RAJATON SARJA: OMINAISUUDET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Äärettömällä joukolla ymmärretään se joukko, jossa sen elementtien lukumäärä ei ole luettavissa. Eli riippumatta siitä, kuinka suuri sen elementtien lukumäärä voi olla, on aina mahdollista löytää lisää.

Yleisin esimerkki on ääretön joukko luonnolliset luvut N. Ei ole väliä kuinka suuri numero on, koska voit aina saada suuremman prosessissa, jolla ei ole loppua:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………………………………}

Kuva 1. Ääretön symboli. (Pixabay)

Tähtien joukko maailmankaikkeudessa on varmasti valtava, mutta ei tiedetä varmasti, onko se äärellinen vai ääretön. Toisin kuin aurinkojärjestelmän planeettojen lukumäärä, jonka tiedetään olevan rajallinen.

Äärettömän sarjan ominaisuudet

Äärettömien joukkojen ominaisuuksista voidaan tuoda esiin seuraavat:

1- Kaksi ääretöntä joukkoa yhdistämällä syntyy uusi ääretön joukko.

2- Äärellisen joukon ja äärettömän yhdistäminen synnyttää uuden äärettömän joukon.

3 - Jos annetun sarjan alajoukko on ääretön, niin myös alkuperäinen sarja on ääretön. Vastavuoroinen lausunto ei ole totta.

Et löydä luonnollista numeroa, joka pystyy ilmaisemaan äärettömän joukon kardinaalisuuden tai elementtien lukumäärän. Saksalainen matemaatikko Georg Cantor esitteli kuitenkin rajallisen numeron käsitteen viittaamaan äärettömään ordinaaliin, joka on suurempi kuin mikään luonnollinen luku.

esimerkit

Luonnollinen N

Yleisin esimerkki äärettömästä joukosta on luonnonluku. Luonnolliset numerot ovat niitä, joita käytetään laskemaan, mutta kaikki mahdolliset numerot ovat lukemattomia.

Luonnollisten lukujen joukko ei sisällä nollaa, ja sitä kutsutaan yleisesti joukkoksi N, joka ilmaistaan ​​laajassa muodossa seuraavasti:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Ja on selvästi ääretön joukko.

Ellipsiä käytetään osoittamaan, että yhden numeron jälkeen toinen seuraa ja sitten toinen loputtomassa tai loputtomassa prosessissa.

Luonnollisten lukujen joukko, joka on liitetty joukkoon, joka sisältää numeron nolla (0), tunnetaan nimellä joukko N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….}, Joka on seuraus äärettömän joukon N liitosta äärelliselle joukolle O = {0}, mikä johtaa äärettömään joukkoon N +.

Kokonaisluvut Z

Kokonaislukujen joukko Z koostuu luonnollisista numeroista, luonnollisista numeroista, joilla on negatiivinen merkki ja nolla.

Kokonaislukuja Z pidetään evoluutiona luonnollisten lukujen N suhteen, joita käytettiin alun perin ja primitiivisesti laskentaprosessissa.

Kokonaislukujen numeerisessa joukossa Z nolla sisällytetään laskemaan tai laskemaan mitään ja negatiiviset numerot laskemaan jonkin erottaminen, katoaminen tai puuttuminen.

Idean havainnollistamiseksi oletetaan, että pankkitilille näkyy negatiivinen saldo. Tämä tarkoittaa, että tili on nollan alapuolella, ja ei ole vain, että tili on tyhjä, vaan sillä on puuttuva tai negatiivinen ero, joka on jotenkin korvattava pankille.

Laajassa muodossa ääretön joukko kokonaislukuja Z on kirjoitettu näin:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Rationaaliset Q

Asioiden, tavaroiden tai palveluiden laskemisen ja vaihtamisen prosessin kehitysvaiheessa esiintyy murto- tai rationaalilukuja.

Esimerkiksi, kun vaihdettiin puoli leipää kahdella omenalla, tapahtuman kirjaamisen yhteydessä tapahtui jollekin, että puolet tulisi kirjoittaa jaettuna tai jaettuna kahteen osaan: ½. Mutta puoli leivän puolet kirjataan pääkirjaan seuraavasti: ½ / ½ = ¼.

On selvää, että tämä jakautumisprosessi voi olla teoriassa loputon, vaikka käytännössä se on, kunnes viimeinen leipäpartikkeli on saavutettu.

Rationaalisten (tai murto-osa) lukujen joukko merkitään seuraavasti:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

Kahden kokonaisluvun välinen ellipsis tarkoittaa, että näiden kahden numeron tai arvon välillä on äärettömiä osioita tai jakoja. Siksi rationaalisten lukujen joukon sanotaan olevan äärettömän tiheä. Tämä johtuu siitä, kuinka lähellä kaksi rationaalista lukua voivat olla toisiinsa, äärettömiä arvoja voidaan löytää.

Edellä mainitun havainnollistamiseksi oletetaan, että meitä pyydetään löytämään rationaalinen luku välillä 2 - 3. Tämä luku voi olla 2⅓, mikä tunnetaan sekoitettuna numerona, joka koostuu 2 kokonaisesta osasta plus kolmasosa yksiköstä, joka on vastaa kirjoittamista 4/3.

2 - 2⅓ voidaan löytää toinen arvo, esimerkiksi 2⅙. Ja välillä 2 - 2⅙ voidaan löytää toinen arvo, esimerkiksi 2⅛. Näiden kahden välillä ja heidän välilläan toisen, toisen ja toisen.

Kuva 2. Äärimmäiset jakaumat rationaalilukuina. (Wikimedia Commons)

Irrationaaliset numerot I

On numeroita, joita ei voida kirjoittaa kahden kokonaisen numeron jakona tai murto-osana. Juuri tätä numeerista joukkoa kutsutaan irrationaalisten lukujen joukkoksi I ja se on myös ääretön joukko.

Joitakin tämän numeerisen joukon merkittäviä elementtejä tai edustajia ovat luku pi (π), Euler-luku (e), kultainen suhde tai kultainen luku (φ). Nämä numerot voidaan kirjoittaa vain karkeasti järkevällä numerolla:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (ja jatkuu äärettömään ja yli…)

e = 2.7182818284590452353602874713527… (ja jatkuu äärettömyyden yli…)

φ = 1,61803398874989484820 …….. (äärettömyyteen…..ja pidemmälle…..)

Muita irrationaalisia lukuja ilmestyy yritettäessä löytää ratkaisuja hyvin yksinkertaisiin yhtälöihin, esimerkiksi yhtälöllä X ^ 2 = 2 ei ole tarkkaa rationaalista ratkaisua. Tarkka ratkaisu ilmaistaan ​​seuraavalla symbologialla: X = √2, joka luetaan x yhtä kuin kahden juuri. Arvioitu rationaalinen (tai desimaaliluku) lauseke √2: lle on:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

On lukemattomia irrationaalisia lukuja, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) muutamien nimeämiseksi.

Rullajoukko R

Oikeat luvut ovat numeroita, joita käytetään useimmiten matemaattisessa laskennassa, fysiikassa ja tekniikassa. Tämä numerojoukko on rationaalilukujen Q ja irrationaalisten lukujen I liitto:

R = Q U I

Ääretön suurempi kuin ääretön

Äärettömien joukkojen joukossa jotkut ovat suurempia kuin toiset. Esimerkiksi, joukko luonnolliset luvut N on ääretön, mutta on osajoukko kokonaislukuja Z, joka on ääretön, niin ääretön joukko Z on suurempi kuin ääretön joukko N.

Samoin joukko kokonaislukujen Z on osajoukko todelliset luvut R, ja näin ollen asetettu R on "ääretön" ääretön joukko Z.

Viitteet

1. Celeberrima. Esimerkkejä äärettömistä sarjoista. Palautettu osoitteesta celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). PERUSMATTIA. Johdanto laskentaan. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematiikka: neliömäiset yhtälöt: Kuinka ratkaista neliömäinen yhtälö. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF ja Paul, RS (2003). Johtamisen ja talouden matematiikka. Pearson koulutus.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
6. Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I on helppoa! Niin helppoa. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonometria. Pearson koulutus.
9. Wikipedia. Rajaton sarja. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com