RAJOITETTU SARJA: OMINAISUUDET, ESIMERKIT, RATKAISTU HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Äärellisellä joukolla tarkoitetaan mitä tahansa joukkoa, jolla on rajoitettu tai laskettava määrä elementtejä. Esimerkkejä äärellisistä sarjoista ovat marmorit, jotka sisältyvät pussiin, naapurissa sijaitseva talojoukko tai joukko P, jonka muodostavat kaksikymmentä (20) luonnollista lukua:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Tähtien joukko maailmankaikkeudessa on varmasti valtava, mutta ei tiedetä varmasti, onko se äärellinen vai ääretön. Auringon järjestelmän planeettojen joukko on kuitenkin rajallinen.

Kuva 1. Monikulmiojoukko on äärellinen ja myös säännöllisten osajoukko. (Wikimedia Commons)

Elementtien lukumäärää äärellisessä joukossa kutsutaan sen kardinaalisuudeksi ja ryhmälle P sitä merkitään seuraavasti: Kortti (P) tai # P. Tyhmällä joukolla on nolla kardinaalisuutta ja sitä pidetään äärellisessä joukossa.

ominaisuudet

Äärellisten joukkojen ominaisuuksista ovat seuraavat:

1- Äärellisten joukkojen liitto synnyttää uuden äärellisen joukon.

2 - Jos kaksi äärellistä joukkoa leikkaa, uusi äärellinen joukko johtaa.

3- Äärellisen joukon alajoukko on äärellinen ja sen kardinaalisuus on pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen joukon.

4- Tyhjä joukko on äärellinen joukko.

esimerkit

Rajallisista joukkoista on monia esimerkkejä. Joitakin esimerkkejä ovat seuraavat:

Vuoden kuukausien joukko M, joka laajennetussa muodossa voidaan kirjoittaa näin:

M = {tammikuu, helmikuu, maaliskuu, huhtikuu, toukokuu, kesäkuu, heinäkuu, elokuu, syyskuu, lokakuu, marraskuu, joulukuu}, M: n kardinaalisuus on 12.

Viikonpäivien joukko S: S = {maanantai, tiistai, keskiviikko, torstai, perjantai, lauantai, sunnuntai}. S: n kardinaliteetti on 7.

Espanjan aakkosten kirjainten joukko Ñ on äärellinen joukko, tämä laajennuksen joukko on kirjoitettu seuraavasti:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} ja sen kardinaalisuus on 27.

Espanjan vokaalien joukko V on joukko subs:

V ⊂ Ñ on siis rajallinen joukko.

Äärellinen joukko V laajassa muodossa on kirjoitettu näin: V = {a, e, i, o, u} ja sen kardinaalisuus on 5.

Sarjat voidaan ilmaista ymmärryksellä. Joukko F, joka koostuu sanan "äärellinen" kirjaimista, on esimerkki:

F = {x / x on sanan "äärellinen" kirjain}

Mainittu laajassa muodossa ilmaistu sarja on:

F = {f, i, n, t, o}, jonka kardinaliteetti on 5 ja on siten äärellinen joukko.

Lisää esimerkkejä

Sateenkaaren värit ovat toinen esimerkki äärellisestä joukosta, näiden värien joukko C on:

C = {punainen, oranssi, keltainen, vihreä, syaani, sininen, violetti} ja sen kardinaliteetti on 7.

Kuun vaiheiden F sarja on toinen esimerkki äärellisestä joukosta:

F = {Uusi kuu, ensimmäinen vuosineljännes, täysikuu, viimeinen vuosineljännes} tällä sarjalla on kardinaalisuus 4.

Kuva 2. Aurinkokunnan planeetat muodostavat äärellisen joukon. (Pixabay)

Toinen äärellinen joukko on aurinkokunnan planeetojen muodostama sarja:

P = {Elohopea, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, Pluto} kardinaalisuudesta 9.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Seuraava joukko A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} annetaan. Ilmaise se sanoin ja kirjoita se laajennuksella, osoita sen kardinaalisuus ja sano onko se äärellinen.

Ratkaisu: Joukko A on reaalilukujen joukko x siten, että x kuutioituu tuloksena 27.

Yhtälössä x ^ 3 = 27 on kolme ratkaisua: ne ovat x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) ja x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Kolmesta ratkaisusta vain x1 on todellinen, kun taas kaksi muuta ovat kompleksilukuja.

Koska joukon A määritelmässä sanotaan, että x kuuluu todellisiin lukuihin, niin kompleksilukujen ratkaisut eivät kuulu joukkoon A.

Sarja A laajasti ilmaistuna on:

A = {3}, joka on äärellinen joukko kardinaalisuutta 1.

Harjoitus 2

Kirjoita symbolisessa muodossa (ymmärrettävästi) ja laajassa muodossa reaalilukujoukko B, joka on suurempi kuin 0 (nolla) ja pienempi tai yhtä suuri kuin 0 (nolla). Ilmoita sen kardinaalisuus ja onko se rajallinen.

Ratkaisu: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

Joukko B on tyhjä, koska reaaliluku x ei voi olla samanaikaisesti suurempi ja pienempi kuin nolla, aivan kuten se ei voi olla 0 ja myös pienempi kuin 0.

B = {} ja sen kardinaalisuus on 0. Tyhjä joukko on äärellinen joukko.

Harjoitus 3

Tietyn yhtälön ratkaisujen joukko S annetaan. Joukko S ymmärryksen perusteella kirjoitetaan seuraavasti:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Kirjoita mainittu joukko laajassa muodossa, ilmoita sen kardinaalisuus ja ilmoita onko se äärellinen joukko vai ei.

Ratkaisu: Ensinnäkin, kun analysoidaan lauseketta, joka kuvaa joukkoa S, saadaan, että se on joukko todellisia x-arvoja, jotka ovat yhtälön ratkaisuja:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Tämän yhtälön ratkaisu on x = 3, joka on reaaliluku ja kuuluu siten S.: Mutta on enemmän ratkaisuja, joita voidaan saada etsimällä ratkaisuja kvadraattisesta yhtälöstä:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Edellä oleva lauseke voidaan ottaa huomioon seuraavasti:

(x - 4) (x - 5) = 0

Mikä johtaa meidät vielä kahteen alkuperäisen yhtälön (*) ratkaisuun, jotka ovat x = 4 ja x = 5. Lyhyesti sanottuna yhtälössä (*) on ratkaisut 3, 4 ja 5.

Laajassa muodossa ilmaistu joukko S näyttää tältä:

S = {3, 4, 5}, jolla on kardinaalisuus 3 ja joka on siksi äärellinen joukko.

Harjoitus 4

On olemassa kaksi joukkoa A = {1, 5, 7, 9, 11} ja B = {x ∊ N / x on jopa ^ x <10}.

Kirjoita joukko B nimenomaisesti ja löydä liitto joukon A kanssa. Löydä myös näiden kahden sarjan sieppaus ja tee lopullinen.

Ratkaisu: joukko B koostuu luonnollisista numeroista siten, että ne ovat parillisia ja ovat myös pienempiä kuin arvo 10, joten laajassa joukossa B se kirjoitetaan seuraavasti:

B = {2, 4, 6, 8}

Sarjan A ja joukon B liitto on:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

ja joukon A sieppaus joukon B kanssa kirjoitetaan seuraavasti:

A ⋂ B = {} = Ø on tyhjä joukko.

On huomattava, että näiden kahden äärellisen joukon yhdistäminen ja sieppaaminen johtavat uusiin joukkoihin, jotka puolestaan ​​ovat myös äärellisiä.

Viitteet

1. Fuentes, A. (2016). PERUSMATTIA. Johdanto laskentaan. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematiikka: neliömäiset yhtälöt: Kuinka ratkaista neliömäinen yhtälö. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF ja Paul, RS (2003). Johtamisen ja talouden matematiikka. Pearson koulutus.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
5. Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
6. Matematiikka 10 (2018). Msgstr "Esimerkkejä rajallisista sarjoista". Palautettu osoitteesta: matematicas10.net
7. Rock, NM (2006). Algebra I on helppoa! Niin helppoa. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonometria. Pearson koulutus.
9. Wikipedia. Äärellinen sarja. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com