IMPLISIITTISET JOHDANNAISET: MITEN NE RATKAISTAAN ​​JA HARJOITUKSET RATKAISTAAN - MATEMATIIKKA - 2026

Implisiittinen johdannaiset ovat työkaluja käytetään eroteltua tekniikkaa sovelletaan toimintoja. Niitä käytetään, kun tavanomaisissa menetelmissä ei ole mahdollista ratkaista riippuvaisen muuttujan johdannaista. Tämä välys suoritetaan riippumattoman muuttujan funktiona.

Esimerkiksi lausekkeessa 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, et voi saada lauseketta, joka määrittelee "y" funktiona "x". Niin, että johdettaessa differentiaalinen lauseke dy / dx voidaan saada.

Kuinka implisiittiset johdannaiset ratkaistaan?

Implisiittisen johdannaisen ratkaisemiseksi aloitamme implisiittisellä lausekkeella. Esimerkiksi: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Tämä on jo ratkaistu oikein, mutta sen tekeminen ei kuitenkaan ole välttämätön edellytys y: n johdannaisen saamiseksi suhteessa x: iin. Sitten jokainen elementti johdetaan noudattaen sekatoimintojen ketjusääntöä:

3xy ³ koostuu kahdesta muuttujasta, joten d (3xy ³): ta käsitellään funktion tuloksen johdannaisena.

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Missä elementti y 'tunnetaan nimellä "y prime" ja edustaa dy / dx

-2y Se on johdettu lain mukaan KU = K.U '

d (-2v) = -2 y '

xy ² olettaa toisen differentiaalin, joka koostuu funktiotulosta

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-xy käsitellään homologisesti

d (-xy) = -y - x y '

Ne korvataan yhtäläisesti tietäen, että nollan johdannainen on nolla.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementit, joilla on termi y ', on ryhmitelty tasa-arvon yhdelle puolelle

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Yhteinen tekijä y 'erotetaan tasa-arvon oikealta puolelta

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Lopuksi termi, joka kertoo y ', tyhjennetään. Näin saadaan lauseke, joka vastaa y: n implisiittistä johdannaista suhteessa x: ään.

y '= dy / dx = (3 y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Ketjusääntö

Implisiittisessä johdannossa ketjusääntöä kunnioitetaan aina. Kaikki differentiaaliset lausekkeet annetaan riippumattoman muuttujan X funktiona. Joten jokaisen muuttujan θ muun kuin X: n on johdettava termi dθ / dx.

Tämä termi esiintyy vain ensimmäisessä asteessa tai eksponentilla, joka on yhtä suuri. Tämä laatu tekee siitä täysin selvän perinteisissä factoring-menetelmissä. Siten on mahdollista saada lauseke, joka määrittelee erotuksen dθ / dx.

Ketjusääntö osoittaa erilaistumis- tai johdannaisprosessin progressiivisen luonteen. Missä jokaisessa yhdistelmäfunktiossa f meillä on, että f: n differentiaalinen lauseke on

Toimintajärjestys

Jokaisessa sovellettavassa kaavassa tai johdannaislaissa muuttujien järjestys on otettava huomioon. Riippumattomaan muuttujaan liittyviä perusteita noudatetaan, muuttamatta sen korrelaatiota riippuvaisen muuttujan kanssa.

Riippuvaisen muuttujan suhde johdantohetkellä otetaan suoraan; Lukuun ottamatta sitä, että tätä pidetään toisena funktiona, minkä vuoksi sekatoimintojen ketjusääntökriteeriä sovelletaan.

Tätä voidaan kehittää lausekkeissa, joissa on enemmän kuin 2 muuttujaa. Samojen periaatteiden mukaisesti kaikki riippuvaisiin muuttujiin viittaavat erot merkitään.

Graafisesti käsitellään samaa kriteeriä, joka määrittelee johdannaisen. Vaikka johdannainen on tangenttilinjan kaltevuus käyrään tasossa, loput riippuvaisiin muuttujiin (dy / dx, dz / dx) kuuluvat differentiaalit edustavat tasoja, jotka ovat tangentteja vektorimuotoille, joita kuvaavat monimuuttujafunktiot.

implisiittinen

Toiminto sanotaan implisiittisesti määritellyt, jos ilmaisua y = f (x) voidaan esittää useita muuttuja funktio F (x, y) = 0, niin kauan kuin F on määritelty R ² tasossa.

3xy ³ - 2y + xy ² = xy voidaan kirjoittaa muodossa 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Koska funktion y = f (x) määrittäminen on mahdotonta.

Historia

Erilaiset matemaattiset tutkijat alkoivat nimetä differentiaalista laskentaa seitsemännentoista vuosisadan aikana. Ensimmäistä kertaa se mainittiin Newtonin ja Leibnizin lausuntojen kautta. Molemmat käsittelivat erotuslaskentaa eri näkökulmista, mutta tulokset lähenivät.

Newton keskittyi erilaistumiseen muutosnopeudeksi tai -nopeudeksi, mutta Leibnizin lähestymistapa oli geometrisempi. Voidaan sanoa, että Newton hyökkäsi Pergen ja Leibnizin Apolloniuksen jättämiin oletuksiin Fermatin geometrisista ideoista.

Implisiittinen johdannainen ilmestyy heti, kun tarkastellaan differentiaali- ja integraal yhtälöitä. Nämä laajensivat Leibnizin geometrista konseptia R ^{3: een} ja jopa moniulotteisiin tiloihin.

Sovellukset

Implisiittisiä johdannaisia ​​käytetään eri tilanteissa. Ne ovat yleisiä liittyvien muuttujien välisissä valuuttakurssiongelmissa, joissa muuttujia pidetään tutkimuksen tarkoituksesta riippuen tai riippumattomina.

Heillä on myös mielenkiintoisia geometrisia sovelluksia, kuten heijastus- tai varjo-ongelmissa, figuureissa, joiden muoto voidaan mallintaa matemaattisesti.

Niitä käytetään usein taloustieteen ja tekniikan aloilla sekä erilaisissa luonnonilmiöiden ja kokeellisten rakennusten tutkimuksissa.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Määritä implisiittinen lauseke, joka määrittelee dy / dx

Jokainen lausekkeen elementti on eriytetty

Ketjusäännön laatiminen kussakin toimivaltaisessa tapauksessa

Ryhmittelemällä tasa-arvon toiselle puolelle elementit, joilla on dy / dx

Se otetaan huomioon käyttämällä yhteistä tekijää

Se ratkaistaan ​​hakemalla ilmaisu

Harjoitus 2

Määritä implisiittinen lauseke, joka määrittelee dy / dx

Suoritettavat johdannaiset

Johda implisiittisesti ketjusääntöjen mukaan

Faktorointi yhteiset elementit

Ryhmittelemällä termi dy / dx tasa-arvon yhdelle puolelle

Yhteinen tekijä differentiaalielementille

Eristämme ja saamme haetun lausekkeen

Viitteet

1. Yhden muuttujan laskenta. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. marraskuuta 2008
2. Implisiittinen funktionlause: Historia, teoria ja sovellukset. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. marraskuuta. 2012
3. Monimuuttuja-analyysi. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. joulukuuta. 2010
4. Järjestelmädynamiikka: Mekatronisten järjestelmien mallintaminen, simulointi ja hallinta. Dekaani C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. maaliskuuta 2012
5. Laskenta: Matematiikka ja mallinnus. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. tammikuuta 1999