PALLOMAISET KOORDINAATIT: ESIMERKKEJÄ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Pallokoordinaateissa ovat joukko sijainti pistettä kolmiulotteisessa avaruudessa, jonka muodostavat säteittäinen koordinoida ja kaksi kulma koordinaatit kutsutaan napakoordinaatti- ja vaakasuuntakulman koordinoida.

Kuvio 1, jonka näemme alla, näyttää pisteen M pallomaiset koordinaatit (r, θ, φ). Koordinaatit viitataan O: n alkuperäisen karteesia-akselien X, Y, Z ortogonaaliseen järjestelmään.

Kuva 1. Pisteen M pallomaiset koordinaatit (r, θ, φ) (wikimedia commons)

Tässä tapauksessa pisteen M koordinaatti r on etäisyys siitä pisteestä lähtöpisteeseen O. Polaarikoordinaatti θ edustaa positiivisen puoliakselin Z ja sädevektorin OM välistä kulmaa. Samalla kun atsimuutti koordinaatti φ on positiivisen puoliakselin X ja sädevektorin OM 'välinen kulma, missä M' on M: n ortogonaalinen projektio XY-tasolla.

Radiaalinen koordinaatti r ottaa vain positiivisia arvoja, mutta jos piste sijaitsee lähtökohdassa, niin r = 0. Polaarikoordinaatti θ ottaa vähintään arvon 0º positiivisella Z-puoliakselilla sijaitsevien pisteiden kohdalla ja maksimiarvon 180º pisteiden kohdalla sijaitsee negatiivisella Z-puoliakselilla. Lopuksi atsimuutti koordinaatti φ ottaa vähintään arvon 0º ja maksimikorkeuden 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Koordinaattien muutos

Seuraavaksi annetaan kaavat, jotka mahdollistavat pisteen M suorakulmaisten koordinaattien (x, y, z) saamisen, olettaen, että saman (r, θ, φ) pisteen pallomaiset koordinaatit tunnetaan:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Samalla tavoin on hyödyllistä löytää suhteet siirtyäksesi tietyn pisteen Cartesian koordinaateilta (x, y, z) mainitun pisteen pallomaisiin koordinaateihin:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = arctan (y / x)

Vektoripohja pallomaisissa koordinaateissa

Pallomaisista koordinaateista määritetään perusvektorien ortonormaalinen perusta, joita merkitään Ur, Uθ, Uφ. Kuvassa 1 on esitetty nämä kolme yksikkövektoria, joilla on seuraavat ominaisuudet:

- Ur on yksikkövektori, joka on tangentti radiaaliviivalle θ = ctte ja φ = ctte;

- Uθ on yksikkövektori, joka on tangenssi kaarelle φ = ctte ja r = ctte;

- Uφ on yksikkövektori, joka on tangenssi kaarelle r = ctte ja θ = ctte.

Lineaariset ja tilavuusosat pallomaisissa koordinaateissa

Avaruuspisteen sijaintivektori pallomaisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:

r = r Ur

Mutta pisteen äärettömän pieni variaatio tai siirtymä kolmiulotteisessa tilassa näissä koordinaateissa ilmaistaan ​​seuraavalla vektorisuhteella:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Lopuksi äärettömän pieni tilavuus dV pallomaisissa koordinaateissa kirjoitetaan näin:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Nämä suhteet ovat erittäin hyödyllisiä viiva- ja tilavuusintegraalien laskemisessa fyysisissä tilanteissa, joissa on pallo symmetria.

Suhde maantieteellisiin koordinaateihin

Maantieteellisillä koordinaateilla ymmärretään niitä, jotka palvelevat paikkojen löytämistä maan pinnalla. Tämä järjestelmä käyttää sijaintiin maan pinnalla leveys- ja pituusastekoordinaatteja.

Maantieteellisessä koordinaattijärjestelmässä maan pinnan oletetaan olevan pallomainen säteellä Rt, vaikka sen tiedetään tasoittuvan napojen kohdalla, ja harkitaan joukko kuvitteellisia viivoja, joita kutsutaan rinnakkaisiksi ja meridiaaneiksi.

Kuva 2. Maan pinnalla olevan tarkkailijan pituusaste α ja leveys β.

Leveysaste β on kulma, jonka muodostaa säde, joka alkaa Maan keskustasta pisteeseen, jonka haluat sijoittaa. Se mitataan päiväntasaajan tasolta, kuten kuvassa 2. Toisaalta pituusaste α on kulma, jonka sijaitsevan pisteen meridiaani muodostaa nollameridiaaniin nähden (tunnetaan nimellä Greenwichin meridiaani).

Leveysaste voi olla pohjoinen tai eteläinen leveysaste sen mukaan, onko sijaintisi pohjoisella pallonpuoliskolla vai eteläisellä pallonpuoliskolla. Samoin pituusaste voi olla länteen tai itään riippuen siitä, onko sijainti länteen vai itään nollameridiaania.

Kaavat muuttuvat maantieteellisistä pallomaisiksi

Näiden kaavojen saamiseksi ensin on luotava koordinaattijärjestelmä. XY-taso valitaan samaan aikaan päiväntasaajan tason kanssa, positiivisen X-puoliakselin ollessa se, joka menee Maan keskustasta ja kulkee nollameridiaanin läpi. Y-akseli puolestaan ​​kulkee meridiaanin 90 ° E. Maapallon pinnan säde on Rt.

Tämän koordinaattijärjestelmän avulla muutokset maantieteellisestä pallomaiseksi näyttävät tältä:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

esimerkit

Esimerkki 1

Palma de Mallorcan (Espanja) maantieteelliset koordinaatit ovat:

Itäpituus 38,847º ja pohjoinen leveys 39,570º. Palma de Mallorcaa vastaavien pallomaisten koordinaattien määrittämiseksi käytetään edellisen osan kaavojen ensimmäistä kaavaa:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Joten pallomaiset koordinaatit ovat:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Edellisessä vastauksessa r on otettu yhtä suureksi kuin maan keskimääräinen säde.

Esimerkki 2

Tietäen, että Malvinas (Falkland) -saarten maantieteelliset koordinaatit ovat 59ºO 51,75ºS, määritä vastaavat polaarikoordinaatit. Muista, että X-akseli kulkee maapallon keskustasta 0º meridiaaniin ja päiväntasaajan tasolle; Y-akseli myös päiväntasaajan tasolla 90 ° läntisen meridianin läpi; lopuksi Z-akseli maapallon pyörimisakselilla etelä-pohjois-suunnassa.

Vastaavien pallomaisten koordinaattien löytämiseksi käytämme edellisessä osassa esitettyjä kaavoja:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º – 59º), joka on

Malvinat: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Harjoitukset

Harjoitus 1

Etsi Palma de Mallorcan Cartesian koordinaatit kuvan 2 mukaisesta XYZ Cartesian-referenssijärjestelmästä.

Ratkaisu: Aiemmin esimerkissä 1 pallomaiset koordinaatit saatiin Palma de Mallorcan maantieteellisistä koordinaateista. Joten yllä esitetyillä kaavoilla voidaan siirtyä pallomaisesta kartesilaiseen:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Suorittamalla vastaavat laskelmat meillä on:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Harjoitus 2

Etsi Falklandinsaarten Cartesian koordinaatit kuvan 2 mukaisesta XYZ Cartesian-referenssijärjestelmästä.

Ratkaisu: Aiemmin esimerkissä 2 pallomaiset koordinaatit saatiin Malvinassaarten maantieteellisistä koordinaateista. Joten yllä esitetyillä kaavoilla voidaan siirtyä pallomaisesta kartesilaiseen:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Suorittamalla vastaavat laskelmat saamme:

Falklandinsaaret: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Viitteet

1. Arfken G ja Weber H. (2012). Matemaattiset menetelmät fyysikoille. Kattava opas. 7. painos. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Laskelma cc. Ratkaisut lieriömäisten ja pallomaisten koordinaattien ongelmat. Palautettu: calculo.cc
3. Tähtitieteen työpaja. Leveys-ja pituuspiiri. Palautettu osoitteesta: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Pallomaiset koordinaatit". MathWorld-A Wolfram -verkosta. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Pallomainen koordinaattijärjestelmä. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorikentät lieriömäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com