TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOOMAT: TYYPIT, SELITYS, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - DUDAS - 2025

Aksioomat todennäköisyys ovat matemaattisia ehdotuksia viittaavat teorian todennäköisyys, jotka eivät ansioita todisteita. Aksioomat perusti vuonna 1933 venäläinen matemaatikko Andrei Kolmogorov (1903–1987) todentamisusteorian perusteissaan ja loi perustan todennäköisyyden matemaattiselle tutkimukselle.

Suoritettaessa tiettyä satunnaista koetta ξ, näytetila E on kokeen kaikkien mahdollisten tulosten joukko, jota kutsutaan myös tapahtumaksi. Jokainen tapahtuma on merkitty A: lla ja P (A) on tapahtuman todennäköisyys. Sitten Kolmogorov totesi, että:

Kuva 1. Todennäköisyyden aksioomien avulla voimme laskea todennäköisyyden lyödä uhkapelejä, kuten ruletti. Lähde: Pixabay.

- Aksioma 1 (ei-negatiivisuus): todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu, on aina positiivinen tai nolla, P (A) ≥0. Kun tapahtuman todennäköisyys on 0, sitä kutsutaan mahdottomaksi tapahtumaksi.

- Aksioma 2 (varmuus): Aina kun jokin E: lle kuuluva tapahtuma, sen esiintymisen todennäköisyys on 1, jonka voimme ilmaista muodolla P (E) = 1. Tätä kutsutaan tietyksi tapahtumaksi, koska kokeita suoritettaessa varmasti on tulos.

- Aksiomi 3 (lisäys): jos kyseessä on kaksi tai useampia yhteensopimattomia tapahtumia kaksi kerrallaan, nimeltään A ₁, A ₂, A ₃…, tapahtuman A ₁ plus A ₂ ja A ₃ tapahtumisen todennäköisyys ja niin edelleen peräkkäin, se on kunkin tapahtuvan erikseen tapahtuvien todennäköisyyksien summa.

Tämä ilmaistaan: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Kuva 2. Huomattava venäläinen matemaatikko Andrei Kolmogorov (1903-1987), joka loi perustan aksiomaattiselle todennäköisyydelle. Lähde: Wikimedia Commons.

esimerkki

Todennäköisyyden aksioomeja käytetään laajasti lukuisissa sovelluksissa. Esimerkiksi:

Pikkukoko tai takki heitetään ilmaan, ja kun se putoaa lattialle, on mahdollista laskua osoittamalla piste ylöspäin (U) tai alaspäin (D) (emme ota huomioon muita mahdollisuuksia). Tämän kokeen näytetila koostuu näistä tapahtumista, sitten E = {U, D}.

Kuva 3. Koukun heittämiskokeessa on kaksi eri todennäköisyyttä omaavaa tapahtumaa: laskeutuminen pisteellä ylöspäin tai kohti maata. Lähde: Pixabay.

Soveltamalla aksioomeja meillä on:

Jos on yhtä todennäköistä, että se laskeutuu ylös tai alas, P (U) = P (D) = ½ (aksiomi 1). Pikkukuvan rakenne ja muotoilu voivat kuitenkin tehdä siitä todennäköisemmän putoamisen tavalla tai toisella. Voi esimerkiksi olla, että P (U) = ¾ kun P (D) = ¼ (aksiomi 1).

Huomaa, että molemmissa tapauksissa todennäköisyyksien summa antaa 1. Aksioomit eivät kuitenkaan osoita, kuinka todennäköisyys määritetään, ainakaan ei kokonaan. Mutta he tosin väittävät, että ne ovat lukuja välillä 0 ja 1 ja että, kuten tässä tapauksessa, kaikkien summa on 1.

Tavat todennäköisyyden määrittämiseen

Todennäköisyyden aksioomat eivät ole menetelmä todennäköisyyden arvon määrittämiseksi. Tätä varten on olemassa kolme vaihtoehtoa, jotka ovat yhteensopivia aksioomien kanssa:

Laplacen sääntö

Jokaiselle tapahtumalle osoitetaan sama tapahtumatodennäköisyys, sitten tapahtuman todennäköisyys määritetään seuraavasti:

Mikä on esimerkiksi todennäköisyys piirtää ässä ranskalaisten korttien pakkauksesta? Kannessa on 52 korttia, joista 13 jokaisessa maassa ja 4 maata. Jokaisessa pukuessa on 1 ässä, joten yhteensä 4 ässää:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplacen sääntö rajoittuu äärellisiin näytetiloihin, joissa kukin tapahtuma on yhtä todennäköinen.

Suhteellinen taajuus

Kokeen on tässä oltava toistettava, koska menetelmä perustuu suuren määrän toistojen suorittamiseen.

Tehdään i kokeilun pet toistoja, joista havaitaan, että n on kuinka monta kertaa tietty tapahtuma A tapahtuu, jolloin tämän tapahtuman todennäköisyys on:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Missä n / i on tapahtuman suhteellinen taajuus.

P (A): n määritteleminen tyydyttää Kolmogorovin aksioomat, mutta sillä on haittana, että monet testit on suoritettava, jotta todennäköisyys olisi sopiva.

Subjektiivinen menetelmä

Henkilö tai ihmisryhmä voi sopia todennäköisyyden määrittämisestä tapahtumalle oman harkintansa avulla. Tämän menetelmän haittana on, että eri ihmiset voivat antaa saman todennäköisyyden samalle tapahtumalle.

Harjoitus ratkaistu

Kokeessa kolmen rehellisen kolikon heittämistä samanaikaisesti hanki kuvattujen tapahtumien todennäköisyys:

a) 2 päätä ja häntä.

b) 1 pää ja kaksi pyrstöä

c) 3 ristiä.

d) Ainakin yksi kasvot.

Ratkaisu

Päät on merkitty C: llä ja hännät X: llä. Mutta on kaksi tapaa saada kaksi päätä ja häntä. Esimerkiksi kaksi ensimmäistä kolikkoa voivat laskeutua päähän ja kolmas voi laskeutua hännät. Tai ensimmäinen voi pudota päät, toinen hännät ja kolmas päät. Ja lopuksi ensimmäinen voi olla hännät ja loput päät.

Kysymyksiin vastaamiseksi on tiedettävä kaikki mahdollisuudet, jotka kuvataan puukaavioksi tai todennäköisyyspuuksi kutsutussa työkalussa:

Kuva 4. Puukaavio kolmen rehellisen kolikon samanaikaisesta heittämisestä. Lähde: F. Zapata.

Todennäköisyys, että jokin kolikko on pää, on ½, sama pätee myös pyrstöihin, koska kolikko on rehellinen. Oikeassa sarakkeessa luetellaan kaikki mahdollisuudet, joita heittää on, eli näytetila.

Näytetilasta valitaan yhdistelmät, jotka vastaavat pyydettyyn tapahtumaan, koska kasvojen esiintymisjärjestys ei ole tärkeä. On olemassa kolme suotuisaa tapahtumaa: CCX, CXC ja XCC. Jokaisen tapahtuman todennäköisyys on:

P (CCX) = 1. ½. ½ = 1/8

Sama tapahtuu CXC- ja XCC-tapahtumissa, jokaisella on todennäköisyys tapahtua 1/8. Siksi todennäköisyys saada täsmälleen 2 päätä on kaikkien myönteisten tapahtumien todennäköisyysten summa:

P (2-puolinen) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Ratkaisu b

Edellisen kanssa samankaltaisen ongelman löytäminen täsmälleen kahden ristin esiintymiselle on myös otostilasta otettu kolme suotuisaa tapahtumaa: CXX, XCX ja XXC. Täten:

P (2 ristiä) = 3/8 = 0,375

Ratkaisu c

Intuitiivisesti tiedämme, että todennäköisyys saada 3 pyrstöä (tai 3 päätä) on pienempi. Tässä tapauksessa haettava tapahtuma on XXX oikean sarakkeen lopussa, jonka todennäköisyys on:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Ratkaisu d

Pyydetään hankkimaan vähintään yksi pinta, mikä tarkoittaa, että 3 pintaa, 2 pintaa tai 1 pinta voi tulla ulos. Ainoa tämän kanssa yhteensopimaton tapahtuma on yksi, josta tulee ulos 3 hännää, joiden todennäköisyys on 0,125. Siksi tavoiteltu todennäköisyys on:

P (ainakin yksi pää) = 1 - 0,125 = 0,875.

Viitteet

1. Canavos, G. 1988. Todennäköisyys ja tilastot: Sovellukset ja menetelmät. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Todennäköisyys ja tilastotiede tekniikan ja tieteen suhteen. 8. päivä. Painos. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum-sarja: todennäköisyys. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Todennäköisyyden teoria. Toimituksellinen Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Tekniikan ja tieteiden todennäköisyys ja tilastot. Pearson.