765 cm ³

Ja kolmannella on e = 9 cm, f = 9 cm ja g = 13 cm

Ja sen tilavuus on V = 1053 cm ³

Siksi laatikko, jolla on suurin tilavuus, on kolmas.

Toinen menetelmä suuntaissärmiön tilavuuden saamiseksi on käyttää vektorialgebraa. Erityisesti kolminkertainen pistetuote.

Yksi geometrisistä tulkinnoista, jotka kolmoisskaalaarisella tuotteella on, on suuntaissärmiön tilavuus, jonka reunat ovat kolme vektoria, joilla on sama kärki kuin lähtöpiste.

Tällä tavoin, jos meillä on suuntaissärmi ja haluamme tietää mikä on sen tilavuus, riittää, kun edustamme sitä R ^3: n koordinaattijärjestelmässä tekemällä yksi sen pisteistä samaan alkuperään.

Sitten edustamme reunoja, jotka ovat samoja lähtökohdassa vektorien kanssa, kuten kuvassa.

Ja tällä tavalla meillä on, että mainitun suuntaissärmiön tilavuuden antaa

V = - AxB ∙ C-

Tai vastaavasti tilavuus on 3 x 3 -matriisin determinantti, jonka reunavektorien komponentit muodostavat.

Esimerkki 2

Kun edustavat seuraavat suuntaissärmiön R ³ voidaan nähdä, että vektorit, jotka määrittävät sen, ovat seuraavat

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ja w = (-0,25, -4, 4)

Käyttämällä meillä olevaa kolminkertaista tuotetta

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Tästä päättelemme, että V = 60

Tarkastellaan nyt seuraavaa R3: n suuntaissärmiötä, jonka reunat määritetään vektoreilla

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ja C = (3, 4, 4)

Määrittäjien käyttö antaa meille sen

Siten meillä on, että mainitun suuntaissärmiön tilavuus on 112.

Molemmat ovat vastaavia tapoja laskea tilavuus.

Täydellinen suuntaissärmiö

Ortoedroni tunnetaan Euler-tiilinä (tai Euler-lohkona), joka täyttää ominaisuuden, että sekä sen reunojen pituus että kunkin sen pinnan diagonaalien pituus ovat kokonaislukuja.

Vaikka Euler ei ollut ensimmäinen tutkija, joka tutki tämän ominaisuuden täyttäviä ortoedreja, hän löysi niistä mielenkiintoisia tuloksia.

Pienimmän Euler-tiilen löysi Paul Halcke, ja sen reunojen pituudet ovat a = 44, b = 117 ja c = 240.

Lukuteorian avoin ongelma on seuraava

Onko olemassa täydellistä ortohedraa?

Tällä hetkellä tähän kysymykseen ei ole vastattu, koska ei ole pystytty todistamaan, että tällaisia ​​elimiä ei ole, mutta kumpaakaan ei ole löytynyt.

Tähän mennessä on osoitettu, että täydellisiä suuntaissärmiöitä on olemassa. Ensimmäisen löydettävän reunojen pituus on arvot 103, 106 ja 271.

bibliografia

1. Guy, R. (1981). Ratkaisemattomat lukuteorian ongelmat. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Edistystä.
3. Leithold, L. (1992). Laskenta analyyttisellä geometrialla. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Tekninen piirustus: Toimintakirja 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., ja Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksiko: Manner.