- Esimerkkejä antiderivaaleista
- Differentiaaliyhtälöt
- Antiderivaattiiviset harjoitukset
- - Harjoitus 1
- Ratkaisu
- Ratkaisu b
- Ratkaisu c
- Ratkaisu e
- - Harjoitus 2
- Ratkaisu
- Viitteet
Integraalifunktio F (x) funktio f (x) on myös kutsutaan primitiivinen tai yksinkertaisesti toistaiseksi integraali mainitun funktion, jos tietyllä välin I, se on täytetty, että F'(x) = f (x)
Otetaan esimerkiksi seuraava toiminto:
f (x) = 4x 3
Tämän funktion antiderivaatti on F (x) = x 4, koska erotettaessa F (x) käyttämällä johdannaissääntöä voimille:
Saamme juuri f (x) = 4x 3.
Tämä on kuitenkin vain yksi monista f (x) -johdannaisista, koska tämä toinen funktio: G (x) = x 4 + 2 on myös, koska kun erotellaan G (x) x: n suhteen, saadaan sama takaisin f (x).
Katsotaanpa sitä:
Muista, että vakion johdannainen on 0. Siksi voimme lisätä minkä tahansa vakion termiään 4 ja sen johdannainen pysyy 4x 3.
Johtopäätöksenä on, että mikä tahansa yleisen muodon F (x) = x 4 + C funktio, jossa C on todellinen vakio, toimii f (x): n vastajohdannaisena.
Yllä oleva havainnollistava esimerkki voidaan ilmaista tällä:
dF (x) = 4x 3 dx
Antiderivaatti tai määrittelemätön integraali ilmaistaan symbolilla ∫, siksi:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Jossa funktio f (x) = 4x 3 kutsutaan integroitava, ja C on vakio integraation.
Esimerkkejä antiderivaaleista
Kuva 1. Antiderivaatti on vain määrittelemätön integraali. Lähde: Pixabay.
Funktion vastajohdannaisen löytäminen on suoraviivaista joissakin tapauksissa, joissa johdannaiset ovat hyvin tunnettuja. Olkoon esimerkiksi funktio f (x) = sin x, sen antiderivaatti on toinen funktio F (x), niin että erotettaessa saadaan f (x).
Tämä tehtävä voi olla:
F (x) = - cos x
Tarkistetaan, että se on totta:
F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x
Siksi voimme kirjoittaa:
∫sen x dx = -cos x + C
Johdannaisten tuntemisen lisäksi on olemassa joitain perus- ja yksinkertaisia integraatiosääntöjä antiderivaatin tai määrittelemättömän integraalin löytämiseksi.
Olkoon k todellinen vakio, sitten:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Jos funktio h (x) voidaan ilmaista kahden funktion summauksena tai vähennyksenä, niin sen rajaton integraali on:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Tämä on lineaarisuuden ominaisuus.
Integraalien voimasääntö voidaan vahvistaa tällä tavalla:
Tapauksessa n = -1 käytetään seuraavaa sääntöä:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
On helppo osoittaa, että ln x: n johdannainen on tarkalleen x -1.
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaalinen yhtälö on sellainen, jossa tuntematon löytyy johdannaiseksi.
Nyt edellisestä analyysistä on helppo ymmärtää, että käänteinen operaatio johdannaiselle on antiderivaatti tai määrittelemätön integraali.
Olkoon f (x) = y´ (x), ts. Tietyn funktion johdannainen. Voimme käyttää seuraavaa merkintää osoittaaksesi tämän johdannaisen:
Tästä seuraa heti, että:
Erotteluyhtälön tuntematon on funktio y (x), jonka johdannainen on f (x). Sen ratkaisemiseksi edellinen lauseke on integroitu molemmille puolille, mikä vastaa antiderivaatin soveltamista:
Vasen integraali ratkaistaan integraatiosäännöllä 1, k = 1, siten ratkaisemalla haluttu tuntematon:
Ja koska C on todellinen vakio, jotta tiedät kumpi on sopiva kussakin tapauksessa, lauseen on sisällettävä tarpeeksi lisätietoja C: n arvon laskemiseksi. Tätä kutsutaan alkuehdoksi.
Näemme seuraavassa osassa esimerkkejä kaiken tämän soveltamisesta.
Antiderivaattiiviset harjoitukset
- Harjoitus 1
Käytä integraatiosääntöjä saadaksesi seuraavat antiderivaatit tai määrittelemättömät integraalit tietyistä funktioista yksinkertaistamalla tuloksia niin paljon kuin mahdollista. Tulos on kätevä tarkistaa johdannaisilla.
Kuva 2. Antiderivaattien tai tiettyjen integraalien harjoitukset. Lähde: Pixabay.
Ratkaisu
Sovelemme ensin sääntöä 3, koska integrandi on kahden lausekkeen summa:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Ensimmäiseen integraaliin sovelletaan tehosääntöä:
∫ dx = (x 2 /2) + C 1
Toisessa kiinteässä säännössä 1 sovelletaan, missä k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
Ja nyt tulokset lisätään. Nämä kaksi vakiota on ryhmitelty yhteen, yleisesti nimeltään C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + 7x + C
Ratkaisu b
Lineaarisesti tämä integraali hajotetaan kolmeksi yksinkertaisemmaksi integraaliksi, joihin sovelletaan tehosääntöä:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
Huomaa, että jokaiselle integraalille ilmestyy vakiointegraatio, mutta ne tapaavat yhden puhelun C.
Ratkaisu c
Tässä tapauksessa on sopivaa soveltaa kertolaskun jakautuvaa ominaisuutta integrandin kehittämiseksi. Sitten voimasääntöä käytetään kunkin integraalin löytämiseen erikseen, kuten edellisessä harjoituksessa.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Huolellinen lukija huomauttaa, että kaksi keskeistä termiä ovat samankaltaisia, joten niitä pienennetään ennen integrointia:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Ratkaisu e
Yksi tapa ratkaista integraali olisi kehittää voimaa, kuten tehtiin esimerkissä d. Koska eksponentti on korkeampi, olisi kuitenkin suositeltavaa muuttaa muuttujaa, jotta ei tarvitse tehdä niin pitkää kehitystä.
Muuttujan muutos on seuraava:
u = x + 7
Tämän ilmauksen saaminen molemmille osapuolille:
du = dx
Integroitu muutetaan yksinkertaisemmaksi uudella muuttujalla, joka ratkaistaan tehosääntöllä:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Lopuksi muutos palautetaan alkuperäisen muuttujan palaamiseksi:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Harjoitus 2
Hiukkanen on aluksi levossa ja liikkuu x-akselia pitkin. Sen kiihtyvyys t> 0: lle annetaan funktiona a (t) = cos t. Tiedetään, että t = 0, sijainti on x = 3, kaikki kansainvälisen järjestelmän yksiköissä. Pyydetään löytämään partikkelin nopeus v (t) ja sijainti x (t).
Ratkaisu
Koska kiihtyvyys on nopeuden ensimmäinen johdannainen suhteessa aikaan, meillä on seuraava differentiaaliyhtälö:
a (t) = v´ (t) = cos t
Tästä seuraa, että:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
Toisaalta tiedämme, että nopeus on puolestaan sijainnin johdannainen, siksi integroimme uudelleen:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C 1) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Integroitumisen vakiot määritetään lausunnossa annettujen tietojen perusteella. Ensinnäkin siinä sanotaan, että hiukkanen oli alun perin levossa, joten v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Sitten meillä on x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Nopeus- ja sijaintitoiminnot ovat ehdottomasti seuraavat:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Viitteet
- Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoralin kansallinen yliopisto.
- Larson, R. 2010. Muuttujan laskeminen. 9. päivänä. Painos. McGraw Hill.
- Matematiikan ilmaiset tekstit. Integraalifunktio. Palautettu osoitteesta: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Integraalifunktio. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Määrittelemätön integraatio. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.