OSITTAISET JOHDANNAISET: MERKINTÄ, ESIMERKIT JA RATKAISETUT TEHTÄVÄT - MATEMATIIKKA - 2026

Osittaisderivaatat Funktion useiden muuttujien ovat ne, jotka määrittävät muutosnopeus toimintoon, kun yksi muuttujista on äärettömän pieni vaihtelu, kun taas muut muuttujat pysyvät ennallaan.

Jotta ideasta tulisi konkreettisempi, oletetaan, että kyseessä on kahden muuttujan funktio: z = f (x, y). Funktion f osittainen johdannainen muuttujan x suhteen lasketaan tavanomaisena johdannaisena suhteessa x, mutta muuttuja y otetaan kuin se olisi vakio.

Kuva 1. Toiminto f (x, y) ja sen osittaiset johdannaiset ∂ _x f y ∂ _y f pisteessä P. (Kehittänyt R. Pérez geogebrassa)

Osittainen johdannainen merkintä

Funktion f (x, y) osittainen johdannaistoiminto muuttujassa x merkitään jollakin seuraavista tavoista:

Osajohdannaisissa käytetään symbolia ∂ (eräänlaista pyöristettyä d-kirjainta, jota kutsutaan myös Jacobi-d: ksi), toisin kuin tavallista johdannaista yhden muuttujan funktioissa, joissa d-kirjainta käytetään johdannaiseen.

Yleisesti ottaen monimuuttujafunktion osittainen johdannainen yhden muuttujan suhteen johtaa uuteen funktioon samoissa alkuperäisen funktion muuttujissa:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Osajohdannaisen laskeminen ja merkitys

Funktion muutosnopeuden tai kaltevuuden määrittämiseksi tietylle pisteelle (x = a, y = b) X-akselin suuntaiseen suuntaan:

1- Toiminto ∂ _x f (x, y) = g (x, y) lasketaan ottamalla tavallinen johdannainen muuttujasta x ja jättämällä muuttuja y kiinteäksi tai vakioksi.

2- Sitten korvataan pisteen x = a ja y = b arvo, jossa haluamme tietää funktion muutosnopeuden x-suuntaan:

{Kaltevuus x-suunnassa pisteessä (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3 - Laskeaksesi y-suunnan muutosnopeuden koordinaattipisteessä (a, b), laske ensin ∂ _ja f (x, y) = h (x, y).

4- Sitten piste (x = a, y = b) korvataan edellisessä tuloksessa, jotta saadaan:

{Slope y-suunnassa pisteessä (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Esimerkkejä osittaisjohdannaisista

Joitakin esimerkkejä osittaisjohdannaisista ovat seuraavat:

Esimerkki 1

Annetaan tehtävä:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Etsi funktion f osittaiset johdannaiset muuttujan x ja muuttujan y suhteen.

Ratkaisu:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2v

Huomaa, että funktion f osittaisen johdannaisen laskemiseksi muuttujan x suhteen suoritettiin tavallinen johdannainen suhteessa x, mutta muuttujan y on otettu ikään kuin se olisi vakio. Samoin laskettaessa f: n osittaista johdannaista suhteessa y: hen, muuttuja x on otettu ikään kuin se olisi vakio.

Toiminto f (x, y) on pinta, jota kutsutaan kuvassa 1 näytetyksi paraboloidiksi okkerivärinä.

Esimerkki 2

Etsi funktion f (x, y) muutosnopeus (tai kaltevuus) esimerkistä 1 pisteen (x = 1, y = 2) X-akselin ja Y-akselin suunnassa.

Ratkaisu: Löydäksesi rinteet x- ja y-suunnista annetussa pisteessä korvaamalla pisteen arvot funktion ∂ _x f (x, y) ja funktion ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _ja f (1,2) = -2⋅2 = -4

Kuvio 1 näyttää tangenttiviivan (punaisella värillä) käyrään, joka määritetään funktion f (x, y) leikkauksen tason y = 2 kanssa, tämän viivan kaltevuus on -2. Kuvio 1 esittää myös tangenttiviivan (vihreänä) käyrään, joka määrittelee funktion f leikkauksen tason x = 1 kanssa; Tämän viivan kaltevuus on -4.

Harjoitukset

Harjoitus 1

Kartiolasi sisältää tietyllä hetkellä vettä siten, että veden pinnalla on säde r ja syvyys h. Mutta lasin pohjassa on pieni reikä, jonka läpi vesi häviää nopeudella C kuutiometriä sekunnissa. Määritä laskeutumisnopeus veden pinnasta senttimetreinä sekunnissa.

Ratkaisu:

Ensinnäkin on muistettava, että annetun hetken vesimäärä on:

Äänenvoimakkuus on kahden muuttujan, säteen r ja syvyyden h, funktio: V (r, h).

Kun tilavuus muuttuu äärettömän pienellä määrällä dV, myös veden pinnan säde r ja veden syvyys h muuttuvat seuraavan suhteen mukaan:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Jatkamme V: n osajohdannaisten laskemista suhteessa r: ään ja h: aan:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Lisäksi säde r ja syvyys h täyttävät seuraavan suhteen:

Jakamalla molemmat jäsenet aikaerolla dt saadaan:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Mutta dV / dt on menetetyn vesimäärän aikayksikköä kohti, jonka tiedetään olevan C senttimetriä sekunnissa, kun taas dh / dt on veden vapaan pinnan laskeutumisnopeus, jota kutsutaan v. Toisin sanoen, veden pinta laskee annetulla hetkellä nopeudella v (cm / s), jonka antaa:

v = C / (π r ^ 2).

Oletetaan, että numeerisena sovelluksena r = 3 cm, h = 4 cm ja vuodonopeus C on 3 cm ^ 3 / s. Silloin pinnan laskeutumisnopeus on tällä hetkellä:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Harjoitus 2

Clairaut-Schwarz-lause väittää, että jos funktio on jatkuva itsenäisissä muuttujissaan ja sen osittaisjohdannaiset suhteessa riippumattomiin muuttujiin ovat myös jatkuvia, niin toisen asteen sekajohdannaiset voidaan vaihtaa. Tarkista tämä lause funktion suhteen

f (x, y) = x ^ 2 y, ts. on totta, että f _xy f = ∂ _yx f.

Ratkaisu:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) kun taas ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Schwarzin lause on osoitettu pitävän voimassa, koska funktio f ja sen osittaiset johdannaiset ovat jatkuvia kaikille reaaliluville.

Viitteet

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Laskelma 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Laskenta analyyttisellä geometrialla. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Laskeminen. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferentiaalinen lasku. Hypotenuusa.
5. Saenz, J. (2006). Integroitu laskenta. Hypotenuusa.
6. Wikipedia. Osittainen johdannainen. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com