NELIKULMAINEN: ELEMENTIT, OMINAISUUDET, LUOKITTELU, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Nelisivuinen on monikulmio, jossa on neljä sivua ja neljä kärkeä. Sen vastakkaiset puolet ovat niitä, joilla ei ole yhteisiä huippuja, kun taas peräkkäisillä sivuilla on yhteinen kärki.

Nelikulmaisessa vierekkäisillä kulmilla on yksi puoli, kun taas vastakkaisilla kulmilla ei ole yhteisiä sivuja. Toinen nelikulmion tärkeä ominaisuus on, että sen neljän sisäkulman summa on kaksi kertaa tasokulma, toisin sanoen 360º tai 2π-radiaani.

Kuva 1. Erilaisia ​​nelikulmaisia. Lähde: F. Zapata.

Diagonaalit ovat segmenttejä, jotka yhdistyvät kärkeen sen vastakkaisella puolella ja tietyssä nelikulmiossa voidaan piirtää yksi diagonaali jokaisesta kärkipisteestä. Nelikulmaisen diagonaalien kokonaismäärä on kaksi.

Nelikulmaiset ovat ihmiskunnan tunnetut hahmot muinaisista ajoista lähtien. Arkeologiset asiakirjat ja rakennukset, jotka säilyvät nykyään, todistavat tämän.

Samoin tänään nelikulmioilla on edelleen tärkeä läsnäolo jokaisen jokapäiväisessä elämässä. Lukija voi löytää tämän lomakkeen näytöltä, jolla hän lukee tekstiä juuri tällä hetkellä, ikkunoista, ovista, autojen osista ja lukemattomista muista paikoista.

Nelikulmainen luokittelu

Vastakkaisten puolien samansuuntaisuuden mukaan nelikulmiot luokitellaan seuraavasti:

1. Trapetsoidi, kun ei ole suuntausta ja nelikulmainen on kupera.
2. Trapetsoidi, kun yhden vastakkaisten sivujen parin välillä on yhdensuuntaisuus.
3. Paralelogrammi, kun sen vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset kaksi kerrallaan.

Kuva 2. Nelikulmaisten luokittelu ja alaluokitukset. Lähde: Wikimedia Commons.

Rinnakkaiskuvan tyypit

Rinnakkaisohjelmat puolestaan ​​voidaan luokitella kulmien ja sivujen perusteella seuraavasti:

1. Suorakulma on suuntauskuva, jolla on neljä sisäistä kulmaa yhtä suuret. Suorakulmion sisäkulmat muodostavat suorakulman (90º).
2. Neliö, se on suorakulmio, jonka neljä puolta ovat yhtä suuret.
3. Rhombus on suuntauskuva sen neljällä yhtä suurella sivulla, mutta eri vierekkäisillä kulmilla.
4. Rhomboid, suuntauskaavio eri vierekkäisten kulmien kanssa.

Trapetsi

Trapezoidi on kupera nelikulmainen, jolla on kaksi yhdensuuntaista sivua.

Kuva 3. Trapezoidin etupuolet, sivut, korkeus ja mediaani. Lähde: Wikimedia Commons.

- Trapetsoidissa rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan emäksiksi ja ei-rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan sivuiksi.

- Trapetsoidin korkeus on kahden emäksen välinen etäisyys, toisin sanoen segmentin pituus, jonka päät sijaitsevat emäksissä ja kohtisuorassa niihin nähden. Tätä segmenttiä kutsutaan myös trapetsin korkeudeksi.

- Mediaani on segmentti, joka liittyy sivujen keskipisteisiin. Voidaan osoittaa, että mediaani on yhdensuuntainen trapetsoidin kantojen kanssa ja sen pituus on yhtä suuri kuin pohjojen puoliväli.

- Trapezoidin pinta-ala on sen korkeus kerrottuna tukien puolisummalla:

Trapezoidityypit

-Suorakulmainen trapezoidi: se on sivu, joka on kohtisuorassa tukiin nähden. Tämä puoli on myös trapetsin korkeus.

-Sisosceles-puolisuunnikkaan muotoinen: puolikas on yhtä pitkä. Tasavälisessä puolisuunnikkaassa kulmat, jotka ovat vierekkäin, ovat yhtä suuret.

-Scalene-trapetsium: se, jonka reunat ovat eripituisia. Sen vastakkaiset kulmat voivat olla yksi akuutti ja toinen tylppä, mutta voi myös tapahtua, että molemmat ovat tylriä tai molemmat akuutteja.

Kuva 4. Trapeziumin tyypit. Lähde: F. Zapata.

Suunnikas

Rinnakkaiskaavio on nelikulma, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset kaksi kerrallaan. Rinnakkaissuunnassa vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja vierekkäiset kulmat ovat toisiaan täydentäviä, tai toisin sanoen, vierekkäiset kulmat lisäävät jopa 180 astetta.

Jos suuntakuvassa on suorakulma, niin kaikki muutkin kulmat ovat liian, ja tuloksena olevaa kuvaa kutsutaan suorakaiteeksi. Mutta jos suorakulmion vierekkäiset sivut ovat myös samanpituisia, niin kaikki sen sivut ovat yhtä suuret ja tuloksena oleva luku on neliö.

Kuva 5. Paralelogrammit. Suorakulmio, neliö ja roma ovat samansuuntaiset. Lähde: F. Zapata.

Kun yhdensuuntaisella kaaviolla on kaksi vierekkäistä sivua, joiden pituus on sama, kaikki sen sivut ovat samanpituisia ja tuloksena oleva kuva on roma.

Rinnakkaiskuvan korkeus on segmentti, jonka päät sijaitsevat vastakkaisilla sivuillaan ja kohtisuorassa niihin nähden.

Suuntakuvan alue

Rinnakkaissuunnitelman pinta-ala on tulo, joka perustuu kannan korkeuteen, pohjan ollessa korkeuteen nähden kohtisuora puoli (kuva 6).

Rinnakkaissuunnan diagonaalit

Kärkipisteestä alkavan diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin mainitun kärkipisteen vieressä olevien kahden sivun neliöiden summa, plus näiden sivujen kaksinkertainen tulo, joka muodostuu kyseisen kärjen kulman kosinuksella:

f ² = a ² + d ² + 2 mainos Cos (α)

Kuva 6. Parallelogram. Vastakkaiset kulmat, korkeus, vinot. Lähde: F. Zapata.

Rinnakkaissuunnan kärkeä vastapäätä olevan diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin mainitun kärkipisteen vieressä olevien kahden sivun neliösummien summa ja vähentämällä näiden sivujen kaksinkertainen tulo kosinusilla tämän kärjen kulman kosinus:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (a)

Rinnakkaisohjelmien laki

Missä tahansa suuntaviivassa sen sivujen neliöiden summa on yhtä suuri kuin diagonaalien neliöiden summa:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

uudelleen ctángulo

Suorakulmio on nelikulmainen, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset kaksi kerrallaan ja jolla on myös suora kulma. Toisin sanoen suorakulmio on eräänlainen suuntakulma, jolla on suora kulma. Koska kyseessä on suuntakuvio, suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkiä a = c ja b = d.

Mutta kuten missä tahansa suuntaviikossa, vierekkäiset kulmat ovat toisiaan täydentäviä ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret, suorakulmiossa, koska sillä on suora kulma, se muodostaa väistämättä suorakulman muihin kolmeen kulmaan. Toisin sanoen, suorakulmiossa kaikki sisäkulmat ovat 90º tai π / 2 radiaania.

Suorakulmion diagonaalit

Suorakulmassa diagonaalit ovat yhtä pitkät, kuten jäljempänä esitetään. Perustelu on seuraava; Suorakulmio on suuntaussuunta kaikilla sen suorakulmilla ja siksi perii kaikki suuntakuvan ominaisuudet, mukaan lukien kaava, joka antaa diagonaalien pituuden:

f ² = a ² + d ² + 2 mainos Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (a)

jossa a = 90º

Koska Cos (90º) = 0, niin tapahtuu, että:

f ² = g ² = a ² + d ²

Eli f = g, ja siksi suorakulmion kahden diagonaalin pituudet f ja g ovat yhtä suuret ja niiden pituus saadaan:

Lisäksi, jos suorakulmion vierekkäisten sivujen a ja b kanssa toinen sivu otetaan pohjaksi, toinen puoli on korkeus ja siten suorakulmion pinta-ala on:

Suorakulmion pinta-ala = ax b.

Kehä on suorakaiteen kaikkien sivujen summa, mutta koska vastakkaiset ovat yhtä suuret, seuraa, että suorakulmion, jonka sivut ovat a ja b, kehä annetaan seuraavan kaavan avulla:

Suorakulmion kehä = 2 (a + b)

Kuva 7. Suorakulmio sivuilla a ja b. Diagonaalit f ja g ovat yhtä pitkät. Lähde: F. Zapata.

Neliö

Neliö on suorakulmio, jonka vierekkäiset sivut ovat samanpituisia. Jos neliöllä on sivu a, niin sen diagonaaleilla f ja g on sama pituus, joka on f = g = (√2) a.

Neliön pinta on sen sivun neliö:

Neliön pinta-ala = a ²

Neliön kehä on kaksinkertainen sivu:

Neliön kehä = 4 a

Kuva 8. Sivun a neliö, joka osoittaa sen alueen, kehän ja diagonaalien pituuden. Lähde: F. Zapata..

Timantti

Rombus on yhdensuuntainen kaavio vierekkäin olevilla sivuillaan saman pituudella, mutta koska rinnakkaissuunnassa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, niin rhoman kaikki sivut ovat yhtä pitkät.

Romun diagonaalit ovat eripituisia, mutta ne leikkaavat suorassa kulmassa.

Kuva 9. Sivun a rombus, joka osoittaa sen alueen, kehän ja diagonaalien pituuden. Lähde: F. Zapata.

esimerkit

Esimerkki 1

Osoita, että nelikulmaisessa (ei ristissä) sisäkulmat kasvavat enintään 360º.

Kuva 10: Näytetään kuinka nelikulman kulmien summa kasvaa 360º: iin. Lähde: F. Zapata.

Tarkastellaan nelikulmaista ABCD: tä (katso kuva 10) ja piirretään diagonaali BD. Muodostetaan kaksi kolmiota ABD ja BCD. Kolmion ABD sisäkulmien summa on:

α + β ₁ + δ ₁ = 180 °

Ja kolmion BCD sisäisten kulmien summa on:

p2 + y + δ ₂ = 180º

Lisäämällä saamme kaksi yhtälöä:

a + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

ryhmittely:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Ryhmittämällä ja nimeämällä uudelleen osoitetaan lopulta, että:

a + β + δ + y = 360º

Esimerkki 2

Osoita, että puolisuunnikkaan mediaani on yhdensuuntainen sen emästen kanssa ja sen pituus on emästen puoliväli.

Kuva 11. Trapetsium ABCD: n mediaani MN. Lähde: F. Zapata.

Trapezoidin mediaani on segmentti, joka liittyy sivujensa keskipisteisiin, toisin sanoen ei-rinnakkaisiin puoliin. Kuvassa 11 esitetyssä trapetsoidussa ABCD: ssä mediaani on MN.

Koska M on AD: n keskipiste ja N on BC: n keskipiste, AM / AD- ja BN / BC-suhteet ovat samat.

Toisin sanoen AM on verrannollinen BN: ään samalla suhteella kuin AD on BC: lle, joten Thalesin (vastavuoroisen) lauseen soveltamiseksi annetaan ehdot, jossa todetaan seuraavaa:

"Jos suhteelliset segmentit määritetään kolmessa tai useammassa rivissä, jotka kaksi leikkaavat, niin nämä viivat ovat kaikki yhdensuuntaiset."

Meidän tapauksessamme päätellään, että linjat MN, AB ja DC ovat yhdensuuntaiset toisiinsa, siksi:

"Trapezoidin mediaani on yhdensuuntainen sen emästen kanssa."

Nyt Thalesin lausetta sovelletaan:

"Kahden tai useamman sekvenssin leikkaama rinnakkaisjoukko määrittelee suhteelliset segmentit."

Meidän tapauksessamme AD = 2 AM, AC = 2 AO, joten kolmio DAC on samanlainen kuin kolmio MAO, ja siten DC = 2 MO.

Samanlainen argumentti antaa meille mahdollisuuden vakuuttaa, että CAB on samanlainen kuin CON, jossa CA = 2 CO ja CB = 2 CN. Heti seuraa, että AB = 2 ON.

Lyhyesti sanottuna, AB = 2 ON ja DC = 2 MO. Joten lisättäessä meillä on:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Lopuksi MN selvitetään:

MN = (AB + DC) / 2

Ja päätellään, että puolisuunnikkaan mediaani mittaa emästen puolisumman tai toisella tavalla: mediaani mittaa emästen summan jaettuna kahdella.

Esimerkki 3

Osoita, että rombossa diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa.

Kuva 12. Rhombus ja osoitus, että sen diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa. Lähde: F. Zapata.

Kuvan 12 liitutaulu näyttää tarvittavan rakenteen. Ensin piirretään rinnakkaissuunnitelma ABCD: llä AB = BC, ts. Roma. Diagonaalit AC ja DB määrittävät kahdeksan kuvassa näkyvää kulmaa.

Käyttämällä lausetta (aip), jonka mukaan vaihtoehtoiset sisäkulmat sekantin leikkaamien suuntausten välillä määrittävät yhtä suuret kulmat, voimme saada aikaan seuraavan:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ ja δ2 = β2. (*)

Toisaalta, koska rombin vierekkäiset sivut ovat yhtä pitkiä, määritetään neljä tasakolmion kolmiota:

DAB, BCD, CDA ja ABC

Nyt vedotaan kolmion (yhtäsuuntaisen) lauseeseen, jonka mukaan kannan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret, joista päätellään, että:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ ja α ₁ = γ2 (**)

Jos suhteet (*) ja (**) yhdistetään, saavutetaan seuraava kulmien yhtäläisyys:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ toisaalta ja β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 toisaalta.

Palautetaan mieleen tasa-arvoisten kolmioiden lause, jonka mukaan kaksi kolmiota, joilla on yhtä suuri puoli kahden saman kulman välillä, ovat yhtä suuret, meillä on:

AOD = AOB ja siten myös kulmat ∡AOD = ∡AOB.

Sitten ∡AOD + ∡AOB = 180º, mutta koska molemmat kulmat ovat yhtä suuret, meillä on 2 ∡AOD = 180º, mikä tarkoittaa, että ∡AOD = 90º.

Toisin sanoen geometrisesti näytetään, että rommin diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa.

Harjoitukset ratkaistu

- Harjoitus 1

Osoita, että oikeassa puolisuunnassa muut kuin suorakulmat ovat täydentäviä.

Ratkaisu

Kuva 13. Oikea trapetsoidi. Lähde: F. Zapata.

Trapezoidi ABCD on rakennettu tukikohdilla AB ja DC yhdensuuntaisesti. Kärkipisteen A sisäkulma on oikea (se mittaa 90º), joten meillä on oikea puolisuunnikkaan muoto.

Kulmat α ja δ ovat sisäisiä kulmia kahden suuntauksen AB ja DC välillä, joten ne ovat yhtä suuret, ts. Δ = α = 90º.

Toisaalta on osoitettu, että nelikulman sisäisten kulmien summa on jopa 360 astetta, toisin sanoen:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Edellä oleva johtaa:

p + 5 = 180 °

Vahvistetaan, mitä haluttiin osoittaa, että kulmat β ja δ ovat toisiaan täydentäviä.

- Harjoitus 2

Suorakäyrässä ABCD on AB = 2 cm ja AD = 1 cm, lisäksi kulma BAD on 30º. Määritä tämän suuntakuvan pinta-ala ja sen kahden diagonaalin pituus.

Ratkaisu

Rinnakkaisohjelman pinta-ala on sen pohjan pituuden ja korkeuden tulos. Tässä tapauksessa segmentin pituus b = AB = 2 cm otetaan perustana, toisella puolella on pituus a = AD = 1 cm ja korkeus h lasketaan seuraavasti:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Joten: Pinta-ala = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Viitteet

1. CEA (2003). Geometriaelementit: harjoituksilla ja kompassigeometrialla. Medellinin yliopisto.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Tutustu monikulmioihin. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Yleistyneet monikulmiot. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
6. Jr. geometria. (2014). Polygoneja. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ja Hornsby. (2006). Matematiikka: päättely ja sovellukset (kymmenes painos). Pearson koulutus.
8. Patiño, M. (2006). Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
9. Wikipedia. Quadrilaterals. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com