SUORAKULMAISET KOORDINAATIT: ESIMERKKEJÄ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA

Suorakulmakoordinaatit tai karteesisen ovat ne, jotka on saatu ortogonaalisesti projisoimalla kolme cartesian akselia X, Y, Z kohdassa, joka sijaitsee kolme - ulotteinen avaruus.

Kartesiakselit ovat keskenään suunnattuja linjoja kohtisuorassa toisiinsa nähden. Kartesialaisessa koordinaattijärjestelmässä jokaiselle avaruuspisteelle annetaan kolme todellista numeroa, jotka ovat sen suorakulmaisia koordinaatteja.

Kuva 1. Pisteen P suorakulmaiset koordinaatit (oma yksityiskohta)

Taso on kolmiulotteisen tilan alatila. Jos tarkastellaan pisteitä tasossa, riittää, kun valitset parin kohtisuoran akselin X, Y suorakaarisjärjestelmäksi. Sitten jokaiselle tason pisteelle annetaan kaksi todellista lukua, jotka ovat sen suorakulmaisia koordinaatteja.

Suorakulmaisten koordinaattien alkuperä

Suorakulmaisia koordinaatteja ehdotti alun perin ranskalainen matemaatikko René Descartes (1596 ja 1650), minkä vuoksi niitä kutsutaan Cartesianiksi.

Tämän Descartes-idean myötä tason ja tilan pisteille annetaan numerot, niin että geometrisiin hahmoihin liittyy algebrallinen yhtälö ja klassiset geometriset lauseet voidaan osoittaa algebralla. Karteesialaisilla koordinaateilla syntyy analyyttinen geometria.

Kartesialainen kone

Jos tasossa valitaan kaksi kohtisuoraa viivaa, jotka leikkaavat pisteessä O; ja jos kunkin viivan lisäksi on osoitettu suunta ja numeerinen asteikko peräkkäisten yhtäläisten pisteiden välillä, niin on olemassa suorakaartinen järjestelmä tai taso, jossa jokainen tason piste liittyy kahden reaaliluvun tilattuun pariin, jotka ovat niiden projektiot vastaavasti X- ja Y-akselit.

Pisteet A = (3, 2); B = (- 2,3); C = (- 2, -3) ja D = (3, -3) on esitetty Kartesian tasossa alla esitetyllä tavalla:

Kuva 2. Pisteet Cartesian-tasolla. (Oma suunnittelu)

Huomaa, että kaksi akselia X ja Y jakaa tason neljään sektoriin, joita kutsutaan kvadranteiksi. Kohta A on ensimmäisessä kvadrantissa, piste B on toisessa kvadrantissa, piste C on kolmannessa kvadrantissa ja piste D on neljännessä kvadrantissa.

Kahden pisteen välinen etäisyys

Kartesilaistason kahden pisteen A ja B välinen etäisyys on niitä yhdistävän segmentin pituus. Tämä etäisyys voidaan laskea analyyttisesti seuraavasti:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Edellä oleva kaava saadaan soveltamalla Pythagoran lausetta.

Soveltamalla tätä kaavaa kuvan 2 pisteisiin A, B meillä on:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Eli d (A, B) = 5,10 yksikköä. Huomaa, että etäisyys on saatu ilman tarvetta mitata viivaimella, joten on noudatettu täysin algebrallista menettelyä.

Linjan analyyttinen lauseke

Suorakulmaiset koordinaatit mahdollistavat geometristen perusominaisuuksien, kuten pisteen ja viivan, analyyttisen esittämisen. Kaksi pistettä A ja B määrittelevät yhden viivan. Linjan kaltevuus määritellään osana pisteen B Y-koordinaattien erotusta A jaettuna pisteen B X-koordinaattien erotuksella, josta vähennetään A:

kaltevuus = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Kaikilla linjalle (AB) kuuluvilla koordinaattien (x, y) pisteillä P on oltava sama kaltevuus:

kaltevuus = (y - Ay) / (x - Ax)

Yhtälö, joka saadaan rinteiden yhtäläisyydellä, on pisteiden A ja B läpi kulkevan linjan analyyttinen tai algebralinen esitys:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Jos otamme A: n ja B: n suhteen kuvan 2 suorakulmaiset koordinaatit, meillä on:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Tässä nimenomaisessa tapauksessa meillä on viiva, jonka kaltevuus on negatiivinen -⅕, mikä tarkoittaa, että paikannettaessa viivan pisteeseen ja lisäämällä x-koordinaattia yhdellä yksiköllä, y-koordinaatti pienenee 0,2 yksikköä.

Yleisin tapa kirjoittaa viivan yhtälö tasoon on y-koordinaatin tyhjennys muuttujan x funktiona:

y = - (1/5) x + 13/5

esimerkit

Esimerkki 1

Määritä analyyttisillä menetelmillä pisteiden C ja A välinen etäisyys, jotka ovat C = (-2, -3): n ja A = (3,2): n suorakulmaisia koordinaatteja.

Kaava näiden kahden pisteen väliselle euklidiselle etäisyydelle on kirjoitettu seuraavasti:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Korvaavat vastaavat suorakulmaiset koordinaatit meillä on:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Esimerkki 2

Hanki yhtälö linjalle, joka kulkee koordinaattien pisteen C (-2, -3) ja koordinaattien pisteen P (2, 0) kautta.

Ensin saadaan viivan CP kaltevuus:

kaltevuus = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Kaikilla linjalle CP kuuluvilla yleisten suorakulmaisten koordinaattien (x, y) pisteellä Q on oltava sama kaltevuus:

kaltevuus ((y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Toisin sanoen, linjan CP yhtälö on:

(y +3) / (x +2) = ¾

Vaihtoehtoinen tapa kirjoittaa rivin CP yhtälö ratkaistaan y: lle:

y = ¾ x - 3/2

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Saa suorakulmaiset koordinaatit linjojen y = - (1/5) x + 13/5 ja viivan y = ¾ x - 3/2 välisestä leikkauspisteestä.

Ratkaisu: Määritelmän mukaan kahden viivan leikkauspisteellä on samat suorakulmaiset koordinaatit. Siksi y-koordinaatit leikkauspisteessä ovat identtiset molemmille viivoille:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

joka johtaa seuraavaan ilmaisuun:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

ratkaisemalla saatujen murtojen summa:

19/20 x = 41/10

Ratkaisu x: lle:

x = 82/19 = 4,32

Risteyksen y-arvon saamiseksi saatu x-arvo korvataan millä tahansa rivillä:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Tämä tarkoittaa, että annetut viivat leikkaavat koordinaattien I = (4.32, 1.74) pisteessä I.

Harjoitus 2

Hanki ympyrän yhtälö, joka kulkee suorakulmaisten koordinaattien (3, 4) pisteen R läpi ja jonka keskipiste on koordinaattien lähtökohdassa.

Ratkaisu: Säde R on etäisyys pisteestä R koordinaattien lähtökohtaan O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Toisin sanoen se on ympyrä, jonka säde 5 on keskitetty (0,0): een.

Millä tahansa kehän pisteellä P (x, y) on oltava sama etäisyys 5 keskustasta (0, 0), jotta se voidaan kirjoittaa:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Tarkoittaen:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Neliöjuuren poistamiseksi molemmat tasa-arvon jäsenet neliöidaan, jolloin saadaan:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Mikä on kehän yhtälö.

Tämä esimerkki kuvaa suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän tehoa, joka mahdollistaa geometristen kohteiden, kuten kehän, määrittämisen ilman paperin, kynän ja kompassin käyttöä. Pyydetty kehä on määritetty yksinomaan algebrallisilla menetelmillä.

Viitteet

Arfken G ja Weber H. (2012). Matemaattiset menetelmät fyysikoille. Kattava opas. 7. painos. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Laskelma cc. Ratkaistu suorakulmaisten koordinaattien ongelmat. Palautettu: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Cartesian-koordinaatit". MathWorld-A Wolfram -verkosta. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Kartesialainen koordinaattijärjestelmä. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com

SUORAKULMAISET KOORDINAATIT: ESIMERKKEJÄ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA - 2026