ARVIOIDEN LASKEMINEN DIFFERENTIAALILLA - MATEMATIIKKA - 2026

Matematiikan likiarvo on luku, joka ei ole jonkin tarkka arvo, mutta on niin lähellä sitä, että sitä pidetään hyödyllisenä kuin tarkka arvo.

Kun lähentämiä tehdään matematiikassa, syynä on se, että manuaalisesti on vaikeaa (tai joskus mahdotonta) tietää tarkkaa haluamasi arvoa.

Tärkein työkalu työskennellessä likiarvojen kanssa on funktion differentiaali.

Funktion f ero, jota merkitään Δf (x), ei ole muuta kuin funktion f johdannainen, joka kertoo riippumattoman muuttujan muutoksen, toisin sanoen Δf (x) = f '(x) * Δx.

Joskus df ja dx käytetään Δf: n ja x: n sijasta.

Lähestykset differentiaalin avulla

Kaava, jota käytetään suorittamaan lähentäminen differentiaalin kautta, johtuu tarkalleen funktion johdannaisen määritelmästä rajana.

Tämän kaavan antaa:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tässä ymmärretään, että Ax = x-x0, siksi x = x0 + Δx. Tätä kaavaa voidaan käyttää uudelleen

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

On huomattava, että "x0" ei ole mielivaltainen arvo, mutta arvo, joka on sellainen, että f (x0) tunnetaan helposti; Lisäksi "f (x)" on vain arvo, jonka haluamme lähentää.

Onko parempia lähestymistapoja?

Vastaus on kyllä. Yllä oleva on yksinkertaisin lähestymistavoista, joita kutsutaan "lineaariseksi likiarvoksi".

Parempien laatuarvioiden saavuttamiseksi (tehty virhe on vähemmän) käytetään polynomeja, joissa on enemmän johdannaisia, nimeltään "Taylor-polynomit", samoin kuin muita numeerisia menetelmiä, kuten Newton-Raphson-menetelmä.

strategia

Noudatettava strategia on:

- Valitse sopiva funktio f lähestymistavan suorittamiseksi ja arvo «x» siten, että f (x) on arvioitu arvo.

- Valitse arvo "x0", lähellä "x", niin että f (x0) on helppo laskea.

- Laske Δx = x-x0.

- Laske funktion y f '(x0) johdannainen.

- Korvaa kaavan tiedot.

Ratkaistu lähentämisharjoittelu

Jatkossa on sarja harjoituksia, joissa likiarvot tehdään differentiaalin avulla.

Ensimmäinen harjoitus

Noin √3.

Ratkaisu

Strategian mukaisesti sopiva toiminto on valittava. Tässä tapauksessa voidaan nähdä, että valittavana olevan funktion on oltava f (x) = √x ja arvioitava arvo on f (3) = √3.

Nyt on valittava arvo "x0", joka on lähellä "3", niin että f (x0) on helppo laskea. Jos valitaan "x0 = 2", niin "x0" on lähellä arvoa "3", mutta f (x0) = f (2) = √2 ei ole helppo laskea.

"X0": n sopiva arvo on "4", koska "4" on lähellä arvoa "3" ja myös f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jos "x = 3" ja "x0 = 4", niin Ax = 3-4 = -1. Nyt lasketaan f: n johdannainen. Eli f '(x) = 1/2 * √x, joten f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Korvaa kaikki saadun kaavan arvot:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jos käytät laskinta, saat arvon √3≈1.73205… Tämä osoittaa, että edellinen tulos on hyvä likiarvo todellisesta arvosta.

Toinen harjoitus

Noin √10.

Ratkaisu

Kuten aikaisemmin, f (x) = √xy valitaan funktiona, tässä tapauksessa x = 10.

Arvo x0 tämän ajan valitsemiseksi on "x0 = 9". Sitten on, että Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ja f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Kaavassa arvioitaessa saadaan, että

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Laskimen avulla saadaan, että √10 ≈ 3,1622776… Täältä voi myös nähdä, että aikaisemmin on saatu hyvä likiarvo.

Kolmas harjoitus

Arvioitu ³√10, missä ³√ tarkoittaa kuution juuria.

Ratkaisu

Tässä harjoituksessa on selvästi käytettävä funktiota f (x) = ³√x ja arvon "x" on oltava "10".

Arvo, joka on lähellä "10", niin että sen kuutiojuuri tunnetaan, on "x0 = 8". Sitten meillä on Δx = 10-8 = 2 ja f (x0) = f (8) = 2. Meillä on myös, että f '(x) = 1/3 * ³√x², ja näin ollen f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Korvaamalla tiedot kaavassa saadaan, että:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Laskin sanoo, että ³√10 ≈ 2,15443469… Siksi löydetty arvio on hyvä.

Neljäs harjoitus

Arvioitu ln (1.3), missä "ln" tarkoittaa luonnollista logaritmifunktiota.

Ratkaisu

Valitaan ensin funktiona f (x) = ln (x) ja arvon "x" arvo on 1,3. Nyt kun tiedämme vähän logaritmifunktiosta, voimme tietää, että ln (1) = 0, ja lisäksi "1" on lähellä "1,3". Siksi valitaan "x0 = 1" ja siten Ax = 1,3 - 1 = 0,3.

Toisaalta f '(x) = 1 / x, niin että f' (1) = 1. Arvioidessamme annetussa kaavassa meillä on:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Laskimen avulla saadaan, että ln (1.3) ≈ 0,262364… Joten tehty likiarvo on hyvä.

Viitteet

1. Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Precalculus-matematiikka. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Esikalkulusmatematiikka: ongelmanratkaisumenetelmä (2, kuvitettu toim.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., ja Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 painos). Cengagen oppiminen.
5. Leal, JM, ja Viloria, NG (2005). Koneanalyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: Toimituksellinen Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson koulutus.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Calculus (yhdeksäs painos). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalilaskenta varhaisilla transsendentteillä toiminnoilla tiedelle ja tekniikalle (toinen painos toimitettu). Hypotenuusa.
9. Scott, Kalifornia (2009). Cartesian Plane Geometria, osa: Analytical Conics (1907) (uusintapainos ed.). Salamanlähde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson koulutus.