KÖYSI (GEOMETRIA): PITUUS, LAUSE JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Tasogeometriassa oleva sointu on linjaosa, joka yhdistää kaksi pistettä käyrässä. Tämän segmentin sisältävän viivan sanotaan olevan käyrän kiinnityslinja. Tämä on usein ympyrä, mutta sointuja voidaan varmasti piirtää moniin muihin käyriin, kuten ellipseihin ja parabolaisiin.

Vasemmalla olevassa kuvassa 1 on käyrä, johon pisteet A ja B. A- ja B-välin sointu on vihreä segmentti. Oikealla on kehä ja yksi sen jousista, koska on mahdollista piirtää ääretön.

Kuva 1. Vasemmalla mielivaltaisen käyrän soinnulla ja oikealla ympyrän sointu. Lähde: Wikimedia Commons.

Ympärysmitalla sen halkaisija on erityisen mielenkiintoinen, joka tunnetaan myös nimellä pääsointu. Se on sointu, joka sisältää aina kehän keskipisteen ja mittaa kahdesti säteen.

Seuraava kuva osoittaa kehän säteen, halkaisijan, soinnun ja myös kaaren. Jokaisen tunnistaminen oikein on tärkeää ongelmia ratkaistaessa.

Kuva 2. Ympäristön elementit. Lähde: Wikimedia Commons.

Sointu ympyrän pituus

Voimme laskea soinnun pituuden ympyrässä kuvioista 3a ja 3b. Huomaa, että kolmio muodostetaan aina kahdella yhtä suurella sivulla (tasakirjain): segmentit OA ja OB, jotka mittaavat R: n, kehän säteen. Kolmion kolmas puoli on segmentti AB, nimeltään C, joka on tarkalleen akordin pituus.

On tarpeen piirtää viiva kohtisuoraan sointaan C halkaistaksesi kulma θ, joka on kahden säteen välillä ja jonka kärki on kehän keskipiste O. Tämä on keskikulma - koska sen kärkipiste on keskipiste - ja puolittimen viiva on myös kiinnitys kehälle.

Välittömästi muodostuu kaksi oikeaa kolmiota, joiden hypotenuusi mittaa R. Koska puolittaja ja sen halkaisija jakavat soinnun kahteen yhtä suureen osaan, osoittautuu, että yksi jaloista on puolet C: stä, kuten kohdassa Kuvio 3b.

Kulman siniaalin määritelmästä:

sin (θ / 2) = vastakkainen jalka / hypotenuse = (C / 2) / R

Täten:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Kuva 3. Kahden säteen ja ympärysmitan muodostama kolmio on yhdensuuntainen (kuva 3), koska sillä on kaksi yhtä suurta puolta. Bisector jakaa sen kahteen oikeaan kolmioon (kuva 3b). Lähde: F. Zapata.

Merkkijono

Merkkijonolause menee seuraavasti:

Seuraava kuva näyttää kaksi saman kehän sointua: AB ja CD, jotka leikkaavat pisteessä P. Sointu AB määrittelee segmentit AP ja PB, kun taas soitossa CD CP ja PD. Joten, lauseen mukaan:

AP. PB = CP. Loppusanat

Kuva 4. Ympyrän sointulause. Lähde: F. Zapata.

Ratkaistu jousien harjoituksia

- Harjoitus 1

Ympyrällä on 48 cm sointu, joka on 7 cm keskustasta. Laske ympyrän pinta-ala ja kehän kehä.

Ratkaisu

Ympyrän A alueen laskemiseksi riittää, kun tiedät kehän säteen neliön, koska se on totta:

A = π.R ²

Nyt toimitettujen tietojen kanssa muodostettu luku on suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat vastaavasti 7 ja 24 cm.

Kuva 5. Ratkaisun suorituksen geometria 1. Lähde: F. Zapata.

Siksi löytää arvo R ², Pythagoraan lauseen c ² = a ² + b ² levitetään suoraan, koska R on kolmion hypotenuusa:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Joten pyydetty alue on:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Ympärysmitan tai pituuden L suhteen se lasketaan seuraavalla:

L = 2π. R

Korvaavat arvot:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Harjoitus 2

Määritä ympyrän soinnun pituus, jonka yhtälö on:

x ² + y ² - 6x - 14 v-111 = 0

Soinnun keskipisteen koordinaattien tiedetään olevan P (17/2; 7/2).

Ratkaisu

Sointu P: n keskipiste ei kuulu kehään, mutta soinnin päätepisteet ovat. Ongelma voidaan ratkaista käyttämällä aikaisemmin mainittua merkkijonolaitetta, mutta ensin on tarkoituksenmukaista kirjoittaa kehän yhtälö kanonisessa muodossa sen säteen R ja keskipisteen O määrittämiseksi.

Vaihe 1: hanki kehän kanoninen yhtälö

Ympäristön ympyrän kanoninen yhtälö (h, k) on:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Saadaksesi se, sinun on täytettävä neliöt:

(x ² - 6x) + (y ² - 14 v) -111 = 0

Huomaa, että 6x = 2. (3x) ja 14y = 2. (7y), joten edellinen lauseke kirjoitetaan uudelleen tällä tavalla, pysyen muuttumattomana:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14 v + 7 ^{2 -} 7 ²) -111 = 0

Ja nyt muistaen merkittävän tuotteen määritelmän (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, voit kirjoittaa:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Ympärysmitalla on keskipiste (3,7) ja säde R = √169 = 13. Seuraava kuva näyttää kehän kuvaajan ja soinnussa käytettävät soinnut:

Kuva 6. Kaavio ratkaisun tekemisen harjoituksesta. Lähde: F. Zapata Mathwayn online-kuvaajalaskurilla.

Vaihe 2: määritä segmentit, joita käytetään merkkijonolauseessa

Käytettävät segmentit ovat merkkijonot CD ja AB kuvion 6 mukaisesti, molemmat leikataan pisteeseen P, siksi:

CP. PD = AP. PB

Nyt etsimme etäisyys pisteiden O ja P välillä, koska tämä antaa meille segmentin OP pituuden. Jos lisäämme säteen tähän pituuteen, meillä on segmentti CP.

Etäisyys d _OP kahden koordinaattipisteen (x ₁, y ₁) ja (x ₂, y ₂) välillä on:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7 - 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Kaikkien saatujen tulosten ja kaavion avulla rakennetaan seuraava segmenttiluettelo (katso kuva 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = sointujen pituus

Korvaa merkkijonolause:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Merkkijonon pituus on 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Voisiko lukija ratkaista ongelman toisella tavalla?

Viitteet

1. Baldor, A. 2004. Lento- ja avaruusgeometria trigonometrialla. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Sointujen pituus. Palautettu: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Palautettu osoitteesta: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Palautettu osoitteesta: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Köysi (geometria). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.