ANALYYTTISEN GEOMETRIAN HISTORIALLINEN TAUSTA - MATEMATIIKKA - 2026

Aiemmat historialliset vaiheet ja analyyttistä geometriaa palata seitsemästoista luvulla, kun Pierre de Fermat René Descartes määritteli perusajatukseen. Hänen keksintönsä seurasi François Vièten algebran ja algebran merkinnän nykyaikaistamista.

Tällä kentällä on tukikohtansa muinaisessa Kreikassa, erityisesti Apolloniuksen ja Euclidin teoksissa, joilla oli suuri vaikutus tällä matematiikan alueella.

Analyyttisen geometrian keskeinen idea on, että kahden muuttujan välinen suhde, joka on toisen funktio, määrittelee käyrän.

Tämän idean kehitti ensin Pierre de Fermat. Tämän välttämättömän kehyksen ansiosta Isaac Newton ja Gottfried Leibniz pystyivät kehittämään laskennan.

Ranskalainen filosofi Descartes löysi myös algebrallisen lähestymistavan geometriaan, ilmeisesti yksin. Descartesin työ geometrian suhteen esiintyy hänen kuuluisassa kirjassaan Diskurssi menetelmästä.

Tämä kirja huomauttaa, että kompassi ja suora reunageometriset rakenteet sisältävät summauksen, vähennyslaskun, kertolaskun ja neliöjuuret.

Analyyttinen geometria edustaa kahden matematiikan tärkeän perinteen yhdistämistä: geometria muodon tutkimiseksi sekä aritmeettinen ja algebra, jotka liittyvät määrään tai lukuihin. Siksi analyyttinen geometria on geometrian kentän tutkiminen koordinaattijärjestelmiä käyttämällä.

Historia

Analyyttisen geometrian tausta

Geometrian ja algebran välinen suhde on kehittynyt koko matematiikan historian ajan, vaikka geometria saavutti aikaisemman kypsyysasteen.

Esimerkiksi kreikkalainen matemaatikko Euclid pystyi järjestämään monia tuloksia klassisessa kirjassaan Elements.

Mutta Pergan muinaiskreikkalainen Apollonius ennusti analyyttisen geometrian kehittymisen kirjassaan Conics. Hän määritti kartion kartion ja tason leikkaukseksi.

Käyttäen Euclidin tuloksia samanlaisissa kolmioissa ja ympyrän sektoreissa, hän löysi suhteen, joka annettiin etäisyyksiltä kartion mistä tahansa kohdasta "P" kahteen kohtisuoraan linjaan, kartion pääakseliin ja tangenttiin akselin päätepisteessä. Apollonius käytti tätä suhdetta päätelläkseen kartiomaisten perusominaisuuksia.

Myöhempi koordinaatistojärjestelmien kehitys matematiikassa ilmestyi vasta sitten, kun algebra oli kypsynyt islamin ja intian matemaatikoiden ansiosta.

Ennen renessanssia geometriaa käytettiin perustelemaan algebran ongelmien ratkaisuja, mutta algebra ei voinut vaikuttaa geometriaan.

Tämä tilanne muuttuu hyväksymällä sopiva merkintä algebralle suhteelle ja kehittämällä matemaattisen funktion käsite, joka oli nyt mahdollista.

Century XVI

1500-luvun lopulla ranskalainen matemaatikko François Viète esitteli ensimmäisen systemaattisen algebran merkinnän, jossa kirjaimia käytetään edustamaan numeerisia määriä, sekä tunnettuja että tuntemattomia.

Hän kehitti myös tehokkaita yleisiä menetelmiä algebrallisten lausekkeiden käsittelemiseksi ja algebran yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Tämän ansiosta matemaatikot eivät olleet täysin riippuvaisia ​​geometrisista hahmoista ja geometrisesta intuitiosta ongelmien ratkaisemiseksi.

Jopa jotkut matemaatikot alkoivat luopua tavanomaisesta geometrisesta ajattelutavasta, jonka mukaan pituuksien ja neliöiden lineaarimuuttujat vastaavat alueita, kun taas kuutiomuuttujat vastaavat tilavuuksia.

Ensimmäiset tämän askeleen ottivat filosofi ja matemaatikko René Descartes sekä lakimies ja matemaatikko Pierre de Fermat.

Analyyttisen geometrian perusta

Descartes ja Fermat perustivat itsenäisesti analyyttisen geometrian 1630-luvulla, ottaen käyttöön Vièten algebran lokuksen tutkimiseksi.

Nämä matemaatikot tajusivat, että algebra oli tehokas työkalu geometriassa, ja keksi sen, mitä nykyään kutsutaan analyyttiseksi geometriaksi.

Yksi läpimurto oli ylittää Viète käyttämällä kirjaimia edustamaan etäisyyksiä, jotka ovat pikemminkin muuttuvia kuin kiinteitä.

Descartes käytti yhtälöitä tutkiessaan geometrisesti määritettyjä käyriä, ja korosti tarvetta ottaa huomioon polynomiyhtälöiden yleiset algebra-graafiset käyrät asteissa "x" ja "y".

Fermat puolestaan ​​korosti, että koordinaattien "x" ja "y" välinen suhde määrittää käyrän.

Näitä ajatuksia käyttämällä hän uudisti Apolloniuksen lausunnot algebrallisilla termeillä ja palautti osan kadonneesta työstään.

Fermat ilmoitti, että kaikki "x": n ja "y": n neliömäiset yhtälöt voidaan sijoittaa yhden kartiomaisen osan vakiomuotoon. Tästä huolimatta Fermat ei koskaan julkaissut aiheeseensa liittyvää työtä.

Edistymisen ansiosta, mitä Archimedes pystyi ratkaisemaan vain suurista vaikeuksista, ja yksittäisissä tapauksissa Fermat ja Descartes pystyivät ratkaisemaan nopeasti ja monille käyrille (tunnetaan nykyään algebrallisina käyrinä).

Mutta hänen ajatuksensa saivat yleisen hyväksynnän vasta muiden matemaatikkojen ponnisteluilla 1700-luvun jälkipuoliskolla.

Matemaatikot Frans van Schooten, Florimond de Beaune ja Johan de Witt auttoivat laajentamaan Decartesin työtä ja lisäsivät tärkeätä lisämateriaalia.

Vaikutus

Englannissa John Wallis popularisoi analyyttistä geometriaa. Hän käytti yhtälöitä kartiomaisten määrittelemiseen ja niiden ominaisuuksien laskemiseen. Vaikka hän käytti negatiivisia koordinaatteja vapaasti, Isaac Newton käytti kahta vinoakselia jakamaan koneen neljään kvadranttiin.

Newton ja saksalainen Gottfried Leibniz mullistivat matematiikan 1700-luvun lopulla osoittamalla itsenäisesti laskennallisen voiman.

Newton osoitti analyyttisten menetelmien merkityksen geometriassa ja niiden roolin laskennassa, kun hän väitti, että millä tahansa kuutiolla (tai millä tahansa kolmannen asteen algebrallisella käyrällä) on kolme tai neljä vakioyhtälöä sopiville koordinaattiakseleille. Skotlantilainen matemaatikko John Stirling todisti sen Newtonin avulla vuonna 1717.

Kolmen tai useamman ulottuvuuden analyyttinen geometria

Vaikka sekä Descartes että Fermat ehdottivat kolmen koordinaatin käyttämistä avaruudessa olevien käyrien ja pintojen tutkimiseen, kolmiulotteinen analyyttinen geometria kehittyi hitaasti vuoteen 1730 asti.

Matemaatikot Euler, Hermann ja Clairaut tuottivat yleiset yhtälöt sylintereille, kartioille ja vallankumouksellisille pinnoille.

Esimerkiksi Euler käytti yhtälöitä avaruudessa tapahtuviin käännöksiin muuntaa yleinen neliöpinta siten, että sen pääakselit ovat samansuuntaiset sen koordinaattiakseleiden kanssa.

Euler, Joseph-Louis Lagrange ja Gaspard Monge tekivät analyyttisen geometrian riippumattomaksi synteettisestä (ei-analyyttisestä) geometriasta.

Viitteet

1. Analyyttisen geometrian kehitys (2001). Palautettu encyclopedia.com-sivustosta
2. Analyyttisen geometrian historia (2015). Palautettu maasta.org
3. Analyysi (matematiikka). Palautettu osoitteesta britannica.com
4. Analyyttinen geometria. Palautettu osoitteesta britannica.com
5. Descartes ja analyyttisen geometrian synty. Palautettu osoitteesta sciencedirect.com