SYLINTERIMÄISET KOORDINAATIT: JÄRJESTELMÄ, MUUTOS JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA

Sylinterimäinen koordinaatit käytetään pisteiden paikantamiseksi kolmiulotteisessa avaruudessa ja koostuvat Radial koordinoida ρ, φ atsimutaalinen koordinoida ja z-koordinaatiston korkeus.

Avaruudessa sijaitseva piste P projisoidaan kohtisuoraan XY-tasolle, joka johtaa pisteeseen P 'siinä tasossa. Etäisyys lähtökohdasta pisteeseen P 'määrittelee koordinaatin ρ, kun taas kulma X-akselin ja säteen OP' välillä määrittelee koordinaatin φ. Lopuksi z-koordinaatti on pisteen P ortogonaalinen projektio Z-akselilla. (katso kuva 1).

Kuva 1. Sylinterimäisten koordinaattien piste P (ρ, φ, z). (Oma suunnittelu)

Radiaalinen koordinaatti ρ on aina positiivinen, atsimuutti koordinaatti φ vaihtelee nollasta radiaanista kahteen pi-radiaaniin, kun taas z-koordinaattiin voi tulla mikä tahansa todellinen arvo:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Koordinaattien muutos

Pisteen P Cartesian koordinaatit (x, y, z) on suhteellisen helppo saada sen lieriömäisistä koordinaateista (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Mutta on myös mahdollista saada napakoordinaatit (ρ, φ, z) pisteen P Cartesian koordinaattien (x, y, z) tiedosta:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektoripohja lieriömäisissä koordinaateissa

Sylinterimäisten yksikkövektorien Uρ, Uφ, Uz perusta määritetään.

Vektori Uρ on tangenssi viivalle φ = ctte ja z = ctte (osoittaa säteittäisesti ulospäin), vektori Uφ on tangentti linjalle ρ = ctte ja z = ctte ja lopulta Uz: lla on sama suunta Z-akseliin.

Kuva 2. Sylinterimäinen koordinaattipohja. (Wikimedia Commons)

Sylinterimäisessä yksikkökannassa pisteen P sijaintivektori r kirjoitetaan vektorisesti seuraavasti:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Toisaalta äärettömän pieni siirtymä d r pisteestä P ilmaistaan seuraavasti:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Samoin äärettömän pieni tilavuuden dV elementti lieriömäisissä koordinaateissa on:

dV = ρ dρ dφ dz

esimerkit

Sylinterimäisten koordinaattien käytöstä ja soveltamisesta on lukemattomia esimerkkejä. Esimerkiksi kartografiassa käytetään lieriömäistä projektiota, joka perustuu tarkasti näihin koordinaateihin. On olemassa lisää esimerkkejä:

Esimerkki 1

Sylinterimäisillä koordinaateilla on sovelluksia tekniikassa. Esimerkiksi meillä on CHS (sylinteri-pää-sektori) -järjestelmä, jonka sijainti on kiintolevyllä, ja joka tosiasiallisesti koostuu useista levyistä:

- Sylinteri tai rata vastaa koordinaattia ρ.

- Sektori vastaa levyn sijaintia φ, joka pyörii suurella kulmanopeudella.

- Pää vastaa lukupään z-asemaa vastaavalla levyllä.

Jokaisella informaation tavulla on tarkka osoite sylinterimäisissä koordinaateissa (C, S, H).

Kuva 2. Tietojen sijainti sylinterimäisissä koordinaateissa kiintolevyjärjestelmässä. (Wikimedia Commons)

Esimerkki 2

Rakennusnosturit kiinnittävät kuorman sijainnin lieriömäisissä koordinaateissa. Vaakasuora sijainti määritetään etäisyydellä nosturin akselista tai nuoleesta ρ ja sen kulma-asennolla φ suhteessa johonkin vertailuakseliin. Kuorman pystysuora sijainti määritetään korkeuden z-koordinaatin avulla.

Kuva 3. Kuorman sijainti rakennusnosturissa voidaan ilmaista helposti lieriömäisissä koordinaateissa. (image pixabay - huomautukset R. Pérez)

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

On pisteitä P1 lieriömäisillä koordinaateilla (3, 120º, -4) ja pistettä P2 sylinterimäisillä koordinaateilla (2, 90º, 5). Löydä euklidinen etäisyys näiden kahden pisteen välillä.

Ratkaisu: Ensin etsimme kunkin pisteen Cartesian koordinaatit noudattaen yllä annettua kaavaa.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Euklidinen etäisyys P1: n ja P2: n välillä on:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Harjoitus 2

Pisteellä P on suorakulmaiset koordinaatit (-3, 4, 2). Etsi vastaavat lieriömäiset koordinaatit.

Ratkaisu: Etsimme sylinterimäisiä koordinaatteja käyttämällä yllä annettuja suhteita:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

On muistettava, että arktangenttifunktio moniarvoistetaan 180º: n jaksolla. Myös kulman φ on kuuluttava toiseen kvadranttiin, koska pisteen P x ja y-koordinaatit ovat siinä kvadrantissa. Tästä syystä 180º on lisätty tulokseen φ.

Harjoitus 3

Ilmaistaan lieriömäisissä koordinaateissa ja suorakaarisina koordinaateina sylinterin pintaan, jonka säde on 2 ja jonka akseli vastaa Z-akselia.

Ratkaisu: Ymmärretään, että sylinterillä on ääretön jatke z-suunnassa, joten mainitun pinnan yhtälö lieriömäisissä koordinaateissa on:

ρ = 2

Sylinterimäisen pinnan Cartesian yhtälön saamiseksi otetaan edellisen yhtälön molempien jäsenten neliö:

ρ ² = 4

Kertomme molemmat edellisen tasa-arvon jäsenet yhdellä ja käytämme perustason trigonometristä identiteettiä (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Sulu on kehitetty saamaan:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Muistamme, että ensimmäiset suluissa (ρ sin (φ)) ovat pisteen y-koordinaatti napakoordinaateissa, kun taas suluissa (ρ cos (φ)) on x-koordinaatti, niin että sylinterin yhtälö on koordinaateissa karteesinen:

y ² + x ² = 2 ²

Edellä olevaa yhtälöä ei pidä sekoittaa XY-tason kehän ympäristöön, koska tässä tapauksessa se näyttää tältä: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Harjoitus 4

Sylinterin, jonka säde on R = 1 m ja korkeuden H = 1m, massa on jakautunut säteittäisesti seuraavan yhtälön mukaisesti D (ρ) = C (1 - ρ / R), missä C on arvovakio C = 1 kg / m ³. Löydä pullon kokonaismassa kilogrammoina.

Ratkaisu: Ensimmäinen asia on ymmärtää, että funktio D (ρ) edustaa tilavuuden massatiheyttä ja että massatiheys jakautuu lieriömäisissä kuorissa, joiden tiheys vähenee, keskustasta reunaan. Äänen äärettömän pieni elementti ongelman symmetrian mukaan on:

dV = ρ dρ 2π H

Näin ollen lieriömäisen vaipan äärettömän pieni massa on:

dM = D (ρ) dV

Siksi sylinterin kokonaismassa ilmaistaan seuraavalla tarkalla integraalilla:

M = ∫ _tai ^R D (ρ) dV = ∫ _tai ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _tai ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Ilmoitetun integraalin ratkaisua ei ole vaikea saada, sillä lopputulos on:

∫ _tai ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Kun tämä tulos sisällytetään sylinterin massaan, saadaan:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ tt HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Viitteet

Arfken G ja Weber H. (2012). Matemaattiset menetelmät fyysikoille. Kattava opas. 7. painos. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Laskelma cc. Ratkaisut lieriömäisten ja pallomaisten koordinaattien ongelmat. Palautettu: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Sylinterimäiset koordinaatit." MathWorldilta - Wolfram-verkko. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com
wikipedia. Vektorikentät lieriömäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com

SYLINTERIMÄISET KOORDINAATIT: JÄRJESTELMÄ, MUUTOS JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026