KAARI (GEOMETRIA): MITTA, KAARETYYPIT, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Kaari, geometria, on mikä tahansa kaareva viiva, joka yhdistää kaksi pistettä. Kaareva viiva, toisin kuin suora viiva, on sellainen, jonka suunta on erilainen jokaisessa pisteessä. Kaaren vastakohta on segmentti, koska tämä on suora osa, joka yhdistää kaksi pistettä.

Geometriassa yleisimmin käytetty kaari on kehän kaari. Muita yleisesti käytettyjä kaareja ovat parabolinen kaari, elliptinen kaari ja ajojohdin. Kaaren muotoa käytetään myös usein arkkitehtuurissa koriste-elementtinä ja rakenneosana. Tämä koskee ovien ja ikkunoiden verhoja, samoin kuin siltoja ja vesijohtoja.

Kuva 1. Sateenkaari on kaareva viiva, joka yhdistää horisontin kaksi pistettä. Lähde: Pixabay

Kaari ja sen mitta

Kaaren mitta on sen pituus, joka riippuu kahta pistettä yhdistävän käyrän tyypistä ja niiden sijainnista.

Pyöreän kaaren pituus on yksi helpoimmista laskea, koska koko kaarin tai kehän kehän pituus tunnetaan.

Ympyrän kehä on kaksi pi kertaa sen säteen: p = 2 π R. Tietäen tämän, jos haluamme laskea kulman α (radiaaneina mitatun) ympyräkaarin pituuden s ja säteen R, käytetään suhdetta:

(s / p) = (a / 2 π)

Sitten, poistamalla s edellisestä lausekkeesta ja korvaamalla kehä p sen ilmaisulla säteen R funktiona, meillä on:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Toisin sanoen, ympyräkaarin mitta on tulo sen kulma-avausajasta, joka on ympyräkaaren säde.

Kaarelle yleensä ongelma on monimutkaisempi siihen pisteeseen, että antiikin suuret ajattelijat väittivät, että se oli mahdoton tehtävä.

Vasta differentiaalisen ja kiinteän laskennan tullessa vuonna 1665 minkä tahansa kaarin mittausongelma ratkaistiin tyydyttävästi.

Ennen differentiaalisen laskennan keksimistä ratkaisut voitiin löytää vain käyttämällä monikulmaisia ​​viivoja tai ympyräkaareja, jotka lähentyivät todellista kaaria, mutta nämä ratkaisut eivät olleet tarkkoja.

Tyypit jousista

Geometrian kannalta kaarit luokitellaan kaarevan viivan mukaan, joka yhdistää kaksi tason pistettä. Käyttötarkoituksen ja arkkitehtuurimuodon mukaan on olemassa muita luokituksia.

Pyöreä kaari

Kun linja, joka yhdistää kaksi pistettä tasossa, on tietyn säteen kehän pala, meillä on pyöreä kaari. Kuvio 2 esittää pyöreää kaaria c, jonka säde R on kytkentäpisteiden A ja B.

Kuva 2. Säteen R pyöreä kaari, joka yhdistää kohdat A ja B. Kehittäjä Ricardo Pérez.

Parabolinen kaari

Parabooli on polku, jota seuraa esine, joka on heitetty vinosti ilmaan. Kun kahta pistettä yhdistävä käyrä on parabooli, niin meillä on kuvassa 3 esitetyn kaltainen parabolinen kaari.

Kuva 3. Parabolinen valokaaren kytkentäpisteet A ja B. Kehittäjä Ricardo Pérez.

Tämä on vesisuihkun muoto, joka tulee ulospäin osoittavasta letkusta. Parabolinen kaari voidaan havaita vesilähteissä.

Kuva 4. Parabolinen kaari, jonka vesi muodostaa Dresdenin suihkulähteestä. Lähde: Pixabay.

Ajokaari

Ajojohdin on toinen luonnollinen kaari. Ajojohdin on käyrä, joka muodostuu luonnollisesti, kun ketju tai köysi roikkuu löysästi kahdesta erillisestä kohdasta.

Kuva 5. Verkkokaari ja vertailu paraboliseen kaariin. Valmistaja Ricardo Pérez.

Ajojohdin on samanlainen kuin parabooli, mutta se ei ole täsmälleen sama kuin kuvasta 4 voidaan nähdä.

Käännettyä ajokaaria käytetään arkkitehtuurissa suuren puristuslujuuden rakenneosana. Itse asiassa sen voidaan osoittaa olevan vahvin tyyppi jousta kaikista mahdollisista muodoista.

Kiinteän ajokaarin rakentamiseksi kopioi vain roikkuvan köyden tai ketjun muoto ja kopioitu muoto sitten käännetään toistamaan se oven tai ikkunan liitoslevyllä.

Elliptinen kaari

Kaari on elliptinen, jos kahta pistettä yhdistävä käyrä on pala ellipsiä. Ellipsi määritellään pisteeksi, jonka etäisyys kahteen annettuun pisteeseen lisää aina vakion määrän.

Ellipsi on luonnossa esiintyvä käyrä: se on aurinkoa ympäröivien planeettojen lentoradan käyrä, kuten Johannes Kepler osoitti vuonna 1609.

Käytännössä ellipsi voidaan piirtää kiinnittämällä kaksi tukia maahan tai kaksi tappia paperipalaan ja sitomalla niille naru. Sitten köysi kiristetään merkinnällä tai lyijykynällä ja käyrä jäljitetään. Pala ellipsistä on elliptinen kaari. Seuraava animaatio kuvaa kuinka ellipsi piirretään:

Kuva 5. ellipsin jäljittäminen kireällä köydellä. Lähde: Wikimedia Commons

Kuvio 6 esittää elliptisen kaaren yhdistäviä pisteitä G ja H.

Kuva 6. Kaksi pistettä yhdistävä elliptinen kaari. Valmistaja Ricardo Pérez.

Esimerkkejä kaareista

Seuraavat esimerkit viittaavat kuinka laskea joidenkin tiettyjen kaarejen kehä.

Esimerkki 1

Kuvio 7 esittää ikkunan, joka on valmis leikattu ympyräkaari. Kuvassa esitetyt mitat ovat jaloissa. Etsi kaaren pituus.

Kuva 7. Lasin ikkunan pyöreän kaaren pituudesta. (Omat merkinnät - ikkunakuva Pixabayssa)

Ikkunan suihkun pyöreän kaaren keskikohdan ja säteen saamiseksi kuvaan tehdään seuraavat rakenteet:

- Segmentti KL piirretään ja sen puolittaja piirretään.

-Kun sitten rivin korkein kohta sijaitsee, jota kutsumme M. Seuraavaksi tarkastellaan KM-segmenttiä ja sen mediatriikka jäljitetään.

Kahden puolittimen leikkauspiste on piste N ja se on myös ympyräkaarin keskipiste.

-Nyt meidän on mitattava NM-segmentin pituus, joka on sama kuin ympyräkaarin säde R: R = 2,8 jalkaa.

-Tuntaaksesi kaaren pituuden säteen lisäksi, on välttämätöntä tuntea kaarin muodostama kulma. Joka voidaan määrittää kahdella menetelmällä, joko se mitataan vaimentimella tai vaihtoehtoisesti se lasketaan käyttämällä trigonometriaa.

Esitetyssä tapauksessa kaaren muodostama kulma on 91,13º, joka on muunnettava radiaaneiksi:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radiaania

Lopuksi lasketaan kaaren pituus s kaavalla s = α R.

s = 1,59 * 2,8 jalkaa = 4,45 jalkaa

Esimerkki 2

Löydä kuviossa 8 esitetyn elliptisen kaaren pituus, tietäen ellipsin puoli-pääakseli r ja puolivähemmän akselit s.

Kuva 8. GH: n välinen elliptinen kaari. Valmistaja Ricardo Pérez.

Ellipsin pituuden löytäminen oli pitkään yksi vaikeimmista ongelmista matematiikassa. Voit saada ratkaisuja elliptisinä integraaleina, mutta saadaksesi numeerisen arvon, sinun on laajennettava näitä integraaleja tehosarjoissa. Tarkka tulos vaatisi äärettömiä ehtoja noista sarjoista.

Onneksi vuosina 1887 - 1920 asunut hindu matemaattinen nero Ramanujan löysi kaavan, joka arvioi tarkkaan ellipsin kehän:

Ellipsin, jonka r = 3 cm ja s = 2,24 cm, kehä on 16,55 cm. Esitetyllä elliptisellä kaarella on kuitenkin puolet tästä arvosta:

Elliptisen kaarin pituus GH = 8,28 cm.

Viitteet

1. Clemens S. 2008. Geometria ja trigonometria. Pearson koulutus.
2. García F. Numeeriset menettelyt Java-ohjelmassa. Ellipsin pituus. Palautettu: sc.ehu.es
3. Dynaaminen geometria. Kumartaa. Palautettu osoitteesta geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellipset ja parabolat ympärillämme. Palautettu osoitteesta: piziadas.com
5. Wikipedia. Kaari (geometria). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com