VAPAUDEN ASTEET: KUINKA NE LASKETAAN, TYYPIT, ESIMERKIT - DUDAS - 2026

Vapausasteet tilastoissa ovat useita itsenäisiä komponentteja satunnaisvektori. Jos vektorilla on n komponenttia ja sen komponentteihin liittyy p lineaarinen yhtälö, niin vapausaste on np.

Vapausasteiden käsite esiintyy myös teoreettisessa mekaniikassa, missä ne vastaavat suunnilleen sen avaruuden ulottuvuutta, jossa hiukkanen liikkuu, miinus sidosten lukumäärä.

Kuva 1. Heiluri liikkuu kahdessa ulottuvuudessa, mutta sillä on vain yksi vapausaste, koska se pakotetaan liikkumaan sädekaarissa L. Lähde: F. Zapata.

Tässä artikkelissa käsitellään tilastoihin sovellettavaa vapausasteiden käsitettä, mutta mekaaninen esimerkki on helpompi visualisoida geometrisessa muodossa.

Vapauden asteen tyypit

Tapa laskea vapausasteiden lukumäärä voi vaihdella tilanteesta, jossa sitä sovelletaan, mutta taustalla oleva idea on aina sama: kokonaismitat vähennettynä rajoitusten määrällä.

Mekaanisessa tapauksessa

Tarkastellaan värähtelevää hiukkasta, joka on sidottu naruun (heiluri), joka liikkuu pystysuunnassa xy-tasossa (2 ulottuvuutta). Hiukkas pakotetaan kuitenkin liikkumaan säteen kehällä, joka on yhtä suuri kuin akordin pituus.

Koska hiukkanen voi liikkua vain siinä käyrässä, vapausasteiden lukumäärä on 1. Tämä voidaan nähdä kuvasta 1.

Tapa laskea vapausasteiden lukumäärä on ottamalla mitojen lukumäärän ero vähennettynä rajoitusten lukumäärällä:

vapausasteet: = 2 (mitat) - 1 (ligatuuri) = 1

Toinen selitys, jonka avulla voimme saavuttaa tuloksen, on seuraava:

- Tiedämme, että sijainti kahdessa ulottuvuudessa esitetään koordinaattipisteellä (x, y).

- Mutta koska pisteen on oltava muuttujan x annetulle arvolle kehän yhtälön (x ² + y ² = L ²) mukainen, muuttuja y määritetään mainitulla yhtälöllä tai rajoituksella.

Tällä tavalla vain yksi muuttujista on riippumattomia ja järjestelmällä on yksi (1) vapausaste.

Satunnaisten arvojen joukossa

Oletetaan vektorin havainnollistaaksesi, mitä käsite tarkoittaa

x = (x ₁, x ₂,…, x _n)

Ne edustavat normaalisti hajautettujen satunnaisarvojen otosta. Tässä tapauksessa satunnaisvektorilla x on n riippumatonta komponenttia ja siksi x: n sanotaan olevan n vapausastetta.

Konstruoidaan nyt jäännösten vektori r

r = (x ₁ -, x ₂ -,…., X _n -)

Missä edustaa näytteen keskiarvoa, joka lasketaan seuraavasti:

= (x ₁ + x ₂ +…. + x _n) / n

Joten summa

(x ₁ -) + (x ₂ -) +…. + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ +…. + x _n) - n= 0

Se on yhtälö, joka edustaa rajoitusta (tai sitoutumista) tähteiden vektorin r elementeissä, koska jos vektorin r n-1 komponentit tunnetaan, restriktioyhtälö määrittää tuntemattoman komponentin.

Siksi mitan n vektori r rajoituksella:

∑ (x _i -) = 0

Sillä on (n - 1) vapausastetta.

Jälleen sovelletaan, että vapausasteiden lukumäärä lasketaan seuraavasti:

vapausasteet: = n (mitat) - 1 (rajoitukset) = n-1

esimerkit

Varianssi ja vapausasteet

Varianssi s ² määritellään n-näytteen näytteen poikkeamien (tai jäännösten) keskiarvona:

s ² = (r • r) / (n-1)

missä r on jäännösten vektori r = (x1 -, x2 - ,…., Xn - ) ja paksu piste (•) on pistetuoteoperaattori. Vaihtoehtoisesti varianssikaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:

s ² = ∑ (x _i -) ² / (n-1)

Joka tapauksessa on huomattava, että laskettaessa jäännösten neliön keskiarvoa, se jaetaan (n-1) eikä n: llä, koska kuten edellisessä osassa keskusteltiin, vektorin r vapausasteiden lukumäärä on (n-1).

Jos varianssin laskennassa jaettaisiin luvulla n (n-1): n sijasta, tuloksella olisi poikkeama, joka on erittäin merkittävä arvoille n alle 50.

Kirjallisuudessa varianssikaava esiintyy myös jakajan n kanssa (n-1) sijasta, kun kyse on populaation varianssista.

Mutta jäännösten satunnaismuuttujan joukolla, jota edustaa vektori r, vaikka sillä on ulottuvuus n, on vain (n-1) vapausaste. Jos datan lukumäärä on kuitenkin riittävän suuri (n> 500), molemmat kaavat yhtyvät samaan tulokseen.

Laskimet ja laskentataulukot tarjoavat sekä varianssin versiot että keskihajonnan (joka on varianssin neliöjuuri).

Tässä esitetyn analyysin perusteella suosituksemme on valita versio (n-1) aina, kun vaaditaan varianssin tai keskihajonnan laskemista, puolueellisten tulosten välttämiseksi.

Vuonna Chi neliön jakelu

Jotkut todennäköisyysjakaumat jatkuvassa satunnaismuuttujassa riippuvat parametrista, jota kutsutaan vapausasteeksi, tämä tapahtuu Chi-neliöjakauman kohdalla (χ ²).

Tämän parametrin nimi tulee juuri sen satunnaisvektorin vapausasteista, jota tämä jakauma koskee.

Oletetaan, että meillä on g populaatiota, joista otetaan näytteen koko n:

X ₁ = (x1 ₁, x1 ₂,…..x1 _n)

X2 = (x2 ₁, x2 ₂,…..x2 _n)

….

X _j = (xj ₁, xj ₂,…..xj _n)

….

Xg = (xg ₁, xg ₂,…..xg _n)

Väestö j, jolla on keskiarvo ja keskihajonta Sj seuraa normaalijakaumaa N (, Sj).

Standardoitu tai normalisoitu muuttuja zj _i määritellään seuraavasti:

zj _i = (xj _i -) / Sj.

Ja vektori Zj on määritelty seuraavasti:

Zj = (zj ₁, zj ₂,…, zj _i,…, zj _n) ja seuraa standardoitua normaalijakaumaa N (0,1).

Joten muuttuja:

Q = ((z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 +…. + Zg ₁ ^ 2),…., (Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 +…. + Zg _n ^ 2))

seuraa χ ² (g) -jakaumaa, jota kutsutaan chi-neliöjakaumaksi vapausasteella g.

Hypoteesikokeessa (ratkaistu esimerkki)

Kun haluat testata hypoteeseja tietyn satunnaisdatan perusteella, sinun on tiedettävä vapausasteiden lukumäärä g voidaksesi soveltaa Chi-neliötestiä.

Kuva 2. Onko jäätelön makuvalinnan ja asiakkaan sukupuolen välillä suhdetta? Lähde: F. Zapata.

Esimerkiksi analysoidaan suklaan tai mansikkajäätelön mieltymyksistä kerättyjä tietoja tietyssä jäätelöbaarissa olevien miesten ja naisten keskuudessa. Kuvassa 2 on yhteenveto siitä, kuinka usein miehet ja naiset valitsevat mansikkaa tai suklaata.

Ensin lasketaan odotettujen taajuuksien taulukko, joka valmistetaan kertomalla rivien kokonaismäärä sarakkeiden kokonaismäärällä jaettuna kokonaistiedoilla. Tulos on esitetty seuraavassa kuvassa:

Kuva 3. Odotettavien taajuuksien laskeminen havaittujen taajuuksien perusteella (arvot sinisellä kuvassa 2). Lähde: F. Zapata.

Sitten Chi-neliö lasketaan (datasta) käyttämällä seuraavaa kaavaa:

χ ² = ∑ (F _o - F _e) ² / F _e

Missä F _o ovat havaitut taajuudet (kuva 2) ja F _e ovat odotetut taajuudet (kuva 3). Summaus menee yli kaikkien rivien ja sarakkeiden, jotka esimerkissämme antavat neljä termeä.

Suoritetun toiminnan jälkeen:

χ ² = 0,2043.

Nyt on tarpeen verrata teoreettiseen Chi-neliöön, joka riippuu vapausasteiden lukumäärästä g.

Meidän tapauksessamme tämä lukumäärä määritetään seuraavasti:

g = (# riviä - 1) (# saraketta - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

Osoittautuu, että tässä esimerkissä vapausasteiden lukumäärä g on 1.

Jos haluat tarkistaa tai hylätä nollahypoteesin (H0: TASTEn ja GENDERin välillä ei ole korrelaatiota), jonka merkitsevyystaso on 1%, teoreettinen Chi-neliöarvo lasketaan vapauden asteella g = 1.

Tarvitaan arvoa, joka tekee kertyneestä taajuudesta (1 - 0,01) = 0,99, eli 99%. Tämä arvo (joka voidaan saada taulukoista) on 6 636.

Koska teoreettinen Chi ylittää lasketun, nollahypoteesi varmennetaan.

Toisin sanoen kerättyjen tietojen kanssa ei havaita mitään suhdetta muuttujien TASTE ja GENDER välillä.

Viitteet

1. Minitab. Mitkä ovat vapausasteet? Palautettu osoitteesta: support.minitab.com.
2. Moore, David. (2009) Perustilastot. Antoni Bosch -toimittaja.
3. Leigh, Jennifer. Kuinka laskea vapausasteet tilastollisissa malleissa. Palautettu osoitteesta: geniolandia.com
4. Wikipedia. Vapausaste (tilastot). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Vapausaste (fyysinen). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com