- Käänteinen omaisuus
- Määrittelemätön integraali
- Muut integraation vakion merkitykset
- Kuinka integraatiovakio lasketaan?
- esimerkit
- Esimerkki 1
- Esimerkki 2
- Esimerkki 3
- Ehdotetut harjoitukset
- Harjoitus 1
- Harjoitus 2
- Harjoitus 3
- Harjoitus 4
- Viitteet
Vakio integraatio on lisäarvoa laskettaessa integraalifunktio tai integraalien, se palvelee edustaa ratkaisuja, jotka muodostavat primitiivinen funktion. Se ilmaisee luontaisen epäselvyyden, jossa jollain toiminnolla on ääretön määrä primitiiviä.
Esimerkiksi, jos otamme funktion: f (x) = 2x + 1 ja saamme sen vastajohdannaisen:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C; Missä C on integraation vakio ja edustaa graafisesti alkeellisen äärettömien mahdollisuuksien välistä pystysuuntaista siirtymää. On oikein sanoa, että (x 2 + x) on yksi f (x): n alkeista.
Lähde: kirjoittaja
Samoin voimme määritellä (x 2 + x + C) f: n (x) alkukirjana.
Käänteinen omaisuus
Voidaan huomata, että johdettaessa lauseketta (x 2 + x) saadaan funktio f (x) = 2x + 1. Tämä johtuu funktion johdannon ja integroinnin välisestä käänteisominaisuudesta. Tämä ominaisuus mahdollistaa integraatiokaavojen saamisen erottelusta alkaen. Mikä mahdollistaa integraalien todentamisen samojen johdannaisten avulla.
Lähde: kirjoittaja
(X 2 + x) ei kuitenkaan ole ainoa funktio, jonka johdannainen on yhtä suuri kuin (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1
Missä 1, 2, 3 ja 4 edustavat f (x) = 2x + 1: n tiettyjä alukkeita. Kun taas 5 edustaa f (x) = 2x + 1: n määrittelemätöntä tai primitiivistä integraalia.
Lähde: kirjoittaja
Funktion primitiivit saavutetaan antiderivaatiolla tai integroidulla prosessilla. Missä F on f: n primitiivi, jos seuraava on totta
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integraation vakio
- F '(x) = f (x)
Voidaan nähdä, että funktiolla on yksi johdannainen, toisin kuin sen integraatiosta johtuvissa äärettömissä primitiivissä.
Määrittelemätön integraali
∫ f (x) dx = F (x) + C
Se vastaa käyräryhmää, jolla on sama kuvio, joka kokee epäjohdonmukaisuuden kunkin pisteen (x, y) kuvien arvossa. Jokainen funktio, joka täyttää tämän kuvion, on yksilöllinen primitiivinen, ja kaikkien toimintojen joukko tunnetaan määrittelemättömänä integraalina.
Integraatiovakion arvo on se , joka erottaa kunkin toiminnon käytännössä.
Vakio integraatio viittaa pystysiirtorekisteriltä kaikki kuvaajat edustavat primitiiveiksi toiminto. Missä havaitaan niiden välinen samansuuntaisuus ja tosiasia, että C on siirtymän arvo.
Yleisten käytäntöjen mukaan integraatiovakio merkitään lisäyksen jälkeen kirjaimella "C", vaikka käytännössä on välinpitämätöntä, lisätäänkö vai vähennetäänkö vakio. Sen todellinen arvo voidaan löytää monin tavoin erilaisissa alkuperäisissä olosuhteissa.
Muut integraation vakion merkitykset
On jo keskusteltu siitä, kuinka integraatiovakioita sovelletaan integraalin laskennan haarassa; Edustavat käyrät, jotka määrittelevät määrittelemättömän integraalin. Mutta monille muille tieteille ja aloille on annettu erittäin mielenkiintoisia ja käytännöllisiä integraation jatkuvuuden arvoja , jotka ovat helpottaneet useiden opintojen kehittämistä.
Vuonna fysiikka jatkuva integraatio voi kestää useita arvoja riippuen tietojen luonteeseen. Hyvin yleinen esimerkki on funktion V (t) tunteminen, joka edustaa hiukkasen nopeutta ajan t kanssa. On tunnettua, että laskettaessa primitiivinen V (t) funktio R (t), saadaan, joka edustaa kanta hiukkasen ajan funktiona.
Vakio integraatio edustaa arvoa alkuasentoon, joka on ajanhetkellä t = 0.
Samalla tavalla, jos funktion A (t), joka edustaa hiukkasen kiihtyvyyttä ajan suhteen, tiedetään. A (t): n alkuluku johtaa funktioon V (t), jossa integraatiovakio on alkuperäisen nopeuden V 0 arvo.
In talous, hankkimalla integroimalla primitiivinen kustannus funktio. Vakio integraatio ovat kiinteitä kustannuksia. Ja niin monia muita sovelluksia, jotka ansaitsevat differentiaalisen ja kiinteän laskennan.
Kuinka integraatiovakio lasketaan?
Integraatiovakion laskemiseksi on aina tarpeen tietää alkuolosuhteet. Joiden tehtävänä on määritellä, mikä mahdollisista alkeellisista on vastaava.
Monissa sovelluksissa sitä käsitellään itsenäisenä muuttujana ajankohtana (t), missä vakio C ottaa arvot, jotka määrittelevät tapauksen alkuolosuhteet.
Jos otamme alkuperäisen esimerkin: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Voimassa oleva ehdollisuus voi olla ehtona, että kuvaaja kulkee tietyn koordinaatin läpi. Esimerkiksi, tiedämme, että alkeellinen (x 2 + x + C) kulkee pisteen (1, 2) läpi
F (x) = x 2 + x + C; tämä on yleinen ratkaisu
F (1) = 2
Korvaamme yleisen ratkaisun tässä tasa-arvossa
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Mistä seuraa helposti, että C = 0
Tällä tavalla vastaava primitiivi tälle tapaukselle on F (x) = x 2 + x
On olemassa erityyppisiä numeerisia harjoituksia, jotka toimivat integraation vakioiden kanssa. Itse asiassa differentiaalinen ja integroitu laskenta ei lopu käytöstä nykyisissä tutkimuksissa. Eri akateemisilla tasoilla ne löytyvät; alustavasta laskennasta muun muassa fysiikan, kemian, biologian, talouden kautta.
Se arvostetaan myös differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa, jossa integraatiovakio voi ottaa erilaisia arvoja ja ratkaisuja, mikä johtuu monista johdannaisista ja integraatioista, joita tässä asiassa tehdään.
esimerkit
Esimerkki 1
- 30 metrin korkeudella sijaitseva tykki ampuu ammuksen pystysuunnassa ylöspäin. Ammuksen alkuperäisen nopeuden tiedetään olevan 25 m / s. Päättää:
- Toiminto, joka määrittää ammuksen aseman ajan suhteen.
- Lentoaika tai ajankohta, jolloin hiukkanen osuu maahan.
On tunnettua, että suoraviivaisessa liikkeessä tasaisesti vaihdettu kiihtyvyys on vakioarvo. Näin on ammuksen laukaisussa, jossa kiihtyvyys on painovoimaa
g = - 10 m / s 2
Tiedetään myös, että kiihtyvyys on sijainnin toinen johdannainen, joka osoittaa kaksinkertaisen integraation harjoittelun resoluutiossa, jolloin saadaan kaksi integraatiovakiota.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Harjoituksen alkuolosuhteet osoittavat, että lähtönopeus on V 0 = 25 m / s. Tämä on nopeus ajanhetkellä t = 0. Tällä tavoin varmistetaan, että:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 ja C 1 = 25
Kun nopeusfunktio on määritelty
V (t) = -10t + 25; Samankaltaisuutta voidaan havaittu MRUV kaavan (V f = V 0 + axt)
Homologisella tavalla integroimme nopeusfunktiota saadaksesi lausekkeen, joka määrittelee paikan:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25) dt = -5 t 2 + 25 t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (kanta primitiivinen)
Alkuasema R (0) = 30 m tunnetaan. Sitten lasketaan ammuksen erityinen alkukanta.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2. Jossa C 2 = 30
Esimerkki 2
- Etsi alkeelliset ehdot täyttävä alkeellinen f (x):
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Toisen johdannaisen f '' (x) = 4 tiedoilla antiderivaatioprosessi alkaa
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Sitten, tietäen ehdon f '(2) = 2, jatkamme:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 ja f '(x) = 4x - 8
Etenemme samalla tavalla integraation toiseksi vakiona
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Alkuehto f (0) = 7 tunnetaan ja jatkamme:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 ja f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2; f '(0) = 6; f (0) = 3
Määrittelemme ensimmäiset johdannaiset ja alkuperäisen funktion alkuperäisistä olosuhteista samalla tavalla kuin edellisessä tehtävässä.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2) dx = (x 3 /3): + C 1
Ehdolla f '(0) = 6 jatkamme:
(0 3/3) + C 1 = 6; Jossa C 1 = 6 ja f '(x) = (x 3 /3): + 6
Sitten toinen integraation vakio
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Alkuehto f (0) = 3 tunnetaan ja jatkamme:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Jossa C 2 = 3
Siten saamme alkeellisen tietyn
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Esimerkki 3
- Määrittele primitiiviset funktiot johdannaisille ja pisteelle kuvaajassa:
- dy / dx = 2x - 2, joka kulkee pisteen (3, 2) läpi
On tärkeää muistaa, että johdannaiset viittaavat käyrän tangentin viivaan tietyssä pisteessä. Jos ei ole väärin olettaa, että johdannaisen kuvaaja koskettaa ilmoitettua pistettä, koska tämä kuuluu primitiivisen funktion kuvaajaan.
Tällä tavoin ilmaistaan differentiaaliyhtälö seuraavasti:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Alkuehdon soveltaminen:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Se saadaan: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1, joka kulkee pisteen (0, 2) läpi
Ilmaisemme differentiaaliyhtälö seuraavasti:
Alkuehdon soveltaminen:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Saadaan: f (x) = x 3 - x + 2
Ehdotetut harjoitukset
Harjoitus 1
- Etsi alkeelliset ehdot täyttävä alkeellinen f (x):
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Harjoitus 2
- Ilmapallo, joka nousee nopeudella 16 jalkaa / s, pudottaa hiekkasäkin 64 jalan korkeudesta maanpinnan yläpuolella.
- Määritä lentoaika
- Mikä on vektori V f, kun se osuu maahan?
Harjoitus 3
- Kuvio näyttää x-akselin positiiviseen suuntaan liikkuvan auton kiihtyvyysaikataulun. Auto ajoi vakionopeudella 54 km / h, kun kuljettaja päästi jarrut pysähtymään 10 sekunnissa. määrittää:
- Auton alkuperäinen kiihtyvyys
- Auton nopeus t = 5s
- Auton siirtyminen jarrutuksen aikana
Lähde: kirjoittaja
Harjoitus 4
- Määrittele primitiiviset funktiot johdannaisille ja pisteelle kuvaajassa:
- dy / dx = x, joka kulkee pisteen (-1, 4) läpi
- dy / dx = -x 2 + 1, joka kulkee pisteen (0, 0) läpi
- dy / dx = -x + 1, joka kulkee pisteen (-2, 2) läpi
Viitteet
- Integroitu laskenta. Määrittelemätön integraali- ja integraatiomenetelmät. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
- Stewart, J. (2001). Muuttujan laskeminen. Varhaiset transsendentaalit. Meksiko: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matematiikka VI. Integroitu laskenta. Meksiko: Pearson Education.
- Fysiikka I. Mc Graw -mäki